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高质量博客汇总 文章目录 前言 第二章 确知信号1. 确知信号的类型2. 确知信号的频域性质2.1 功率信号的频谱2.2 周期性方波的频谱2.3 能量信号的频谱密度2.4 矩形脉冲的频谱密度2.5 常用的傅里叶变换2.6 能量信号的能量谱密度2.7 功率信号的功率谱密度 3. 确知信号的时域性质3.1 能量信号的自相关函数3.2 功率信号的自相关函数3.3 能量信号的互相关函数3.4 功率信号的互相关函数 第二章 确知信号
1. 确知信号的类型
代表信号电压或者电流的时间波形 s ( t ) s(t) s(t) s ( t ) s(t) \quad s(t) 信号的能量单位焦耳。 E ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E \int_{-\infty }^{\infty} s^2(t)\mathrm{d}t E∫−∞∞s2(t)dt 如果这个数是一个正的有限值则信号为能量信号。与此同时能量信号的平均功率 P 0 P0 P0。
平均功率定义如下。 P lim T → ∞ ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t P \lim_{T \to \infty } \int_{-T/2}^{T/2}s^2(t)\mathrm{d}t PT→∞lim∫−T/2T/2s2(t)dt 两种信号。
能量信号E为一个有限的正的值但是平均功率P0。功率信号其平均功率时等于一个有限的正值但是能量为无穷大。
2. 确知信号的频域性质
2.1 功率信号的频谱
功率信号一般认为是周期的。别管这么多书上就是这样写的
令一个周期信号 s ( t ) s(t) s(t)的周期为 T 0 T_0 T0频谱函数可以定义成以下形式。 C n C ( n f 0 ) 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t f 0 1 / T 0 n 为整数 , − ∞ n ∞ C ( n f 0 ) 表示 C 是 n f 0 的函数并简记为 C n C_n C(nf_0) \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}s(t)e^{-j2\pi nf_0t}\mathrm{d}t \\ f_0 1/T_0 \\ n为整数, -\inftyn\infty \\ C(nf_0)表示C是nf_0的函数并简记为C_n CnC(nf0)T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0tdtf01/T0n为整数,−∞n∞C(nf0)表示C是nf0的函数并简记为Cn 傅立叶级数可以把 s ( t ) s(t) s(t)展开。 s ( t ) ∑ n − ∞ ∞ C n e j 2 π n t / T 0 s(t) \sum_{n-\infty}^{\infty} C_ne^{j2\pi nt/T_0} s(t)n−∞∑∞Cnej2πnt/T0 展开需要满足傅立叶级数的狄利克雷条件一般信号是可以满足的。
当 n 0 n0 n0的时候是 s ( t ) s(t) s(t)的直流分量。 C 0 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) d t C_{0}\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{d} t C0T01∫−T0/2T0/2s(t)dt 频谱函数 C n C_n Cn是一个复数。 C n ∣ C n ∣ e j θ n C_{n}\left|C_{n}\right| \mathrm{e}^{\mathrm{j} \theta_{n}} Cn∣Cn∣ejθn 对于周期性功率信号来说频谱函数 C n C_n Cn是离散的。
重要性质。 C − n 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e j 2 π n f 0 t d t [ 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) e − j 2 π n f 0 t d t ] ∗ C n ∗ C_{-n}\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t\left[\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t\right]^{*}C_{n}^{*} C−nT01∫−T0/2T0/2s(t)ej2πnf0t dt[T01∫−T0/2T0/2s(t)e−j2πnf0t dt]∗Cn∗ 傅立叶级数也可以展开成三角形式。 s ( t ) C 0 ∑ n 1 ∞ [ a n cos ( 2 π n t / T 0 ) b n sin ( 2 π n t / T 0 ) ] C 0 ∑ n 1 ∞ [ a n 2 b n 2 cos ( 2 π n t / T 0 θ n ) ] 其中 θ n − arctan ( b n / a n ) \begin{array}{l} \begin{aligned} s(t) C_{0}\sum_{n1}^{\infty}\left[a_{n} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}\right)b_{n} \sin \left(2 \pi n t / T_{0}\right)\right] \\ C_{0}\sum_{n1}^{\infty}\left[\sqrt{a_{n}^{2}b_{n}^{2}} \cos \left(2 \pi n t / T_{0}\theta_{n}\right)\right] \end{aligned}\\ 其中 \quad \theta_{n}-\arctan \left(b_{n} / a_{n}\right) \end{array} s(t)C0n1∑∞[ancos(2πnt/T0)bnsin(2πnt/T0)]C0n1∑∞[an2bn2 cos(2πnt/T0θn)]其中θn−arctan(bn/an)
