动态规划

背包问题

01背包

有C0-Cx件物品，每个物品价值对应为V0-Vx，有容量为N的背包，问背包能够装的最大价值。

由于每件物品只有装与不装两个状态，因此称为01背包。

抽象出求解目标

目标：C0-Cx可选，价值V0-Vx，容量为N能够装下的最大值。

尝试进程子问题拆分

子问题拆分：
假设：Cx物品选了，那么问题缩减为求解：
C0-Cx-1可选，价值V0 - Vx-1，容量为N-Vx，能够装下的最大值。
假设：Cx物品不选，那么问题缩减为求解：
C0-Cx-1可选，价值V0 - Vx-1，容量为N，能够装下的最大值。

基本情况

很显然，每件物品我们都可以按照上边的想法进行拆分求解。
当容量为0，价值为0。

根据拆分过程定义dp数组与转移方程

定义：dp[i][j]为物品0-i任意取，放进容量为j的背包中能够装的最大重量。

转移方程：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - value[i]]);

遍历顺序与状态压缩

dp[i][j]依赖它的上边和左上边的数据结果，因此，遍历顺序自上而下，自左而右。

滚动数组：由于每个数据只依赖上一行两个数据的结果，因此可以使用滚动数组来更新dp数组，由于需要的是左上方的数据和上方的数据，因此，对于背包容量我们逆序遍历时，遍历到某个位置时，此时的滚动数组就保留了左上和上的结果;
即dp[j] = max(d[j], dp[j - value[i]]);

模板归纳

枚举每个物品，逆序遍历背包，递推公式为dp[j] = max(d[j], dp[j - value[i]]);

题目应用

子集就是每个元素选或不选，最后构成的一种组合。计算数组的总和为sum，如果给定背包容量为sum / 2 能够装满，那么就存在，否则不存在。

 bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (sum & 1) return false; // 如果sum为奇数，必不可等分int target = sum >> 1; // 最终要找的组合，它的累计和是nums累计和的一半。vector<int> dp(target + 1, 0);for (int num : nums) {for (int j = target; j >= num; --j) dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num);}return dp[target] == target;
}

变种提升

组合问题

01背包还可以用于计算装满容量为N的物品的组合数。

n个数，每个数可以是正负两种状态，不过这里要求的是组合数。

首先，由于符号未定，我们的物品是不确定的。
但是元素总和是确定的sum，
假设加法总和为x，所有元素总和为sum，那么减法元素总和为sum - x。
target = x - (sum - x) = 2x - sum
x = (sum + target) / 2

sum和target都是已知的。

因此也就是，问题可以转为装满容量为x的背包的方法数。
这样就只用考虑正数。

设dp[i][j]表示0-i元素任意选，装满j的方法数：
假设i选择：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]]
假设i不选：
dp[i][j] = dp[i - 1][j]

总方法数：
dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] + dp[i - 1][j]

状态转移方程与01背包几乎一致，考虑滚动数组压缩：
dp[j] = dp[j - nums[i]] + dp[j]
进一步：
dp[j] += dp[j - nums[i]]

此外注意：求方法数时，容量为0，方法数为1，即都不选!!!。

    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);if (abs(target) > sum) return 0;if ((target + sum) % 2) return 0;int bagSize = (target + sum) >> 1;vector<int> dp(bagSize + 1);dp[0] = 1;for (int num : nums) {for (int j = bagSize; j >= num; --j) {dp[j] += dp[j - num];}} }return dp[bagSize];

多维01背包

同样是子集问题，每个元素选或者不选两种情况，所不同的时，有0和1两方面的限制，即背包容量的维度是2维的。

dp[i][j][k]表示0-i物品任意选，0的容量为j，1的容量为k，能够装的物品数。
子情况拆分：
第i个选品如果选：假设第i个物品0的个数为cnt0i、1的个数为cnt1i。
dp[i][j][k] = dp[i - 1][j - cnt0i][cnt1i] + 1;
第i个物品如果不选：
dp[i][j][k] = dp[i][j][k];

转移方程和01背包一致，只依赖上方和左上方，可以逆序遍历背包容量来做成滚动数组形式;

int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (const string &str : strs) {int cntOne = 0;for (char c : str) cntOne += c - '0';int cntZero = str.size() - cntOne;for (int i = m; i >= cntZero; --i) {for (int j = n; j >= cntOne; --j) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - cntZero][j - cntOne] + 1);}}}return dp[m][n];
}

有特殊限制的01背包

这道题也是0、1背包，但是物品有主件和附件之分，每个主件可以有0,1或者2个附件，附件必须依赖主件。

有主附之分的物品是无法直接应用01背包模板的，我们需要把元素进行组装。

具体而言，一个元素的价格有四种可能，主件，主件+附件1，主件+附件2，主件+附件1+附件2。

相应的，也需要把物品的价值（即满意度进行组装）

注意点：
1、从示例2可以看出，行号为物品编号，附件可以出现在主件前，因此先用prices和values先把数据保存下来。
2、主件价格为0可以直接跳过
3、遍历每个主件时，将它与附件进行组合：主件，主件+附件1，主件+附件2，主件+附件1+附件2。
4、应用背包模板，逆序遍历背包容量。
5、输入都除10，可以降低时空复杂度，但需要注意后边输出时乘回来。

#include <bits/stdc++.h>
#include <vector>
using namespace std;int main() {int N, m;cin >> N >> m;N /= 10;vector<vector<int>> prices(m + 1, vector<int> (4)), values (m + 1, vector<int> (4));// prices[i]：3个元素，分别为i号主件价格，i号主件的附件1价格，i号主件的附件2价格for (int i = 1; i <= m; ++i) {int v, p, q;cin >> v >> p >> q;v /= 10;p *= v;if (q == 0) {// 0 : 主件prices[i][0] = v;values[i][0] = p;} else {if (prices[q][1] == 0) {// 1 : 附件1prices[q][1] = v;values[q][1] = p;} else {// 2 : 附件2prices[q][2] = v;values[q][2] = p;}}}vector<int> dp(N + 1);for (int i = 1; i <= m; ++i) {if (prices[i][0] == 0) continue;int p1 = prices[i][0], p2 = p1 + prices[i][1], p3 = p1 + prices[i][2], p4 = p2 + p3 - p1;int v1 = values[i][0], v2 = v1 + values[i][1], v3 = v1 + values[i][2], v4 = v2 + v3 - v1; for (int j = N; j >= p1; --j) {dp[j] = j >= p1 ? max(dp[j], dp[j - p1] + v1) : dp[j];dp[j] = j >= p2 ? max(dp[j], dp[j - p2] + v2) : dp[j];dp[j] = j >= p3 ? max(dp[j], dp[j - p3] + v3) : dp[j];dp[j] = j >= p4 ? max(dp[j], dp[j - p4] + v4) : dp[j];}}cout << dp[N] * 10 << endl;return 0;
}

完全背包

打家劫舍

股票系列

子序列类

数位dp