最便宜的购物网站排名,东莞市网络seo推广企业,制作网站需要学什么软件有哪些,长沙点看网络科技有限公司梅氏定理和塞瓦定理 目录 一、说明二、梅涅劳斯#xff08;Menelaus#xff09;定理三、塞瓦(Giovanni Ceva#xff09;定理四、塞瓦点的推广 一、说明 在射影几何中#xff0c;梅涅劳斯#xff08;Menelaus#xff09;定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定…梅氏定理和塞瓦定理 目录 一、说明二、梅涅劳斯Menelaus定理三、塞瓦(Giovanni Ceva定理四、塞瓦点的推广 一、说明 在射影几何中梅涅劳斯Menelaus定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理可以导出多项结论如极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯Menelaus定理 梅涅劳斯Menelaus定理简称梅氏定理最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》Sphaerica中。 定理定义 当一条直线交 Δ A B C \Delta ABC ΔABC三边所在的直线 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB分别于点 D , E , F D,E,F D,E,F时则有 A F F B B D D C C E E A 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}1 FBAFDCBDEACE1 分析显然 D , E , F D,E,F D,E,F分别为线段 B C , A C , A B BC,AC,AB BC,AC,AB的定比分点。因此 A F F B λ 1 ; B D D C λ 2 ; C E E A λ 3 \frac{AF}{FB}\lambda_1 ; \; \frac{BD}{DC} \lambda_2;\frac{CE}{EA}\lambda_3 FBAFλ1;DCBDλ2;EACEλ3 因此等价说法是 λ 1 λ 2 λ 3 1 \lambda_1 \lambda_2\lambda_31 λ1λ2λ31 [定理证明] 过点A作 A G ∥ D B AG\parallel DB AG∥DB交 B C BC BC的延长线于G点, 则: A F F B λ 1 D G B D \frac{AF}{FB}\lambda_1\frac{DG}{BD} FBAFλ1BDDG C E E A λ 3 C D D G \frac{CE}{EA}\lambda_3\frac{CD}{DG} EACEλ3DGCD ∴ A F F B B D D C C E E A λ 1 λ 2 λ 3 D G B D B D D C C D D G 1 \therefore \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} \lambda_1 \lambda_2\lambda_3\frac{DG}{BD} \frac{BD}{DC}\frac{CD}{DG}1 ∴FBAFDCBDEACEλ1λ2λ3BDDGDCBDDGCD1 [证毕]
三、塞瓦(Giovanni Ceva定理 塞瓦(Giovanni Ceva1648~1734)意大利水利工程师数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。 【定理说明】 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)1。 分析
四、塞瓦点的推广 当塞瓦点在三角形外部如下图ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部 A F F B B D D C C E E A 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}1 FBAFDCBDEACE1
【证明】 B D D C S Δ A B D S Δ A D C S Δ O B D S Δ O D C \frac{BD}{DC} \frac{S_{\Delta ABD}}{S_{\Delta ADC}} \frac{S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ODC}} DCBDSΔADCSΔABDSΔODCSΔOBD 更比定理 B D D C S Δ A B D − S Δ O B D S Δ A D C − S Δ O B D S Δ O B A S Δ C A O \frac{BD}{DC} \frac{S_{\Delta ABD}-S_{\Delta OBD}}{S_{\Delta ADC}-S_{\Delta OBD}} \frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}} DCBDSΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBDSΔCAOSΔOBA C E E A S Δ B C O S Δ A B O \frac{CE}{EA} \frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} EACESΔABOSΔBCO A F F B S Δ C A O S Δ B C O \frac{AF}{FB} \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}} FBAFSΔBCOSΔCAO A F F B B D D C C E E A S Δ C A O S Δ B C O S Δ O B A S Δ C A O S Δ B C O S Δ A B O 1 \frac{AF}{FB} \frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} \frac{S_{\Delta CAO}}{S_{\Delta BCO}}\frac{S_{\Delta OBA}}{S_{\Delta CAO}}\frac{S_{\Delta BCO}}{S_{\Delta ABO}} 1 FBAFDCBDEACESΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO1
【证毕】