2.2 周期性方波的频谱 C n 1 T ∫ − τ / 2 τ / 2 V e − j 2 π n f 0 t d t 1 T [ − V j 2 π n f 0 e − j 2 π n f 0 t ] − τ / 2 τ / 2 V T e j 2 π n f 0 τ / 2 − e − j 2 π n f 0 τ / 2 j 2 π n f 0 V π n f 0 T sin π n f 0 τ V τ T S a ( n π τ T ) \begin{aligned} C_{n} \frac{1}{T} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} V \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t} \mathrm{~d} t\frac{1}{T}\left[-\frac{V}{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0}} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} t}\right]_{-\tau / 2}^{\tau / 2} \\ \frac{V}{T} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} \tau / 2}-\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi n f_{0} \tau / 2}}{\mathrm{j} 2 \pi n f_{0}}\frac{V}{\pi n f_{0} T} \sin \pi n f_{0} \tau \frac{V \tau}{T} \mathrm{Sa}\left(\frac{n \pi \tau}{T}\right) \end{aligned} CnT1∫−τ/2τ/2Ve−j2πnf0t dtT1[−j2πnf0Ve−j2πnf0t]−τ/2τ/2TVj2πnf0ej2πnf0τ/2−e−j2πnf0τ/2πnf0TVsinπnf0τTVτSa(Tnπτ) 记住答案很重要。 C n V τ T S a ( n π τ T ) C_n \frac{V \tau}{T} \mathrm{Sa}\left(\frac{n \pi \tau}{T}\right) CnTVτSa(Tnπτ)
2.3 能量信号的频谱密度
注意叫法功率信号的傅里叶系数 C n C_n Cn是叫做功率信号的频谱。
而能量信号的傅里叶变换结果 S ( f ) S(f) S(f)叫做频谱密度。 S ( f ) ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π f t d t S(f)\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t S(f)∫−∞∞s(t)e−j2πft dt S ( f ) S(f) S(f)的逆傅立叶变换就是原信号。 s ( t ) ∫ − ∞ ∞ S ( f ) e j 2 π f t d f s(t)\int_{-\infty}^{\infty} S(f) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} f s(t)∫−∞∞S(f)ej2πft df 实能量信号的频谱密度和实功率信号的频谱有一个共同的特征即负频谱和正频谱的模偶对称相位奇对称。 ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e − j 2 π f t d t [ ∫ − ∞ ∞ s ( t ) e j 2 π f t d t ] ∗ S ( f ) [ S ( − f ) ] ∗ \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t\left[\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f t} \mathrm{~d} t\right]^{*} \\ S(f)[S(-f)]^{*} ∫−∞∞s(t)e−j2πft dt[∫−∞∞s(t)ej2πft dt]∗S(f)[S(−f)]∗
2.4 矩形脉冲的频谱密度
矩形脉冲的表达式为。 g τ ( t ) { 1 ∣ t ∣ ⩽ τ / 2 0 ∣ t ∣ τ / 2 g_{\tau}(t)\left\{\begin{array}{ll} 1 |t| \leqslant \tau / 2 \\ 0 |t|\tau / 2 \end{array}\right. gτ(t){10∣t∣⩽τ/2∣t∣τ/2
傅立叶变换结果为。 G τ ( f ) τ S a ( π f τ ) G_\tau(f) \tau \mathrm{Sa}(\pi f \tau) Gτ(f)τSa(πfτ) 很重要要记住。
2.5 常用的傅里叶变换 f ( t ) F ( w ) f ( t ) F ( w ) δ ( t ) 1 r e c t ( t / τ ) τ S a ( w τ / 2 ) 1 2 π δ ( w ) W 2 π S a ( W t 2 ) r e c t ( w W ) e j w 0 t 2 π δ ( w − w 0 ) c o s ( w 0 t ) π [ δ ( w − w 0 ) δ ( w w 0 ) ] s g n ( t ) 2 j w s i n ( w 0 t ) π j [ δ ( w − w 0 ) − δ ( w w 0 ) ] j 1 π t s g n ( w ) e − α ∣ t ∣ 2 α α 2 w 2 u ( t ) π δ ( w ) 1 j w u ( t ) e − α t 1 α j ω δ T ( t ) ∑ n − ∞ ∞ δ ( t − n T ) 2 π T ∑ n − ∞ ∞ δ ( ω − n ⋅ 2 π T ) u ( t ) t e − α t 1 ( α j ω ) 2 \begin{array}{cc|cc} \hline f(t) F(w) f(t) F(w) \\ \hline \delta(t) 1 rect(t/\tau) \tau Sa(w\tau/2) \\ 1 2\pi\delta(w) \frac{W}{2\pi}Sa(\frac{Wt}{2}) rect(\frac{w}{W}) \\ e^{jw_0t} 2\pi\delta (w-w_0) cos(w_0t) \pi[\delta(w-w_0)\delta(ww_0)] \\ sgn(t) \frac{2}{jw} sin(w_0t) \frac{\pi}{j}[\delta(w-w_0)-\delta(ww_0)] \\ j\frac{1}{\pi t} sgn(w) e^{-\alpha |t| } \frac{2\alpha}{\alpha ^2w^2} \\ u(t) \pi\delta(w)\frac{1}{jw} u(t) \mathrm{e}^{-\alpha t} \frac{1}{\alpha\mathrm{j} \omega}\\ \delta_{T}(t)\sum_{n-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) \frac{2 \pi}{T} \sum_{n-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega-n \cdot \frac{2 \pi}{T}\right) u(t) t \mathrm{e}^{-\alpha t} \frac{1}{(\alpha\mathrm{j} \omega)^{2}} \\ \hline \end{array} f(t)δ(t)1ejw0tsgn(t)jπt1u(t)δT(t)∑n−∞∞δ(t−nT)F(w)12πδ(w)2πδ(w−w0)jw2sgn(w)πδ(w)jw1T2π∑n−∞∞δ(ω−n⋅T2π)f(t)rect(t/τ)2πWSa(2Wt)cos(w0t)sin(w0t)e−α∣t∣u(t)e−αtu(t)te−αtF(w)τSa(wτ/2)rect(Ww)π[δ(w−w0)δ(ww0)]jπ[δ(w−w0)−δ(ww0)]α2w22ααjω1(αjω)21
2.6 能量信号的能量谱密度
能量E。 E ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t E\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) \mathrm{d} t E∫−∞∞s2(t)dt 巴塞伐尔定理。 E ∫ − ∞ ∞ s 2 ( t ) d t ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f E\int_{-\infty}^{\infty} s^{2}(t) \mathrm{d} t\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} \mathrm{~d} f E∫−∞∞s2(t)dt∫−∞∞∣S(f)∣2 df 能量谱密度。 G ( f ) ∣ S ( f ) ∣ 2 ( J / H z ) G(f)|S(f)|^{2} \quad(\mathrm{~J}/\mathrm{Hz}) G(f)∣S(f)∣2( J/Hz) 由于信号 s ( t ) s(t) s(t)是实函数所以 ∣ S ( f ) ∣ |S(f)| ∣S(f)∣是一个偶函数。
2.7 功率信号的功率谱密度
巴塞伐尔定理。 E ∫ − T / 2 T / 2 s T 2 ( t ) d t ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f E\int_{-T / 2}^{T / 2} s_{T}^{2}(t) \mathrm{d} t\int_{-\infty}^{\infty}\left|S_{T}(f)\right|^{2} \mathrm{~d} f E∫−T/2T/2sT2(t)dt∫−∞∞∣ST(f)∣2 df 功率谱密度。 P ( f ) lim T → ∞ 1 T ∣ S T ( f ) ∣ 2 P(f) \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}|S_{T}(f)|^{2} P(f)T→∞limT1∣ST(f)∣2 功率用功率谱密度表示。 P lim T → ∞ 1 T ∫ − ∞ ∞ ∣ S T ( f ) ∣ 2 d f ∫ − ∞ ∞ P ( f ) d f P\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}\left|S_{T}(f)\right|^{2} \mathrm{~d} f\int_{-\infty}^{\infty} P(f) \mathrm{d} f PT→∞limT1∫−∞∞∣ST(f)∣2 df∫−∞∞P(f)df
3. 确知信号的时域性质
确知信号再时域中的性质主要有自相关函数和互相关函数。
3.1 能量信号的自相关函数 R ( τ ) ∫ − ∞ ∞ s ( t ) s ( t τ ) d t − ∞ τ ∞ R(\tau)\int_{-\infty}^{\infty} s(t) s(t\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty\tau\infty R(τ)∫−∞∞s(t)s(tτ)dt−∞τ∞
自相关函数反映了一个信号延迟 τ \tau τ后的同一信号间的相关程度。自相关函数 R ( τ ) R(\tau) R(τ)和时间t无关只和时间差 τ \tau τ有关。
当 τ 0 \tau0 τ0的时候能量信号的自相关函数 R ( 0 ) R(0) R(0)等于信号的能量。 R ( 0 ) E 前提是能量信号 R(0) E \quad 前提是能量信号 R(0)E前提是能量信号 此外 R ( τ ) R(\tau) R(τ)是偶函数。
自相关函数和能量谱密度的关系。
