1 多项式扩展的作用

在线性回归中，多项式扩展是种比较常见的技术，可以通过增加特征的数量和多项式项的次数来提高模型的拟合能力。

举个例子，多项式扩展可以将一个包含 n 个特征的样本向量 x 扩展为一个包含 k 个特征的样本向量，其中 k 可以是 n 的任意多项式。例如，如果我们使用二次多项式扩展，可以将样本向量[x1, x2]扩展为一个包含原始特征和交叉项的新特征向量，例如 [x1, x2, x1^2, x2^2, x1*x2]。这些新特征可以捕捉到更丰富的特征组合和非线性关系，从而提高模型的拟合能力。

在多项式扩展后，我们可以使用线性回归模型来拟合扩展后的数据，并计算模型的拟合误差来评估模型的性能。通常，随着多项式项的增加，模型的拟合误差会降低，但同时也可能过度拟合训练数据，并在新数据上表现较差。

因此，在使用多项式扩展时需要注意平衡模型的拟合能力和泛化能力，并使用正则化等技术来避免过度拟合。

2 多项式扩展的函数

在Python中，可以使用 Scikit-learn 库中的 PolynomialFeatures 类来进行多项式扩展。

PolynomialFeatures 类可以将原始特征矩阵 X 转换为包含多项式特征的新特征矩阵。在转换过程中，PolynomialFeatures 可以指定扩展的次数，也就是多项式的最高次数。例如，如果指定次数为 2，PolynomialFeatures 将原始特征矩阵 X 扩展为包含所有一次项、二次项和交叉项的新特征矩阵。

2.1 接收参数

PolynomialFeatures用于创建一个多项式扩展类，其接收参数为：

• degree：指定多项式的最高次数。默认为 2。
• interaction_only：布尔值，表示是否仅包含交叉项。如果将其设置为 True，则仅包含原始特征之间的交叉项，而不包括原始特征本身（比如$x^2$这种）。默认为 False。
• include_bias：布尔值，表示是否包含常数项。如果将其设置为 True，则在扩展特征矩阵中包含常数项，即所有元素都为 1 的一列。默认为 True。

创建类后，fit_transform 方法用于将原始特征矩阵 X 转换为多项式扩展后的新特征矩阵 X_poly。该函数的接收参数为原始数据，即:

X_poly = poly.fit_transform(X)

这里的fit_transform函数实际为fit函数+transform函数。当我们执行预测时，单独使用transform函数即可（见2.2中的例子）。
作为sklearn中的fit函数，该函数同样可以接收y，只不过y在被函数接收后不会进行任何计算。

2.2 多项式扩展示例

这里提供一个简单的二项式扩展的例子。

import numpy as np
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures# 创建一些虚拟数据
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])# 定义二次多项式扩展器
poly = PolynomialFeatures(degree=2)# 进行二次多项式扩展
X_poly = poly.fit_transform(X)# 打印扩展后的特征矩阵
print(X_poly)

在上面的代码中，我们首先创建了一个包含 3 个样本和 2 个特征的虚拟数据集 X。然后，我们创建了一个 PolynomialFeatures 对象，并将其次数设置为 2。接下来，我们使用 fit_transform 方法将 X 扩展为一个包含所有一次项、二次项和交叉项的新特征矩阵 X_poly。最后，我们打印出扩展后的特征矩阵 X_poly，结果如下：

3 多项式扩展的完整实例

此处以波士顿房价数据集为例。该数据集目前可以直接从sklearn.datasets数据集中导出。导出是会有未来版本警告，即未来的版本由于伦理问题会删除该数据集，目前大家直接忽视警告即可。
完整代码如下：

# 从Scikit-learn库中导入波士顿房价数据集  
from sklearn.datasets import load_boston  # 导入所需的类和函数  
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures  
from sklearn.linear_model import LinearRegression  
from sklearn.model_selection import train_test_split  
from sklearn.metrics import mean_squared_error  # 加载波士顿房价数据集  
boston = load_boston()  # 提取特征和目标变量  
X = boston.data  # 特征矩阵  
y = boston.target  # 目标变量（房价）  # 划分训练集和测试集  
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=66)  # 多项式扩展  
poly = PolynomialFeatures(degree=2)  # 创建一个2次多项式特征扩展器  
X_train_poly = poly.fit_transform(X_train)  # 对训练集进行多项式扩展  
X_test_poly = poly.transform(X_test)  # 对测试集进行多项式扩展  # 拟合多项式回归模型  
model = LinearRegression()  # 创建一个线性回归模型  
model.fit(X_train_poly, y_train)  # 在扩展后的训练集上拟合线性回归模型  # 在测试集上进行预测并计算MSE  
y_pred = model.predict(X_test_poly)  # 对扩展后的测试集进行预测  
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)  # 计算MSE  # 打印MSE  
print(mse)

代码中的讲解全部放倒了注释之中，大家理解起来应该没有障碍。