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二叉树基础知识

概念 : 

根节点的五个形态 : 

特殊的二叉树

满二叉树 : 

 完全二叉树 : 

二叉搜索树  :

平衡二叉搜索树 : 

二叉树的性质 : 

二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构

二叉树的链式存储结构

 二叉树的遍历方式 : 

基础概念

前中后遍历

 层序遍历 : 

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二叉树基础知识

概念 : 

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

根节点的五个形态 : 

1. 空二叉树

2. 只有一个根结点

3. 根结点只有左子树

4. 根结点只有右子树

5. 根结点既有左子树又有右子树

特殊的二叉树

满二叉树 : 

概念 : 

如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。

图例 : 

 完全二叉树 : 

概念 : 

        在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（h从1开始），则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

图例 : 

 而

 这个就不是一颗完全二叉树!

二叉搜索树  :

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面的就是一颗二叉搜索树;

 二叉搜索树最大的特点就是左<父<右 ;

平衡二叉搜索树 : 

又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

其中c++中的map、set、multimap，multiset的底层实现都是平衡二叉搜索树，所以map、set的增删操作时间时间复杂度是logn , 而unordered_map、unordered_set，unordered_map、unordered_set底层实现是哈希表。

二叉树的性质 : 

1. 二叉树的第i层上至多有2 ^ (i-1)（i≥1）个节点。

2. 深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点

3. 若在任意一棵二叉树中，有 n0 个叶子节点，有 n2 个度为2的节点，则必有n0 = n2 + 1

4. 具有n个节点的完全二叉树深为log2(x) + 1（其中x表示不大于n的最大整数）

5. 若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1<=i<=n），那么，对于编号为i（i>=1）的节点:

   ⑴i =1 时，该节点为根，它无双亲节点 。

   ⑵ i > 1 时，该节点的双亲节点的编号为i/2 。

   ⑶2i<= n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点 。

   ⑷2i+1<=n ，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点 。

二叉树的存储结构

二叉树可以顺序存储，也可以链式存储 ;

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系，左右兄弟的关系等。

如以下这颗完全二叉树 : 

 可以采用以下线性表来存储:

下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数据	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J

 如果父节点的数组下标是 i，那么它的左孩子就是 i * 2 + 1，右孩子就是 i * 2 + 2。

二叉树的链式存储结构

在链式结构中，一个二叉树的结点包含左孩子指针，数据，右孩子指针 ;

链式存储效果如图 : 

二叉链表的结构体定义 : 

typedef struct BiTNode
{TElemType data;  //数据域struct BiTNode *lchild,*rchild; //指针域
}BiTNode，*BiTree;

 二叉树的遍历方式 : 

基础概念

首先，主要的两种遍历方式为 : 

1. 深度优先遍历：先往深走，遇到叶子节点再往回走。
2. 广度优先遍历：一层一层的去遍历。

这两种遍历方法又可以细分 : 

• 深度优先遍历
  • 前序遍历（递归法，迭代法）
  • 中序遍历（递归法，迭代法）
  • 后序遍历（递归法，迭代法）
• 广度优先遍历
  • 层次遍历（迭代法）

前中后遍历

其中前中后三种结点的遍历顺序 如下 :

• 前序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中

图例 : 

 层序遍历 : 

从树的第一层开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问 ;

如下图 : 

 层序遍历的结果为 : 

ABCDEFGHI 

参考 : 

1. 《大话数据结构》

2. 《数据结构》C语言版（清华严蔚敏考研版）

3. 【数据结构与算法】二叉树

4. 代码随想录