当前位置：首页 > news >正文

安徽金路建设集团有限公司网站快速排名seo

news 2026/4/7 3:42:19

安徽金路建设集团有限公司网站,快速排名seo,网站建设好的图片,做外贸的网站平台有哪些内容正交变换和仿射变换平面的正交变换正交点变换（保距变换） 平面上的一个保持任意两点距离不变的点变换平面正交变换性质正交变换的乘积是正交变换恒等变换是正交变换正交变换将（不）共线的三点映射成（不&#xff09…

正交变换和仿射变换

平面的正交变换

正交点变换（保距变换）
- 平面上的一个保持任意两点距离不变的点变换

平面正交变换性质

正交变换的乘积是正交变换
恒等变换是正交变换
正交变换将（不）共线的三点映射成（不）共线的三点
正交变换将直线（段）映射成直线（段）
正交变换是可逆的
正交变换将平行直线映射成平行直线

平面正交变换定理

平面上的正交变换\sigma 把任意一个直角标架I 变成一个直角标架 II，使得一点P的I 坐标等于其像P‘ 的II坐标。其逆定理成立。
平面上的正交变换或是平移或是旋转或是反射或者是他们的乘积
平面上的正交点变换\sigma 把直角标架I[O;e1,e2] 映射成直角标架II [O';e1',e2'] 其中O',e1',e2'的I 坐标分别是
- (a_1, a_2)^T (a_{11}, a_{21})^T (a_{12}, a_{22})^T
- 那么 \sigma 在直角标架I 中的公式为：
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$
- 其逆定理成立

平面的仿射变换

仿射变换定义
- 如果平面到自身的双射\sigma 把共线的三点映射成共线三点，那么称 \sigma 是平面上的一个仿射变换

仿射变换的性质

仿射变换把不共线的三点映射成不共线三点
仿射变换的逆变换也是仿射变换
仿射变换的乘积也是仿射变换
仿射变换把直线映射成直线
仿射变换把平行线映射成平行线
仿射变换\sigma 诱导了平面上所有有序电偶组成的集合S到自身的一个映射保持有序电偶的加法运算

$\sigma(A, B):=(A',B')$

上一条定义的映射保持有序电偶的数量乘法

仿射变换基本定理

设\sigma 是平面上的一个变换，I[O;d1, d2]是仿射坐标系,\sigma(O) = O',\sigma(di) = di'(i=1, 2) 则\sigma 是仿射变换当且仅当II[O';d1', d2']也是仿射坐标系，且点P的I 坐标系等于它的像点P' 的II坐标

定理1

设平面上的一个变换\sigma 。仿射坐标系I[O;e1,e2] \sigma(O)=O',\sigma(di)=di'(i=1, 2)
其中O',d1',d2'的I 坐标分别是
- (a_1, a_2)^T (a_{11}, a_{21})^T (a_{12}, a_{22})^T
- P 坐标(x, y)^T 和像点P' (x', y')
$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$

定理2

定义(a,b) 为以a,b为邻边，并且边界的环形方向为a 到 b的旋转方向的定向平行四边形的定向面积即：(a,b) e = a \times b
设仿射变换\tau 在仿射标架I 中的公式为

$\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \end{pmatrix}$

对于任意不共线的向量a, b,\tau(a) = a',\tau(b) = b' 有
- $\frac{(a',b;)}{(a,b)}=\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$
仿射变换按照同一个比值改变所有平行四边形的定向面积，其比值为变积系数