网站制作方案怎么做,建设网站怎么输入分子式,今天最新的新闻头条,网络建设设计方案很好#xff0c;我们现在来回答你问的这个问题#xff1a; #x1f7e0; 幂级数在收敛半径 R R R 以外会发生什么#xff1f;
我们考虑一个一般形式的幂级数#xff1a; ∑ n 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n \sum_{n0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n n0∑∞an(x−x0)n
它的…很好我们现在来回答你问的这个问题 幂级数在收敛半径 R R R 以外会发生什么
我们考虑一个一般形式的幂级数 ∑ n 0 ∞ a n ( x − x 0 ) n \sum_{n0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n n0∑∞an(x−x0)n
它的收敛半径为 R R R那么 ✅ 一、在 ∣ x − x 0 ∣ R |x - x_0| R ∣x−x0∣R收敛圆内部
幂级数绝对收敛连续、可导、可按项积分、可按项微分性质很好 ⚠️ 二、在 ∣ x − x 0 ∣ R |x - x_0| R ∣x−x0∣R收敛圆边界 幂级数可能 收敛绝对或条件也可能发散 需要逐个端点判别 ❌ 三、在 ∣ x − x 0 ∣ R |x - x_0| R ∣x−x0∣R收敛圆外部 一定发散 \textcolor{red}{\boxed{\text{一定发散}}} 一定发散
✅ 原因
这是幂级数的一个基本定理 幂级数只在收敛圆内部收敛在圆外一定发散。 具体解释如下
幂级数的收敛性由项 a n ( x − x 0 ) n a_n (x - x_0)^n an(x−x0)n 控制它的收敛性由以下公式决定 R 1 lim sup n → ∞ ∣ a n ∣ 1 / n R \frac{1}{\limsup\limits_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}} Rn→∞limsup∣an∣1/n1
如果 ∣ x − x 0 ∣ R |x - x_0| R ∣x−x0∣R则 ∣ a n ( x − x 0 ) n ∣ ↛ 0 \left| a_n (x - x_0)^n \right| \not\to 0 ∣an(x−x0)n∣→0
或者甚至发散得很快意味着整个级数不能收敛。 举个例子说明
考虑幂级数 ∑ n 0 ∞ x n 1 x x 2 x 3 ⋯ \sum_{n0}^{\infty} x^n 1 x x^2 x^3 \cdots n0∑∞xn1xx2x3⋯
这是一个等比级数 a 1 , q x a 1, q x a1,qx它的收敛半径 R 1 R 1 R1当 ∣ x ∣ 1 |x| 1 ∣x∣1收敛和为 1 1 − x \frac{1}{1 - x} 1−x1当 ∣ x ∣ 1 |x| 1 ∣x∣1需要分别判断比如 x 1 x 1 x1 发散 x − 1 x -1 x−1 条件收敛当 ∣ x ∣ 1 |x| 1 ∣x∣1项 x n x^n xn 越来越大 → 一定发散