能量谱密度的逆傅立叶变换就是能量信号的自相关函数。 R ( τ ) ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 e j 2 π f τ d f R(\tau)\int_{-\infty}^{\infty}|S(f)|^{2} \mathrm{e}^{\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} f R(τ)∫−∞∞∣S(f)∣2ej2πfτdf R ( τ ) R(\tau) R(τ)和 ∣ S ( f ) ∣ 2 |S(f)|^2 ∣S(f)∣2构成一对傅立叶变换。
3.2 功率信号的自相关函数
功率信号自相关函数的定义。 R ( τ ) lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s ( t ) s ( t τ ) d t − ∞ τ ∞ R(\tau)\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s(t) s(t\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty\tau\infty R(τ)T→∞limT1∫−T/2T/2s(t)s(tτ)dt−∞τ∞ 由定义可以看出 τ 0 \tau0 τ0的时候功率信号的自相关函数 R ( 0 ) R(0) R(0)等于信号的平均功率。 R ( 0 ) lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 2 ( t ) d t P R(0)\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s^{2}(t) \mathrm{d} tP R(0)T→∞limT1∫−T/2T/2s2(t)dtP 功率信号的自相关函数也是偶函数。
对于周期性的功率信号自相关函数的定义可以改写为。 R ( τ ) 1 T 0 ∫ − T 0 / 2 T 0 / 2 s ( t ) s ( t τ ) d t − ∞ τ ∞ R(\tau)\frac{1}{T_{0}} \int_{-T_{0} / 2}^{T_{0} / 2} s(t) s(t\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty\tau\infty R(τ)T01∫−T0/2T0/2s(t)s(tτ)dt−∞τ∞ 功率信号的自相关函数的傅立叶变换就是功率谱密度。 P ( f ) ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j 2 π f τ d τ P(f)\int_{-\infty}^{\infty} R(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi f \tau} \mathrm{d} \tau P(f)∫−∞∞R(τ)e−j2πfτdτ
3.3 能量信号的互相关函数
两个能量信号 s 1 ( t ) s_1(t) s1(t)和 s 2 ( t ) s_2(t) s2(t)的互相关函数定义如下。 R 12 ( τ ) ∫ − ∞ ∞ s 1 ( t ) s 2 ( t τ ) d t − ∞ τ ∞ R_{12}(\tau)\int_{-\infty}^{\infty} s_{1}(t) s_{2}(t\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty\tau\infty R12(τ)∫−∞∞s1(t)s2(tτ)dt−∞τ∞ 顺序很重要。 R 21 ( τ ) R 12 ( − τ ) R_{21}(\tau) R_{12}(-\tau) R21(τ)R12(−τ) 互相关函数和能量谱密度的关系。
互能量谱密度定义。 S 12 ( f ) S 1 ∗ ( f ) S 2 ( f ) S_{12}(f)S_{1}^{*}(f) S_{2}(f) S12(f)S1∗(f)S2(f) 所以互相关函数和互能量谱密度也是一对傅立叶变换。 S 12 ( f ) ∫ − ∞ ∞ R 12 ( τ ) e − j 2 π / τ d τ S_{12}(f)\int_{-\infty}^{\infty} R_{12}(\tau) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \pi / \tau} \mathrm{d} \tau S12(f)∫−∞∞R12(τ)e−j2π/τdτ
3.4 功率信号的互相关函数
两个功率信号的互相关函数定义为。 R 12 ( τ ) lim T → ∞ 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t τ ) d t R_{12}(\tau)\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t\tau) \mathrm{d} t R12(τ)T→∞limT1∫−T/2T/2s1(t)s2(tτ)dt 如果两个功率信号的周期相同则其互相关函数的定义可以写成。 R 12 ( τ ) 1 T ∫ − T / 2 T / 2 s 1 ( t ) s 2 ( t τ ) d t − ∞ τ ∞ R_{12}(\tau)\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} s_{1}(t) s_{2}(t\tau) \mathrm{d} t \quad-\infty\tau\infty R12(τ)T1∫−T/2T/2s1(t)s2(tτ)dt−∞τ∞
互功率谱定义。 C 12 ( C n ) 1 ∗ ( C n ) 2 C_{12}\left(C_{n}\right)_{1}^{*}\left(C_{n}\right)_{2} C12(Cn)1∗(Cn)2 周期性功率信号的互功率谱 C 12 C_{12} C12是其互相关函数 R 12 ( τ ) R_{12}(\tau) R12(τ)的傅立叶级数的系数。
