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基础理论

递归：

递：大问题分解子问题的过程  ； 归：产生答案 

dp：只进行归；用已知的最底层的（递归的边界，搜索树的底），推出未知

《视频索引》

一句话：

dp数组（不一定是数组，也可以是有限数间的来回递推）

递推关系：dfs向下递归的公式

dp数组初始化：递归的边界

动态规划题目的基础就是：回溯——记忆化——dp（一层比一层效率高）

例：

例题

打家劫舍

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>vector<int>nums = { 10,11,7,12 };vector<int>memo(100, -1);int dfs(int index)    //暴力
{if (index >= nums.size()) return 0;return max( dfs(index + 2) + nums[index], dfs(index + 1) );  //这两个dfs分别代表选和不选,两种情况下的max
}int mem(int index)   //记忆化
{if (memo[index] != -1) return memo[index];   //这个数下面的最大值我们已经记录了，直接返回即可if (index >= nums.size()) return 0;return memo[index]= max(mem(index + 2) + nums[index], mem(index + 1));  //记录当前下面子树最大值
}int main()
{cout << "暴力:"<< dfs(0) << endl << "记忆化:" << mem(0) << endl;vector<int>dp(nums.size(), 0);  //dp.1          dp[i]就是当前房屋的maxdp[0] = nums[0]; dp[1] = max(nums[0],nums[1]);for (int i = 2; i < nums.size(); i++)dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);  //画图,一定要画图,用: 10 11 7 12等试试看,会很通透int a = nums[0], b = max(nums[0], nums[1]), c = 0;    //dp.2for (int i = 2; i < nums.size(); i++)    {c = max(a + nums[i], b);a = b;b = c;}cout << "dp1:" << dp[nums.size() - 1] << endl;cout << "dp2:" << b << endl;return 0;
}

爬楼梯(斐波那契)

递推草稿&视频：动态规划(dp)入门 | 这tm才是入门动态规划的正确方式! | dfs记忆化搜索 | 全体起立!!_哔哩哔哩_bilibili

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<chrono>vector<int>memo(100, -1);
int mem(int index)      //记忆化(剪枝)
{if (memo[index] != -1) return memo[index]; if (index == 1) return 1;if (index == 2) return 2;memo[index] = mem(index - 1) + mem(index - 2);return memo[index];
}int dfs(int index)  //暴力
{if (index == 1) return 1;if (index == 2) return 2;return dfs(index - 1) + dfs(index - 2);
}int time(int(*k)(int),int n)  //用时测试函数
{auto start = std::chrono::steady_clock::now();k(n);auto end = std::chrono::steady_clock::now();return std::chrono::duration_cast<std::chrono::milliseconds>(end - start).count();
}int main()
{int n; cin >> n;cout << dfs(n) << endl << mem(n) << endl;memo.clear();  memo.resize(100,-1);cout <<"暴力用时:"<< time(dfs, n) << "   " <<"记忆化用时:" << time(mem, n) << endl;vector<int>dp(n, 0);  //dp   当然也可以用三个变量来互相推dp[0] = 1, dp[1] = 2;for (int i = 2; i < n; i++)dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];cout << dp[n - 1] << endl;return 0;
}

数字三角形

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>//最大子路径:max    最小minvector<vector<int>>nums(100, vector<int>(100, 0));
int n;
vector<vector<int>>memo(100, vector<int>(100, -1));  int dfs(int x, int y)  //暴力
{if (x >=n || y >= n ) return 0;return max(dfs(x + 1, y) + nums[x][y], dfs(x + 1, y + 1) + nums[x][y]);
}int mem(int x,int y)   //记忆化(剪枝)
{if (memo[x][y]!=-1) return memo[x][y];if (x >= n || y >= n) return 0;return memo[x][y] = max(mem(x + 1, y) + nums[x][y], mem(x + 1, y + 1) + nums[x][y]);
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j <= i; j++)cin >> nums[i][j];cout << "暴力:" << dfs(0, 0) << endl;cout << "记忆化:" << mem(0, 0) << endl;vector<vector<int>>dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));  //注意这个+1;自己思考一下for (int i = n - 1; i >= 0; i--)   //dp  从下往上for (int j = 0; j < n; j++)dp[i][j]=max(dp[i+1][j+1]+nums[i][j],dp[i+1][j]+nums[i][j]);cout << "dp(从下往上递推也就是遵循从上往下递归):" << dp[0][0] << endl;return 0;
}

数字三角形递推2（上往下也就是遵循下往上递归）

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>int main()
{//1  从1开始int n; cin >> n;vector<vector<int>>nums(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));//注意：建议以后动态规划题，原始数据的存储从1开始而不是0（方便），后面有从0开始for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= i; j++)cin >> nums[i][j];cout << endl;vector<vector<int>>dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] + nums[i][j], dp[i - 1][j - 1] + nums[i][j]);for (auto i : dp)   //强烈建议打印dp数组，观察数据是否正常{for (auto j : i)cout << j << " ";cout << endl;}//cout << dp[n][n] << endl;  //err   如果直接到这里就结束就错了//这一步是干嘛？:我们从下到上dp最后答案就是dp[0][0],但是现在上到下，所以最后一整行都是和"下到上的dp[0][0]"同性质的，所以我们需要求maxint res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)res = max(res, dp[n][i]);cout << res << endl;//2  从0开始存储vector<vector<int>>nums2(100, vector<int>(100, 0));cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j <= i; j++)cin >> nums2[i][j];cout << endl;vector<vector<int>>dp2(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)dp2[i][j] = max(dp2[i - 1][j] + nums2[i - 1][j - 1], dp2[i - 1][j - 1] + nums2[i - 1][j - 1]);for (auto i : dp2){for (auto j : i)cout << j << " ";cout << endl;}res = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)res = max(res, dp2[n][i]);cout << res << endl;return 0;
}

最小路径

64. 最小路径和 - 力扣（LeetCode）

和上一个数字三角形差不多

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;int main()
{int x, y; cin >> x >> y;vector<vector<int>>nums(x, vector<int>(y, 0));for (int i = 0; i < x; i++)for (int j = 0; j < y; j++)cin >> nums[i][j];vector<vector<int>>dp(x + 1, vector<int>(y + 1, 0));for (int i = x - 1; i >= 0; i--)for (int j = y - 1; j >= 0; j--){if (i + 1 >= x && j + 1 >= y) dp[i][j] = nums[i][j];else if (i + 1 >= x) dp[i][j] = dp[i][j + 1] + nums[i][j];else if (j + 1 >= y) dp[i][j] = nums[i][j] + dp[i + 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i + 1][j] + nums[i][j], dp[i][j + 1] + nums[i][j]);}cout << dp[0][0];return 0;
}