基于flash网站设计,公司网站制作注意什么,网络营销就是什么,企业建站1年以下是一种循序推理的方式#xff0c;来帮助你从基础概念出发#xff0c;理解 内点法#xff08;Interior-Point Method, IPM#xff09; 是什么、为什么要用它#xff0c;以及它是如何工作的。 1. 问题起点#xff1a;带不等式约束的优化
假设你有一个带不等式约束的优…以下是一种循序推理的方式来帮助你从基础概念出发理解 内点法Interior-Point Method, IPM 是什么、为什么要用它以及它是如何工作的。 1. 问题起点带不等式约束的优化
假设你有一个带不等式约束的优化问题 min x f ( x ) subject to g i ( x ) ≤ 0 , i 1 , … , m . \begin{aligned} \min_{x} \quad f(x) \\ \text{subject to } \quad g_i(x) \le 0, \quad i1,\ldots,m. \end{aligned} xminf(x)subject to gi(x)≤0,i1,…,m. f ( x ) f(x) f(x)目标函数 g i ( x ) ≤ 0 g_i(x) \le 0 gi(x)≤0不等式约束例如控制输入不能超范围
我们想要找到一个满足所有约束且使目标函数最小的点 x ∗ x^* x∗。 2. 直接在边界上“走”的困难
一种思路是最优点往往在可行域边界上很多经典优化问题里最优解会出现在约束生效的边界。
但是如果我们只在边界上“走”常常要先找到并跟随所有活跃约束的交线这在高维情况下非常复杂。并且如果问题是非线性的直接处理“在边界上走”会更难容易出现数值不稳定或无法收敛的问题。 3. 想法能不能“在里面”搜索最后再逼近边界
为了避免“一上来就卡在边界”有人提出
先在可行域内部所有约束 g i ( x ) 0 g_i(x) 0 gi(x)0 都“宽裕”附近做搜索那里没有太多束缚比较容易用连续的梯度法去迭代寻优当我们逐渐找到一个更优解需要靠近边界时再“慢慢地”逼近它。
这样做就不需要每一步都严格跟在边界上也能保证可行性不跑到约束外面去。 4. 内点法的关键障碍函数Barrier Function
为在域内部搜索需要一种数学手段让解“自动”不跑出界。这时就引入了障碍函数。
4.1 形式对约束加一个“负对数”项
对每个不等式约束 g i ( x ) ≤ 0 g_i(x)\le0 gi(x)≤0定义一个项 − log ( − g i ( x ) ) . -\log(-g_i(x)). −log(−gi(x)).
如果 g i ( x ) 0 g_i(x) 0 gi(x)0那么 − g i ( x ) 0 -g_i(x) 0 −gi(x)0对数是可以求的。一旦 g i ( x ) g_i(x) gi(x) 接近 0也就是接近边界 − g i ( x ) -g_i(x) −gi(x) 趋向 0这个对数会趋向 − ∞ -\infty −∞但我们在目标函数中是带一个负号“-”变成了一个正无穷大的惩罚。这样一来就相当于在可行域的边缘设置了一道**“墙”越靠近边界代价就越大解被迫**留在可行域内部。
4.2 组合成“障碍型”目标函数
把原本的目标函数 f ( x ) f(x) f(x) 和障碍项结合 B ( x , μ ) f ( x ) − μ ∑ i 1 m log ( − g i ( x ) ) . B(x, \mu) f(x) - \mu \sum_{i1}^m \log\bigl(-g_i(x)\bigr). B(x,μ)f(x)−μi1∑mlog(−gi(x)). μ 0 \mu 0 μ0 是一个系数称为“障碍参数barrier parameter”。当 μ \mu μ 较大时障碍惩罚也大解就离约束边界更远当我们逐渐减小 μ \mu μ系统会允许解更靠近边界。 5. 迭代逼近最优解
内点法并不是一次就把问题解决而是
从一个“较宽松”的问题开始 μ \mu μ 比较大边界惩罚很强。求解 min x B ( x , μ ) \min_x B(x, \mu) minxB(x,μ)得到一个可行域内部的解。降低 μ \mu μ 的值重新求解这时可以允许解更加靠近或到达真正的最优边界。多次迭代后 μ → 0 \mu \to 0 μ→0解会逼近真实最优解。
这一过程里算法会用到类似于 牛顿法、KKT 条件 等工具来求解各轮的子问题。 6. 内点法 vs. 其他方法
单纯形法Simplex在可行域的“顶点—边界—面”上走比较适合线性规划但在高维非线性问题上效率可能较低。内点法通过“障碍函数”把解留在域内部逐渐往边界逼近常在非线性规划NLP中表现更好也更适合大规模问题。 7. 在 MPC 中的应用
MPC 求解器如 IPOPT正是利用内点法来处理
多步预测的系统动力学约束输入/状态上下限非线性目标函数
