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1分解投影矩阵
1.1投影矩阵分解为相机内外参矩阵的完整解析
投影矩阵#xff08;Projection Matrix#xff09;是计算机视觉中将三维世界点映射到二维像素坐标的核心工具#xff0c;其本质是相机内参矩阵#xff08;Intrinsic Matrix#xff09…恢复相机位姿的几种方法
1分解投影矩阵
1.1投影矩阵分解为相机内外参矩阵的完整解析
投影矩阵Projection Matrix是计算机视觉中将三维世界点映射到二维像素坐标的核心工具其本质是相机内参矩阵Intrinsic Matrix和外参矩阵Extrinsic Matrix的联合作用。 一、投影矩阵的数学构成
投影矩阵 P P P 是一个 3 × 4 3 \times 4 3×4 的矩阵其表达式为 P K ⋅ [ R ∣ t ] P K \cdot [R \ | \ t] PK⋅[R ∣ t] 其中 K K K 是内参矩阵 3 × 3 3 \times 3 3×3包含焦距 f x , f y f_x, f_y fx,fy 和主点坐标 ( c x , c y ) (c_x, c_y) (cx,cy)形式为 K [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K \begin{bmatrix} f_x 0 c_x \\ 0 f_y c_y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} K fx000fy0cxcy1 [ R ∣ t ] [R \ | \ t] [R ∣ t] 是外参矩阵 3 × 4 3 \times 4 3×4由旋转矩阵 R R R 3 × 3 3 \times 3 3×3和平移向量 t t t 3 × 1 3 \times 1 3×1组成表示世界坐标系到相机坐标系的变换。
关键性质
投影矩阵前三列 P [ : , 1 : 3 ] P_{[:,1:3]} P[:,1:3] 对应 K ⋅ R K \cdot R K⋅R第四列 P [ : , 4 ] P_{[:,4]} P[:,4] 对应 K ⋅ t K \cdot t K⋅t。任何非奇异的前三列矩阵均可通过分解唯一确定 K K K 和 R R R。 二、分解步骤与数学方法
1. 分离内参矩阵 K K K 和外参旋转矩阵 R R R
对投影矩阵的前三列进行 RQ分解或等效的 QR分解 K ⋅ R P [ : , 1 : 3 ] ⇒ RQ分解 ⇒ K , R K \cdot R P_{[:,1:3]} \quad \Rightarrow \quad \text{RQ分解} \quad \Rightarrow \quad K, R K⋅RP[:,1:3]⇒RQ分解⇒K,R
RQ分解将矩阵分解为一个上三角矩阵对应内参 K K K和一个正交矩阵对应旋转 R R R。由于 K K K 是上三角矩阵 R R R 是正交矩阵满足 R T R I R^T R I RTRI此分解是唯一的。验证分解结果 检查 K K K 的最后一行为 [ 0 , 0 , 1 ] [0, 0, 1] [0,0,1]否则需对矩阵进行归一化。若分解后 R R R 的行列式不为 1 1 1即非旋转矩阵需调整符号以保证其为合法旋转矩阵。
2. 求解平移向量 t t t
从投影矩阵第四列提取 K ⋅ t K \cdot t K⋅t并通过逆运算得到平移向量 t K − 1 ⋅ P [ : , 4 ] t K^{-1} \cdot P_{[:,4]} tK−1⋅P[:,4] 示例若 K [ f x 0 c x 0 f y c y 0 0 1 ] K \begin{bmatrix} f_x 0 c_x \\ 0 f_y c_y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} K fx000fy0cxcy1 则 K − 1 [ 1 / f x 0 − c x / f x 0 1 / f y − c y / f y 0 0 1 ] K^{-1} \begin{bmatrix} 1/f_x 0 -c_x/f_x \\ 0 1/f_y -c_y/f_y \\ 0 0 1 \end{bmatrix} K−1 1/fx0001/fy0−cx/fx−cy/fy1 。
3. 分解的唯一性与约束条件
