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多臂老虎机问题可以被看作简化版的强化学习问题#xff0c;算是最简单的“和环境交互中的学习”的一种形式#xff0c;不存在状态信息#xff0c;只有动作和奖励。多臂老虎机中的探索与利用#xff08;exploration vs. exploitation#xff09;问题一直以来都…1.问题简介
多臂老虎机问题可以被看作简化版的强化学习问题算是最简单的“和环境交互中的学习”的一种形式不存在状态信息只有动作和奖励。多臂老虎机中的探索与利用exploration vs. exploitation问题一直以来都是一个特别经典的问题理解它能够帮助我们学习强化学习。
2.问题介绍
2.1问题定义
在多臂老虎机multi-armed banditMAB问题中有一个拥有 K根拉杆的老虎机拉动每一根拉杆都对应一个关于奖励的概率分布R。我们每次拉动其中一根拉杆就可以从该拉杆对应的奖励概率分布中获得一个奖励 。我们在各根拉杆的奖励概率分布未知的情况下从头开始尝试目标是在操作 T次拉杆后获得尽可能高的累积奖励。由于奖励的概率分布是未知的因此我们需要在“探索拉杆的获奖概率”和“根据经验选择获奖最多的拉杆”中进行权衡。 2.2形式化描述
多臂老虎机问题可以表示为一个元组其中
A为动作集合其中一个动作表示拉动一个拉杆。若多臂老虎机一共有K根拉杆那动作空间就是集合我们用表示任意一个动作R为奖励概率分布拉动每一根拉杆的动作a都对应一个奖励概率分布R(r|a)拉动不同拉杆的奖励分布通常是不同的。 假设每个时间步只能拉动一个拉杆多臂老虎机的目标为最大化一段时间步T内累积的奖励:
其中表示在第t时间步拉动某一拉杆的动作表示动作获得的奖励。
对于每一个动作a定义其期望奖励为: 于是至少存在一根拉杆它的期望奖励不小于拉动其他任意一根拉杆我们将该最优期望奖励表示为: 懊悔(regret)定义为拉动当前拉杆的动作a与最优拉杆的期望奖励差即 :
累积懊悔cumulative regret即操作 T次拉杆后累积的懊悔总量对于一次完整的T步决策累积懊悔为 MAB 问题的目标为最大化累积奖励等价于最小化累积懊悔。
为了知道拉动哪一根拉杆能获得更高的奖励我们需要估计拉动这根拉杆的期望奖励。由于只拉动一次拉杆获得的奖励存在随机性所以需要多次拉动一根拉杆然后计算得到的多次奖励的期望其算法流程如下所示 以上 for 循环中的第四步如此更新估值是因为这样可以进行增量式的期望更新为什么不按照常规方法将所有数求和再除以次数呢具体原因如下
因为如果将所有数求和再除以次数其缺点是每次更新的时间复杂度和空间复杂度均为 O(n)。而采用增量式更新时间复杂度和空间复杂度均为O(1) 。
3. 代码实现
以下代码来实现一个拉杆数为 10 的多臂老虎机。其中拉动每根拉杆的奖励服从伯努利分布Bernoulli distribution即每次拉下拉杆有P的概率获得的奖励为 1有1-P的概率获得的奖励为 0。奖励为 1 代表获奖奖励为 0 代表没有获奖。
# 导入需要使用的库,其中numpy是支持数组和矩阵运算的科学计算库,而matplotlib是绘图库
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltclass BernoulliBandit: 伯努利多臂老虎机,输入K表示拉杆个数 def __init__(self, K):self.probs np.random.uniform(sizeK) # 随机生成K个01的数,作为拉动每根拉杆的获奖# 概率self.best_idx np.argmax(self.probs) # 获奖概率最大的拉杆self.best_prob self.probs[self.best_idx] # 最大的获奖概率self.K Kdef step(self, k):# 当玩家选择了k号拉杆后,根据拉动该老虎机的k号拉杆获得奖励的概率返回1获奖或0未# 获奖if np.random.rand() self.probs[k]:return 1else:return 0np.random.seed(1) # 设定随机种子,使实验具有可重复性
K 10
bandit_10_arm BernoulliBandit(K)
print(随机生成了一个%d臂伯努利老虎机 % K)
print(获奖概率最大的拉杆为%d号,其获奖概率为%.4f %(bandit_10_arm.best_idx, bandit_10_arm.best_prob))
接下来我们用一个 Solver 基础类来实现上述的多臂老虎机的求解方案。需要实现下列函数功能根据策略选择动作、根据动作获取奖励、更新期望奖励估值、更新累积懊悔和计数。在下面的 MAB 算法基本框架中我们将根据策略选择动作、根据动作获取奖励和更新期望奖励估值放在 run_one_step() 函数中由每个继承 Solver 类的策略具体实现。而更新累积懊悔和计数则直接放在主循环 run() 中。
class Solver: 多臂老虎机算法基本框架 def __init__(self, bandit):self.bandit banditself.counts np.zeros(self.bandit.K) # 每根拉杆的尝试次数self.regret 0. # 当前步的累积懊悔self.actions [] # 维护一个列表,记录每一步的动作self.regrets [] # 维护一个列表,记录每一步的累积懊悔def update_regret(self, k):# 计算累积懊悔并保存,k为本次动作选择的拉杆的编号self.regret self.bandit.best_prob - self.bandit.probs[k]self.regrets.append(self.regret)def run_one_step(self):# 返回当前动作选择哪一根拉杆,由每个具体的策略实现raise NotImplementedErrordef run(self, num_steps):# 运行一定次数,num_steps为总运行次数for _ in range(num_steps):k self.run_one_step()self.counts[k] 1self.actions.append(k)self.update_regret(k)
