cms建站是什么,网站建设汇报 安全保障,小程序建站网站,企业电商平台开发如果您想了解更多信息#xff0c;请查看第 2 部分和第 3 部分。 一、说明 这是第一篇文章#xff0c;我将帮助您获得如何使用这个新的强大工具来解决金融中的半分析问题并取代您的蒙特卡洛方法的直觉。 我们都知道并喜欢蒙特卡洛数字积分方法#xff0c;但是如果我告诉你你可… 如果您想了解更多信息请查看第 2 部分和第 3 部分。 一、说明 这是第一篇文章我将帮助您获得如何使用这个新的强大工具来解决金融中的半分析问题并取代您的蒙特卡洛方法的直觉。 我们都知道并喜欢蒙特卡洛数字积分方法但是如果我告诉你你可以用虚数和傅里叶级数来代替蒙特卡洛呢 主要好处是速度这在期权定价中非常重要。这非常重要因为用于定价股票期权的赫斯顿模型需要数字积分蒙特卡罗大约需要 100 毫秒傅里叶级数需要几毫秒。 二、第 1 部分但是什么是傅里叶级数 对于任何函数 f 和区间 ab我们可以将 fx 近似为余弦和正弦的无限和L b-a。 三、第 2 部分将数学公式应用于 Python
def get_fourier_approx(f, x:np.array, a:float, b:float, N:int):fa lambda x, n : f(x) * cos((2*pi*n*x)/(b - a))fb lambda x, n : f(x) * sin((2*pi*n*x)/(b - a))A0 1/(b - a) * quad(f, a, b, limit200)[0]Cosine_Sine_Sum np.zeros_like(x)for n in range(1, N1):A 2/(b - a) * quad(fa, a, b, args(n), limit200)[0]B 2/(b - a) * quad(fb, a, b, args(n), limit200)[0]Cosine_Sine_Sum A*cos((2*pi*n*x)/(b - a)) B*sin((2*pi*n*x)/(b - a))fx A0 Cosine_Sine_Sumreturn fx a -6
b 6
x np.linspace(a, b, 1_000)
y f(x)fig, (ax1, ax2) plt.subplots(2, figsize(20,12))
blue_shades [#0000FF, #3399FF, #66B2FF, #99CCFF, #CCE5FF]avg_residuals []
Ns [8, 16, 32, 64, 128]
for i, N in enumerate(Ns):fx get_fourier_approx(ff, xx, aa, bb, NN)ax1.plot(x,fx, blue_shades[i], labelfN {N})ax2.plot(x,y-fx, blue_shades[i], labelfN {N})avg_residuals.append(np.abs(y-fx).mean())ax1.set_title(Fourier Transform of f(x))
ax1.plot(x,y,tab:red, linestyle--)
ax2.set_title(Residuals)
plt.tight_layout() ; ax1.legend();ax2.legend() ; plt.show()pd.Series(avg_residuals, indexNs, nameAvg Residual) 3.1 方形功能 来源笔记本 N Avg. Residual
--------------------
8 1.311711
16 0.784683
32 0.440387
64 0.268449
128 0.154604 3.2 线路功能 来源笔记本 N Avg. Residual
--------------------
8 0.447389
16 0.264635
32 0.153540
64 0.088745
128 0.052147 3.3 正态分布 在 [0 12] 中缩放 y其中 - 平均值 100- 标准 0.1 *sqrt5*100- a 100 -12 * 标准 - b 100 12 * 标准 来源笔记本 N Avg. Residual
--------------------
8 1.092374e-01
16 8.326020e-05
32 6.878539e-14
64 5.721031e-14
128 5.170898e-14 3.3 议论 所有分布都按比例缩放使 y 范围从 [0,12] 开始因此我们可以比较残差的大小。从绘图和残差可以看出函数的曲线越大傅里叶级数收敛到正确值的速度就越快。我们将此属性用作正态并且对数正态不需要很多项来计算在我们的近似中具有足够的准确性。数据开头和结尾的误差明显更高。因此最好包含比预期使用的限制更高的限制。例如当您需要 ±4 时计算 ±3std。这使得深度价外期权更难计算。 四、第3部分 ST的对数正态分布 S_T遵循 Q 下的简单 GBM我们可以使用以下等式推导出S_T的概率密度 现在我们可以使用以下函数在 Python 中定义 fS_T并将下限定义为 0 S_0*expr*T 12 * sigma*sqrtT*S_0 S0 100
r 0.05
sigma 0.1
T 5.0Z lambda St : np.where(St 0, ((log(St/S0) - (r - .5*sigma)*T)/(sqrt(T)*sigma)), -np.inf)
f lambda x : norm.pdf(Z(x))a S0*exp(r*T) - 12 * sigma*sqrt(T)*S0
b S0*exp(r*T) 12 * sigma*sqrt(T)*S0 Source: Notebook N Avg. (scaled) Residual Avg. Residual Execution Time (sec)
----------------------------------------------------------------------------
8 0.176429 5.880975e-03 0.112720
16 0.004235 1.411566e-04 0.246473
32 0.000030 9.855127e-07 0.624209
64 0.000027 8.918504e-07 1.936948
128 0.000026 8.530034e-07 6.741019 4.1 言论 我包括了缩放和非缩放残差。缩放残差对应于不正确的缩放概率使得 max{y}12其中正确的非缩放max{y}0.4。这样做是为了将对数正态分布的拟合与上面绘制的其他函数进行比较。我们可以推断出由于形状不对称对数正态分布比正态分布更难拟合。我们可以看到在非缩放版本中有 64 项计算 PS_Tx 的预期误差非常小小于 0.0001%。将分布集中在 T 处的期望值周围非常重要12stds 左右对称。 我做了一个版本其中a和b不对称残差不均匀分布。直觉上你会采取 a0但它不会产生理想的结果。*S_T残差是针对 S_T0 的值计算的因为这是不可能的我们不关心小于 0 的值。 a1e-8 的S_T密度在残差处表现出不良性质。来源笔记本 4.2 限制 — 缺点 — 改进 将前面提到的任何函数近似为傅里叶级数并使用数值积分作为计算 An 和 Bn 的手段没有任何好处。分析计算 An 和 Bn 系数非常重要因此唯一的数值部分是计算序列。好处在别处。当fx没有显式形式并且需要数值积分时我们可以用特征函数和傅里叶级数半解析地解决问题。如果我们在 Python 中使用 scipy.norm 为带有标准 BS 的选项定价大约需要 0.06 毫秒。 但是如果我们解析求解积分 A0、An、Bn 并使用复数版本我们会得到大约 0.6 毫秒这是可比的。我们将在第 3 部分中在 Heston 模型中使用它该模型是此类期权定价的行业标准。 下一篇第 2 部分 媒介链接 在下一篇文章中我们将了解如何将这些知识与特征函数虚数的使用结合使用以使用标准布莱克-斯科尔斯模型计算欧洲看涨期权的值。