尺度等价性投影矩阵 P P P 的尺度不确定性即 P P P 和 λ P \lambda P λP 等价需通过附加约束如焦距的物理单位确定。非奇异条件分解要求 P P P 的前三列矩阵非奇异即 det ( P [ : , 1 : 3 ] ) ≠ 0 \det(P_{[:,1:3]}) \neq 0 det(P[:,1:3])0。 2分解单应矩阵
2.1世界坐标到像素坐标
当世界坐标为平面时投影矩阵此时为特殊的单应矩阵利用张正友标定法原理可以求解相机位姿。
2.2像素坐标到像素坐标
当单应矩阵描述两张照片的射影关系时有数值法和解析法 《Motion and structure from motion in a piecewise planar environment》 《3d reconstruction based on homography mapping》 《Deeper understanding of the homography decomposition for vision based control》 3分解本质矩阵
3.1 基本矩阵分解得到相机位姿的完整解析
在双目视觉或多视图几何中基本矩阵Fundamental Matrix描述了不同视角间图像点对应的对极几何约束关系。分解基本矩阵以恢复相机位姿旋转矩阵 R R R和平移向量 t t t是三维重建与SLAM系统的核心步骤。以下结合数学推导、分解方法及工程实践详细阐述其实现过程。 一、基本矩阵与本质矩阵的关系
基本矩阵 F F F和本质矩阵 E E E是理解对极几何的关键 基本矩阵 F F F 定义两视图间的对极约束关系满足 x ′ T F x 0 \mathbf{x}^T F \mathbf{x} 0 x′TFx0 其中 x \mathbf{x} x和 x ′ \mathbf{x} x′为归一化平面坐标点。 本质矩阵 E E E 当相机内参 K K K已知时 E E E与 F F F的关系为 E K T F K E K^T F K EKTFK E E E可分解为旋转矩阵 R R R和平移向量 t t t的组合 E [ t ] × R E [t]_\times R E[t]×R 其中 [ t ] × [t]_\times [t]×为平移向量 t t t的斜对称矩阵。 二、分解本质矩阵的数学步骤
1. 奇异值分解SVD
对本质矩阵 E E E进行SVD分解 E U Σ V T E U \Sigma V^T EUΣVT 其中 Σ diag ( σ 1 , σ 2 , 0 ) \Sigma \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, 0) Σdiag(σ1,σ2,0) σ 1 ≈ σ 2 \sigma_1 \approx \sigma_2 σ1≈σ2。根据Hartley的归一化方法 Σ \Sigma Σ可替换为 diag ( 1 , 1 , 0 ) \text{diag}(1,1,0) diag(1,1,0)以消除尺度影响。
2. 构造候选解
分解后旋转矩阵 R R R和平移向量 t t t的可能组合为 R U W V T 或 R U W T V T R U W V^T \quad \text{或} \quad R U W^T V^T RUWVT或RUWTVT t U ⋅ 3 或 t − U ⋅ 3 t U_{\cdot 3} \quad \text{或} \quad t -U_{\cdot 3} tU⋅3或t−U⋅3 其中 W [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] W \begin{bmatrix} 0 -1 0 \\ 1 0 0 \\ 0 0 1 \end{bmatrix} W 010−100001 这会产生四组候选解 ( R 1 , t 1 ) , ( R 1 , − t 1 ) , ( R 2 , t 1 ) , ( R 2 , − t 1 ) (R_1, t_1), (R_1, -t_1), (R_2, t_1), (R_2, -t_1) (R1,t1),(R1,−t1),(R2,t1),(R2,−t1)。
3. 解的唯一性筛选
通过正深度约束筛选正确解
对匹配点对 x ↔ x ′ \mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{x} x↔x′计算三角化后的3D点 P P P在相机坐标系下的深度 Z Z Z。若所有点的深度 Z Z Z均为正则该解为物理可行解。若存在多组可行解需结合多视图几何或先验信息进一步判断。
4PnP方法
通过已知的3d点和对应的2d点直接求解相机位姿主要有直接线性变换p3pEPnPBA等。 参考 MVG slam14讲 1 2