让无人机等系统在高维空间里高效地搜索最优控制输入。 小结内点法的一句话总结 内点法是一种在可行域“内部”迭代搜索的求解策略通过“障碍函数”阻挡解跑出可行域并逐步放松障碍参数最终逼近最优解和约束边界。 这就是内点法的核心“推理过程”与其从边界开始不如在“里层”走让数值算法更稳定再慢慢让解贴近约束边界从而找到最优。
下面我将针对这段代码的逻辑和实现细节结合“内点法(障碍函数) 固定步长梯度下降”这一思路做一个比较细致的解析。 1. 整体思路与算法框架
目标问题从注释和注解上看是 min f ( x ) x 1 x 2 x 3 s.t. x 1 2 x 2 2 x 3 2 ≤ 1. \begin{aligned} \min \quad f(x) x_1 x_2 x_3 \\ \text{s.t.} \quad x_1^2 x_2^2 x_3^2 \;\le\; 1. \end{aligned} minf(x)x1x2x3s.t.x12x22x32≤1. 可行域是单位球 { x ∈ R 3 : ∥ x ∥ ≤ 1 } \{x \in \mathbb{R}^3 : \|x\|\le 1 \} {x∈R3:∥x∥≤1} 希望用内点法来解决不等式约束 x 1 2 x 2 2 x 3 2 ≤ 1 x_1^2 x_2^2 x_3^2 \le 1 x12x22x32≤1。 通常在内点法中会把不等式 (g(x) \le 0)这里 g ( x ) x 2 y 2 z 2 − 1 g(x)x^2y^2z^2 -1 g(x)x2y2z2−1 转写成形如 (h(x) 0)再将 (\log h(x)) 当作障碍项barrier。本例里定义 h ( x ) 1 − ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 ) , h(x) 1 - (x_1^2 x_2^2 x_3^2), h(x)1−(x12x22x32), 于是 h ( x ) 0 h(x) 0 h(x)0等价于 x 1 2 x 2 2 x 3 2 1 x_1^2 x_2^2 x_3^2 1 x12x22x321。 内点法的障碍目标函数定义为 B ( x , μ ) f ( x ) − μ ln ( h ( x ) ) , B(x,\mu) \;\; f(x)\;-\;\mu \,\ln\bigl(h(x)\bigr), B(x,μ)f(x)−μln(h(x)), 其中 μ 0 \mu0 μ0 是障碍系数(barrier parameter)。 μ \mu μ 越小 − μ log h ( x ) -\mu \log h(x) −μlogh(x)的惩罚作用越强最终会将可行解“推”到最接近边界的最优位置上。 在固定一个 μ \mu μ 的情况下常用牛顿法或梯度法去最小化 B ( x , μ ) B(x,\mu) B(x,μ) 。在算法外层循环中则逐步减小 μ \mu μ比如乘个衰减因子让解逐步逼近约束边界并最终得到较准确的可行最优解。
在这份代码中 外层循环 (共 max_outer 次) 每次先用当前 μ \mu μ 在球内做若干步梯度下降尝试求解 min B ( x , μ ) \min B(x,\mu) minB(x,μ)之后衰减 μ \mu μ ← \leftarrow ← μ ⋅ \mu \cdot μ⋅ (mu_decay) \text{(mu\_decay)} (mu_decay)进入下一轮重复直到 μ \mu μ 足够小或者达到外层迭代上限。 内层循环 (共 max_inner 次) 计算当前 B B B 的梯度 ∇ B ( x , μ ) \nabla B(x,\mu) ∇B(x,μ)做一步固定步长的梯度下降 x ← x − α ∇ B ( x , μ ) x \leftarrow x - \alpha \nabla B(x,\mu) x←x−α∇B(x,μ)如果发现新点 x new x_{\text{new}} xnew不可行或者离边界过近就缩小步长再试如果两次迭代 ∥ x new − x ∥ \|x_{\text{new}} - x\| ∥xnew−x∥ 非常小( tol)就视为收敛并 break。
这样就得到一条渐进接近最优解的迭代轨迹存放在 x_history 中。 2. 代码主干解析
从最外层开始看起核心部分在函数
