商务网站开发实验报告,北京纪念册设计制作,怎么做算命的网站,百度的网站收录怎么做题目链接#xff1a;最长斐波那契数列
题目#xff1a;
输入一个没有重复数字的单调递增的数组#xff0c;数组中至少有 3 个数字#xff0c;请问数组中最长的斐波那契数列的长度是多少#xff1f;例如#xff0c;如果输入的数组是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]#xff0…题目链接最长斐波那契数列
题目
输入一个没有重复数字的单调递增的数组数组中至少有 3 个数字请问数组中最长的斐波那契数列的长度是多少例如如果输入的数组是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]由于其中最长的斐波那契数列是 1、2、3、5、8因此输出 5。
分析
所谓斐波那契数列是指数列中从第三个数字开始每个数字都等于前面两个数字之和如数列 1、2、3、5、8、13 就是一个斐波那契数列。
可以从左至右每次从输入的数组中取出一个数字使之和前面的若干数字组成斐波那契数列。一个数字可能和前面不同的数字组成不同的斐波那契数列。例如输入数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]假设我们处理到数字 6数字 6 就可以和前面的数字组成两个斐波那契数列分别是 1、5、6 和 2、4、6。也就是说每处理到一个数字时可能面临若干选择需要从这些选择中找出最长的斐波那契数列。解决一个问题需要多个步骤每一步面临若干选择这个题目看起来适合运用回溯法。但由于这个问题没有要求列出所有的斐波那契数列而是找出最长斐波那契数列的长度也就是求最优解因此可以用动态规划来解决这个问题。
分析确定状态转移方程
应用动态规划的关键在于找出状态转移方程。将数组记为 AA[i] 表示数组中下标为 i 的数字。对于每个 j0 j iA[j] 都有可能是在某个斐波那契数列中 A[i] 前面的一个数字。如果存在一个 k0 k j满足 A[k] A[j] A[i]那么这 3 个数字就组成了一个斐波那契数列。这个以 A[i] 为结尾、前一个数字是 A[j] 的斐波那契数列是在以 A[j] 为结尾、前一个数字是 A[k] 的序列的基础上增加一个数字 A[i]因此前者的长度是在后者的长度的基础上加 1。
例如在数组 A [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 中A[7] 等于 8。数字 8 既可以在 1、2、3、5结尾数字为 A[4]的基础上形成更长的斐波那契数列也可以和数字 6A[5]一起形成斐波那契数列 2、6、8还可以和数字 7A[6]一起组成斐波那契数列 1、7、8。虽然序列 2、6 和 1、7 本身都不是斐波那契数列但在后面添加数字 8 之后就变成斐波那契数列。
由于以 A[i] 为结尾的斐波那契数列的长度依赖于它前面的数字 A[j]不同的 A[j] 能和 A[i] 形成不同的斐波那契数列它们的长度也可能不同。因此状态转移方程有两个参数 i 和 jf(i, j) 表示以 A[i] 为最后一个数字、A[j] 为倒数第 2 个数字的斐波那契数列的长度。如果数组中存在一个数字 k使 A[i] A[j] A[k]0 k j i那么 f(i, j) f(j, k) 1即在以 A[j] 为最后一个数字、A[k] 为倒数第 2 个数字的斐波那契数列的基础上增加一个数字 A[i]形成更长的一个数列。f(i, j) 的值可能是 2此时虽然 A[i] 和 A[j] 这两个数字现在还不能形成一个有效的斐波那契数列但可能会在之后增加一个新的数字使之形成长度为 3 甚至更长的斐波那契数列。
根据状态转移方程写代码
由于状态转移方程有两个参数 i 和 j因此需要一个二维数组来缓存 f(i, j) 的计算结果。i 对应二维数组的行号j 对应二维数组的列号。由于 i 大于 j因此实际上只用到了二维数组的左下角部分。如果数组的长度是 n那么 i 的取值范围为 1 ~ n - 1而 j 的取值范围为 0 ~ n - 2。
下表记录了计算数组 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] 中最长斐波那契数列的长度的过程。 代码实现
class Solution {
public:int lenLongestFibSubseq(vectorint arr) {unordered_mapint, int numToIndex;numToIndex[arr[0]] 0;
int n arr.size();vectorvectorint dp(n, vectorint(n - 1));int result 0;for (int i 1; i n; i){for (int j 0; j i; j){int target arr[i] - arr[j];if (numToIndex.count(target) numToIndex[target] j){int k numToIndex[target];dp[i][j] dp[j][k] 1;result max(result, dp[i][j]);}else{dp[i][j] 2;}}numToIndex[arr[i]] i;}return result;}
};
