做网站的图片需要多少钱,郑州最新防疫进展,电商网站系统建设考试,温州整站推广咨询下面这个定理来自《计算机代数》6.1三角列与特征列#xff08;王东明、夏壁灿著#xff09;
【定理】 设 C [ C 1 , … , C r ] \mathbb{C }\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack C[C1,…,Cr]为多项式组 P ⊂ K [ x ] \mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\…下面这个定理来自《计算机代数》6.1三角列与特征列王东明、夏壁灿著
【定理】 设 C [ C 1 , … , C r ] \mathbb{C }\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack C[C1,…,Cr]为多项式组 P ⊂ K [ x ] \mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack P⊂K[x]的特征列且命 I i i n i ( C i ) P i P ∪ { I i } i 1 , … , r I_{i} ini\left( C_{i} \right)\ \ \ \ \ \ \mathbb{P}_{i}\mathbb{ P \cup}\left\{ I_{i} \right\}\ \ \ \ \ i 1,\ldots,r Iiini(Ci) PiP∪{Ii} i1,…,r I i n i ( C ) { I 1 , … , I r } \mathbb{I }ini\left( \mathbb{C} \right) \left\{ I_{1},\ldots,I_{r} \right\} Iini(C){I1,…,Ir} 则 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(C\I)⊂Zero(P)⊂Zero(C) Z e r o ( P ) Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)Zero(C\I)∪i1⋃rZero(Pi) 在 K \mathcal{K} K以及 K \mathcal{K} K的任意扩域中成立 【证明】 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)⊂Zero(P) 由于 C [ C 1 , … , C r ] \mathbb{C }\left\lbrack C_{1},\ldots,C_{r} \right\rbrack C[C1,…,Cr]为多项式组 P ⊂ K [ x ] \mathbb{P \subset}\mathcal{K\lbrack}\mathbf{x}\rbrack P⊂K[x]的特征列所以 p r e m ( P , C ) { 0 } prem\left( \mathbb{P,C} \right) \left\{ 0 \right\} prem(P,C){0}也就是说对于任意 P ∈ P P \in \mathbb{P} P∈P都有 I 1 q 1 … I r q r P ∑ i 1 r C i I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}}P \sum_{i 1}^{r}C_{i} I1q1…IrqrPi1∑rCi 而对于任意的 x ∈ Z e r o ( C \ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) x∈Zero(C\I)都有 x ∉ Z e r o ( I 1 q 1 … I r q r ) x \notin Zero\left( I_{1}^{q_{1}}\ldots I_{r}^{q_{r}} \right) x∈/Zero(I1q1…Irqr)且 x ∈ Z e r o ( C i ) x \in Zero\left( C_{i} \right) x∈Zero(Ci)那么 P 0 P 0 P0可得 x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) x∈Zero(P)即 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)⊂Zero(P)。 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(P)⊂Zero(C) 根据特征列的定义有 C ⊂ ⟨ P ⟩ \mathbb{C \subset}\left\langle \mathbb{P} \right\rangle C⊂⟨P⟩也就是 C i ∑ P ∈ P k P P C_{i} \sum_{P \in \mathbb{P}}^{}{k_{P}P} CiP∈P∑kPP 所以当多项式 P P P的值为 0 0 0时 C i C_{i} Ci必为 0 0 0即 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(P)⊂Zero(C)。 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)⊂Zero(C\I)∪⋃i1rZero(Pi) 设 x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) x∈Zero(P)根据2那么有 x ∈ Z e r o ( C ) x \in Zero\left( \mathbb{C} \right) x∈Zero(C)。 若 x ∈ Z e r o ( I ) x \in Zero\left( \mathbb{I} \right) x∈Zero(I)则 x ∈ ⋃ i 1 r Z e r o ( I i ) x \in \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( I_{i} \right)} x∈⋃i1rZero(Ii)又因为 x ∈ Z e r o ( P ) x \in Zero\left( \mathbb{P} \right) x∈Zero(P)所以 x ∈ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) x \in \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} x∈⋃i1rZero(Pi) 若 x ∉ Z e r o ( I ) x \notin Zero\left( \mathbb{I} \right) x∈/Zero(I)结合 x ∈ Z e r o ( C ) x \in Zero\left( \mathbb{C} \right) x∈Zero(C)可得 x ∈ Z e r o ( C \ I ) x \in Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) x∈Zero(C\I)。 结合上述两种情况的讨论可得 Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)⊂Zero(C\I)∪⋃i1rZero(Pi)。 Z e r o ( P ) ⊃ Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) \supset Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)⊃Zero(C\I)∪⋃i1rZero(Pi) 根据1 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)⊂Zero(P) 因为 Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(Pi)⊂Zero(P)所以 ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) ⋃i1rZero(Pi)⊂Zero(P)。 综合可得 Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) ⊂ Z e r o ( P ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero(C\I)∪⋃i1rZero(Pi)⊂Zero(P) 综合1、2可得 Z e r o ( C \ I ) ⊂ Z e r o ( P ) ⊂ Z e r o ( C ) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \subset Zero\left( \mathbb{P} \right) \subset Zero\left( \mathbb{C} \right) Zero(C\I)⊂Zero(P)⊂Zero(C)
综合3、4可得 Z e r o ( P ) Z e r o ( C \ I ) ∪ ⋃ i 1 r Z e r o ( P i ) Zero\left( \mathbb{P} \right) Zero\left( \mathbb{C\backslash I} \right) \cup \bigcup_{i 1}^{r}{Zero\left( \mathbb{P}_{i} \right)} Zero(P)Zero(C\I)∪i1⋃rZero(Pi)