function x_history interior_point_3d_solve()% 参数mu_init 1.0; % 初始障碍参数mu_decay 0.2; % 每轮迭代后 mu 的衰减因子alpha 0.001; % 固定梯度下降步长tol 1e-6; % 收敛判据max_outer 10; % 外层循环次数max_inner 50; % 每次 mu 下最大内层迭代次数% 初始化可行解(球内)x [0;0;0]; mu mu_init;x_history [];for outer 1:max_outerfor inner 1:max_innerg grad_B(x, mu); x_new x - alpha*g;% 若越过球边界 h(x_new) 0if h_3d(x_new) 1e-9x_new x - 0.1*alpha*g; % 缩小步长再试end% 收敛判断if norm(x_new - x) tolx x_new;break; % 跳出内层循环endx x_new;x_history [x_history; x]; end% 减小 mumu mu * mu_decay;if mu 1e-12break; % mu 已经很小不必再迭代endend% 加入最终点x_history [x_history; x];
endmu_init 设为 1.0之后每次外层循环会 mu mu * mu_decay即乘以 0.2。这样大概迭代几次后就会让 mu 变得很小。alpha0.001 是固定的梯度下降步长相对比较小所以我们用到 max_inner50 步来让它收敛到一个合适精度。收敛阈值 tol1e-6若相邻两步 ∥ x new − x ∥ \|x_{\text{new}}-x\| ∥xnew−x∥ 小于这个值就认为内层已经收敛。每次更新 x 后都会把它记录到 x_history 里用于可视化迭代轨迹。
这里值得注意的是如果单纯用固定步长可能碰到越过可行域边界即 (x2y2z^21)的风险。为此代码做了一个简单检查
if h_3d(x_new) 1e-9x_new x - 0.1*alpha*g; % 步长缩小10倍
end当然这只是一个很“简单粗暴”的处理工业级内点法通常要做更精细的线搜索或牛顿校正这里是为了示例演示。 3. 障碍函数与梯度的计算
3.1 h_3d(x)
function val h_3d(x)val 1.0 - (x(1)^2 x(2)^2 x(3)^2);
end即 h ( x ) 1 − r 2 h(x) 1 - r^2 h(x)1−r2其中 r 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2 r^2 x_1^2 x_2^2 x_3^2 r2x12x22x32。球内保证 h ( x ) 0 h(x)0 h(x)0。
3.2 B_3d(x, mu)
function val B_3d(x, mu)val f_3d(x) - mu*log(h_3d(x));
end对应障碍目标 B ( x , μ ) f ( x ) − μ ln ( h ( x ) ) B(x,\mu) f(x) - \mu\ln(h(x)) B(x,μ)f(x)−μln(h(x))。
3.3 grad_B(x, mu) 的推导
从数学上看如果 B ( x , μ ) f ( x ) − μ ln ( h ( x ) ) , B(x,\mu) \;\; f(x) \;-\; \mu \,\ln\bigl(h(x)\bigr), B(x,μ)f(x)−μln(h(x)), 则其梯度为 ∇ B ( x , μ ) ∇ f ( x ) − μ ∇ ln ( h ( x ) ) . \nabla B(x,\mu) \nabla f(x) \;-\; \mu \,\nabla \ln\bigl(h(x)\bigr). ∇B(x,μ)∇f(x)−μ∇ln(h(x)). 其中 ∇ ln ( h ( x ) ) 1 h ( x ) ∇ h ( x ) . \nabla \ln(h(x)) \frac{1}{h(x)} \nabla h(x). ∇ln(h(x))h(x)1∇h(x). 而 (h(x) 1 - r^2)(\nabla h(x) -2x)。所以 ∇ ln ( h ( x ) ) − 2 x 1 − r 2 . \nabla \ln(h(x)) \frac{-2x}{1-r^2}. ∇ln(h(x))1−r2−2x. 带上负号“ − μ -\mu −μ”一起就得到对障碍项的贡献为 2 μ x 1 − r 2 \frac{2\mu x}{1 - r^2} 1−r22μx。
如果我们要最小化 f ( x ) x 1 x 2 x 3 f(x) x_1 x_2 x_3 f(x)x1x2x3其梯度就是 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1)。 于是 ∇ B ( x , μ ) ( 1 , 1 , 1 ) 2 μ 1 − r 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) . \nabla B(x,\mu) \bigl(1,1,1\bigr) \frac{2\mu}{1-r^2}\,\bigl(x_1,x_2,x_3\bigr). ∇B(x,μ)(1,1,1)1−r22μ(x1,x2,x3).
