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1.多项式拟合中的 Runge Phenomenon
找到一条通过N1个点的多项式曲线 #xff0c;需要N次曲线。通过两个点的多项式曲线为一次#xff0c;三个点的多项式曲线为二…总结 What is the Difference Between Natural Cubic Spline, Hermite Spline, Bézier Spline and B-spline?
1.多项式拟合中的 Runge Phenomenon
找到一条通过N1个点的多项式曲线 需要N次曲线。通过两个点的多项式曲线为一次三个点的多项式曲线为二次。当点数较多时曲线阶数增高在端点处易出现 Runge Phenomenon。这种现象是指在曲线阶数较高时拟合的结果可能在端点处与实际产生很大的误差。比如下图中蓝色曲线是实际曲线橙色是对11个点拟合产生得到10次多项式在端点处发生了很大的抖动。
2.Bernstein Polynomials伯恩斯坦多项式and Bézier Curves贝塞尔曲线
伯恩斯坦多项式的图解下图中黄蓝色点从P0往P1匀速前进在0时刻位于P0在1时刻位于P1类似地绿色点从P1匀速朝着P2前进那么蓝点和绿点就是一条位置和长度都动态变化的线段。在这个前提下红色点沿着动态的蓝绿线段“匀速”前进“匀速”的含义是蓝红线段长度除以蓝绿线段的长度的值等于时间t即这个值在0时刻等于0在1时刻等于1。 根据上边的情况可以推导出红点的位置与时间t的关系为下图。可以得出红点的位置是P0P1P2的一个组合。红点的位置曲线随着三个控制点P0P1P2的变化而唯一确定。 三个控制点前的系数叫做Bernstein basis polynomials红点的位置曲线叫做二次贝塞尔曲线。可以注意到二次贝塞尔曲线的三个控制点中有两个在曲线上作为曲线的起点和终点一般是固定的。那么曲线就由第三个控制点唯一确定在Bezier tool上通过拖动这个控制点可以方便地获得自己想要的二次贝塞尔曲线。
伯恩斯坦二次多项式基底注意这个基地是可以扩展到更高次的详见bezier spline。即对于三个控制点可以用二次贝萨尔曲线拟合四个控制点可以用三次拟合以此类推。高阶的贝萨尔曲线可能会比较复杂使用分段贝萨尔曲线就可以得到B-样条。具体参考贝萨尔曲线和B样条
3.Hermite Basis Polynomials and Cubic Hermite Interpolation
Hermite曲线考虑一个关于时间t的三次多项式 p(t) at^3 bt^2 ct d他有四个未知数那么找到找到四个等式那么就能解析出四个未知数。首尾端点可以构造出两个等式Hermite曲线假设首尾端点处的斜率也是已知的那么就有四个不相关的条件构造出四个等式唯一地解出多项式。
Hermite多项式的**四个条件**解析出的Hermite三次多项式注意Hermite曲线与贝塞尔曲线有一个共同点 首尾端点固定的情况下利用某些额外的条件寻找一条平滑的曲线。
4.三次样条
样条函数是使用最多的分段多项式插值方法k次样条由多段k次多项式曲线组成。一个k次样条除了函数值连续在曲线区间内也是k-1次可微k-2次导数连续并且k-1次导数连续。使用最多的是三次样条相较于一次和二次样条它具有平滑和变化的二阶导数具有更多的变换性质。 