在代码中可以看到
function g grad_B(x, mu)hx h_3d(x); % 1 - r^2dB_dx0 1.0 (2.0 * mu * x(1) / hx);dB_dx1 1.0 (2.0 * mu * x(2) / hx);dB_dx2 1.0 (2.0 * mu * x(3) / hx);g [dB_dx0; dB_dx1; dB_dx2];
end正好对应上面的公式1.0 就是 ∇ f ( x ) \nabla f(x) ∇f(x) 的那一部分 ( 2.0 ∗ m u ∗ x ( i ) / h x ) (2.0*mu*x(i)/hx) (2.0∗mu∗x(i)/hx) 对应障碍项梯度那一部分。 4. 运行与结果
如果修正了 f_3d那么在球内最小化 (xyz) 的最优解理论上会落在球面上与 ((1,1,1)) 方向相反的地方也就是球面朝着 ((-1,-1,-1)) 的方向。其最优解应当是 ( − 1 3 , − 1 3 , − 1 3 ) \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \;-\frac{1}{\sqrt{3}}, \;-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) (−3 1,−3 1,−3 1) 因为在约束 x 2 y 2 z 2 1 x^2y^2z^21 x2y2z21 上(xyz) 的最小值就是 − 3 -\sqrt{3} −3 。迭代跑起来后你应该能看到解最终趋近这个点轨迹会从球心出发一路在球内前进并在迭代后期逐渐贴近球面。
如果把可视化部分加上即下面这段示例
x_history interior_point_3d_solve();figure(Color,w,Name,Interior-Point 3D Demo);
hold on; grid on; axis equal;% 绘制单位球面
[Xs, Ys, Zs] sphere(50);
surf(Xs, Ys, Zs, ...FaceAlpha,0.1, EdgeColor,none, FaceColor,c);xlabel(x_0); ylabel(x_1); zlabel(x_2);
title(Minimize x_0 x_1 x_2 subject to x_0^2 x_1^2 x_2^2 \le 1);% 画迭代轨迹
x0_hist x_history(:,1);
x1_hist x_history(:,2);
x2_hist x_history(:,3);
plot3(x0_hist, x1_hist, x2_hist, b-o,LineWidth,1.5);% 最后一点标红
plot3(x0_hist(end), x1_hist(end), x2_hist(end), ...ro, MarkerSize,8, MarkerFaceColor,r);legend(Unit Sphere,Iter Process,Final Solution);
view(35,25);就能看到一个球面和从原点出发沿着负对角线方向慢慢收敛到球面那一点的轨迹。 5. 小结 内点法原理通过把约束 x 1 2 x 2 2 x 3 2 ≤ 1 x_1^2 x_2^2 x_3^2 \le 1 x12x22x32≤1 转化为对数障碍 − μ ln ( 1 − r 2 ) -\mu \ln\bigl(1 - r^2\bigr) −μln(1−r2)并在外层迭代不断减小 μ \mu μ。这能保证迭代点始终在球内 ( h ( x ) 0 h(x) 0 h(x)0)同时在 μ → 0 \mu\to0 μ→0 时逐渐收敛到可行域边界上的最优点。 实现细节 用固定步长 简单可行性校正(越界时缩步长)用 max_outer 与 max_inner 控制多重循环用 tol 判断迭代收敛在每次迭代都记录 x 到 x_history 中用于可视化。 需要修正的地方 代码中的 f_3d(x) 与注释/梯度公式不一致应改回 function val f_3d(x)val x(1) x(2) x(3);
end这样才与“最小化 (xyz)”的需求相吻合。
修正后运行即可得到一个从球心(原点)出发最终靠近 ( − 1 3 , − 1 3 , − 1 3 ) \bigl(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigr) (−3 1,−3 1,−3 1) 的迭代过程。 参考为什么最优解是 ( − 1 / 3 , − 1 / 3 , − 1 / 3 ) \bigl(-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3}\bigr) (−1/3 ,−1/3 ,−1/3 )
因为在单位球约束下若要最小化 x 1 x 2 x 3 x_1x_2x_3 x1x2x3相当于“在球面上找与(1,1,1)方向夹角最大的点”——也就是与 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) (1,1,1) 反方向的单位向量。它正好是 − 1 3 ( 1 , 1 , 1 ) \frac{-1}{\sqrt{3}}(1,1,1) 3 −1(1,1,1)。目标值是 x 1 x 2 x 3 − 3 . x_1 x_2 x_3 -\sqrt{3}. x1x2x3−3 . 这与几何直觉、拉格朗日乘子法都能得到一样的结果。 6. 结语
该代码很好地演示了使用对数障碍(log-barrier)的内点法思路用一系列的无约束子问题带障碍项来逼近有约束优化并在外层迭代中逐渐减小障碍系数 (\mu)使解贴近约束边界的最优解。不过在正式应用时往往不会用固定步长的简单梯度下降而会用牛顿法或线搜索以获得更好的数值稳定性和收敛速度。代码本身最大的问题是 f_3d 与注释/公式不匹配只要改回 f_3d(x) x(1)x(2)x(3) 即可与文档保持一致也能正确体现“最小化 ∑ x i \sum x_i ∑xi”的意图。
在使用对数障碍log‐barrier形式的内点法时 μ \mu μ有时也记作 t t t 或 ν \nu ν通常被称为障碍参数barrier parameter。它的核心作用是 控制对数障碍项的“强度” 在障碍型目标函数 B ( x , μ ) f ( x ) − μ ln ( h ( x ) ) B(x,\mu) \;\; f(x)\;-\;\mu \,\ln\bigl(h(x)\bigr) B(x,μ)f(x)−μln(h(x)) 中(\mu) 决定了 (-\mu \ln\bigl(h(x)\bigr)) 这部分惩罚力度的大小。 当 (\mu) 较大时对(\ln(h(x)))的惩罚力度相对较小算法对靠近约束边界的“敏感度”不高所以在收敛初期可以更自由地在可行域里移动。当 (\mu) 变小时(-\mu \ln(h(x)))会变得更尖锐迫使解更加贴近且“贴合”可行域的边界若这是最优解所在的位置。 帮助逐步逼近最优解并保持可行 内点法的思路是一开始用较大的 (\mu)障碍作用较弱来保证算法稳步地在可行域里进行搜索之后在外层循环中逐步减小 (\mu)使对数障碍项逐渐变得陡峭从而把解“推”到真正需要的边界附近并逼近最优解。 数值上的平衡 如果 (\mu) 过小一开始 (-\mu \ln(h(x))) 的势垒就会非常强导致很难在可行域里移动且容易产生数值不稳定如(\ln(h(x)))趋向负无穷。如果 (\mu) 过大到收敛后期也无法精确地在边界附近找到最优解。所以通常会有一条**“(\mu)衰减”路径**比如 (\mu \leftarrow \beta \mu)(\beta1)来让解逐步逼近最优值。 简而言之(\mu) 是控制“障碍强度”的调节器。随着 (\mu) 从大到小的不断衰减解会逐渐向可行域边界靠拢并最终获得精确的约束最优解。 完整代码
function x_history interior_point_3d_solve()
%{使用内点法(障碍函数 固定步长梯度下降)求解:min f(x) x(1) x(2) x(3)s.t. x(1)^2 x(2)^2 x(3)^2 1.内点法: 定义障碍型目标B(x, mu) f(x) - mu * log( h(x) ), 其中h(x) 1 - (x0^2 x1^2 x2^2).输出:x_history: 每个迭代得到的 (x0, x1, x2).
%}% 参数mu_init 1.0; % 初始障碍参数mu_decay 0.2; % 每轮迭代后 mu 的衰减因子alpha 0.001; % 梯度下降步长tol 1e-6; % 收敛阈值max_outer 10; % 外层循环(更新 mu)次数max_inner 50; % 每次 mu 下最大迭代次数% 初始化可行解 (x0, x1, x2)球内例如原点x [0; 0; 0]; mu mu_init;x_history [];for outer 1:max_outerfor inner 1:max_innerg grad_B(x, mu); % 计算梯度x_new x - alpha*g;% 如果越过球边界 h(x_new) 0 x_new^2y^2z^2 1% 简单地缩小步长再试if h_3d(x_new) 1e-9x_new x - 0.1*alpha*g;end% 收敛判断if norm(x_new - x) tolx x_new;break;endx x_new;x_history [x_history; x]; % 记录轨迹(行向量)end% 降低 mu 使解更逼近约束边界mu mu * mu_decay;if mu 1e-12break;endend% 最后再将最终点加入x_history [x_history; x];
end%% 目标函数 f(x)
function val f_3d(x)% f(x0, x1, x2) x0 x1 x2val x(1) x(2) x(3);
end%% 障碍函数项 h(x) 1 - (x0^2 x1^2 x2^2)
function val h_3d(x)val 1.0 - (x(1)^2 x(2)^2 x(3)^2);
end%% 障碍型目标 B(x, mu) f(x) - mu*ln(h(x))
function val B_3d(x, mu)val f_3d(x) - mu*log(h_3d(x));
end%% B(x, mu) 的梯度
function g grad_B(x, mu)
%{B(x) (x0 x1 x2) - mu * ln(1 - r^2),其中 r^2 x0^2 x1^2 x2^2 dB/dx0 1 [2 mu x0 / (1 - r^2)] dB/dx1 1 [2 mu x1 / (1 - r^2)] dB/dx2 1 [2 mu x2 / (1 - r^2)]
%}hx h_3d(x);r2 x(1)^2 x(2)^2 x(3)^2;% hx 1 - r2 0 (只要在球内)dB_dx0 1.0 (2.0 * mu * x(1) / hx);dB_dx1 1.0 (2.0 * mu * x(2) / hx);dB_dx2 1.0 (2.0 * mu * x(3) / hx);g [dB_dx0; dB_dx1; dB_dx2];
end%{演示如何在 3D 中用“障碍函数 简单梯度下降”的内点法来最小化 f(x) x0 x1 x2subject to x0^2 x1^2 x2^2 1.可行域是单位球 (x0^2 x1^2 x2^2 1)。我们会在图中绘制球面并用散点绘制迭代轨迹。
%}% 1) 调用求解函数得到每步迭代的解 x(k)
x_history interior_point_3d_solve();% 2) 可视化
figure(Color,w,Name,Interior-Point 3D Demo);
hold on; grid on; axis equal; % 3D 坐标中最好设 axis equal% 2.1 绘制单位球面x0^2 x1^2 x2^2 1
[Xs, Ys, Zs] sphere(50);
% sphere() 生成一个半径为 1 的球面网格
surf(Xs, Ys, Zs, FaceAlpha,0.1, EdgeColor,none, FaceColor,c);
% 给球面一个半透明的青色xlabel(x_0); ylabel(x_1); zlabel(x_2);
title(Minimize x_0 x_1 x_2 subject to x_0^2 x_1^2 x_2^2 \le 1);% 2.2 绘制迭代轨迹
x0_hist x_history(:,1);
x1_hist x_history(:,2);
x2_hist x_history(:,3);nPoints size(x_history,1);
if nPoints 1% 中间过程点用蓝色散点plot3(x0_hist(1:end-1), x1_hist(1:end-1), x2_hist(1:end-1), ...bo-, LineWidth,1.5, MarkerSize,4, MarkerFaceColor,b);
end% 最后一点用红色标记
plot3(x0_hist(end), x1_hist(end), x2_hist(end), ...ro, MarkerSize,8, MarkerFaceColor,r);legend(Unit Sphere (Constraint), Iter Process, Final Solution);
view(35, 25); % 调整3D视角
