深圳网站建设推广方案,品牌建设与管理,佛山网站制作专家,一个电信ip做网站卡不卡第一章 矩阵与线性方程组#xff08;十四#xff09;
1.向量范数用作Lyapunov函数
Lyapunov直接法是分析和构造线性和非线性控制系统最成功的工具之一。
Lyapunov稳定性定理 若对连续系统 x f ( x ) xf(x) xf(x)或离散系统 x k 1 f ( x k ) x_{k1}f(x_k) xk1f(xk)存…第一章 矩阵与线性方程组十四
1.向量范数用作Lyapunov函数
Lyapunov直接法是分析和构造线性和非线性控制系统最成功的工具之一。
Lyapunov稳定性定理 若对连续系统 x f ( x ) xf(x) xf(x)或离散系统 x k 1 f ( x k ) x_{k1}f(x_k) xk1f(xk)存在一个函数 V ( x ) V(x) V(x)具有平衡点 x 0 x0 x0且 V V V在整个 R n R^n Rn内满足条件: (1)V是正定和径向无界函数 (2)对 x ≠ 0 x≠0 x0 D V lim Δ t → 0 s u p V ( x ( t Δ t ) ) − V ( x ( t ) ) Δ t 0 DV\lim_{\Delta t \to 0}sup\frac{V(x(t\Delta t)) - V(x(t))}{\Delta t} 0 DVΔt→0limsupΔtV(x(tΔt))−V(x(t))0 或 Δ V V ( x k 1 ) − V ( x k ) 0 ( 离 散 系 统 ) \Delta VV(x_{k1})-V(x_k)0(离散系统) ΔVV(xk1)−V(xk)0(离散系统) 则平衡点 x 0 x0 x0是全局渐近稳定的。 在向量 x x x的 n n n维空间内考虑用向量范数 V ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ V(x) ||Wx|| V(x)∣∣Wx∣∣ 其中 W [ w 1 , w 2 , … , w n ] W[w_1,w_2,…,w_n] W[w1,w2,…,wn]是mxn矩阵且mn和rank(W)n。 l p l_p lp范数(Hölder范数)构成了一类特殊的向量范数其中Euclidean范数 V ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ 2 ( ∑ i ∣ w i T x ∣ 2 ) 1 / 2 V(x) ||Wx||_2 (\sum_i|w_i^Tx|^2)^{1/2} V(x)∣∣Wx∣∣2(i∑∣wiTx∣2)1/2 和无穷范数 v ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ ∞ lim p → ∞ ( ∑ i ∣ w i T x ∣ p ) 1 / p max i w i T x v(x) ||Wx||_{\infty}\lim_{p \to \infty}(\sum_i|w_i^Tx|^p)^{1/p}\max_i{w_i^Tx} v(x)∣∣Wx∣∣∞p→∞lim(i∑∣wiTx∣p)1/pimaxwiTx 是Lyapunov函数的两个重要例子。 函数 V ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ V(x)||Wx|| V(x)∣∣Wx∣∣(其中 W W W是mxn矩阵且 r a n k W n rank Wn rankWn)是系统 x A x xAx xAx的Lyapunov函数当且仅当矩阵 W W W是矩阵方程 W A − Q W O WA-QWO WA−QWO 的解假定矩阵 Q Q Q满足条件 μ ( Q ) 0 μ(Q) 0 μ(Q)0 其中 u ( Q ) lim Δ → 0 ∣ ∣ I Δ t Q ∣ ∣ − 1 Δ t u(Q)\lim_{\Delta \to 0}\frac{||I \Delta tQ|| - 1}{\Delta t} u(Q)Δ→0limΔt∣∣IΔtQ∣∣−1 u ( Q ) u(Q) u(Q)有时称为矩阵Q的对数矩阵范数。注意对数矩阵范数可以是负数这一点实际上与矩阵范数非负的性质相违背。
如果 V ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ 2 ( ∑ i ∣ w i T x ∣ 2 ) 1 / 2 V(x) ||Wx||_2 (\sum_i|w_i^Tx|^2)^{1/2} V(x)∣∣Wx∣∣2(i∑∣wiTx∣2)1/2的函数是Lyapunov函数那么它的平方 V 2 ( x ) ∣ ∣ W x ∣ ∣ 2 2 ∑ i 1 n ( w i T x ) 2 x T W T W x V^2(x) ||Wx||_2^2 \sum_{i1}^n(w_i^Tx)^2 x^TW^TWx V2(x)∣∣Wx∣∣22i1∑n(wiTx)2xTWTWx 也是Lyapunov数。上式的函数为二次型 x T R x x^TRx xTRx其中 R W T W RW^TW RWTW 这样的二次型函数是系统 x ˙ A x \dot{x}Ax x˙Ax的Lyapunov函数当且仅当 A T R R A − Q ~ A^TRRA-\widetilde{Q} ATRRA−Q 的解 Q ~ \widetilde{Q} Q 是一个正定对称矩阵。
下面两个集合等价: L 1 R ∈ R n x n ∣ A T R R A − Q ~ 其 中 Q ~ , R 0 Q ~ 对 称 L_1{R \in R^{nxn}|A^TRRA-\widetilde{Q}其中\widetilde{Q},R0\widetilde{Q}对称} L1R∈Rnxn∣ATRRA−Q 其中Q ,R0Q 对称 L 2 R ∈ R n x n ∣ R w T w , W A − Q W O 其 中 μ 2 ( Q ) 0 , r a n k ( W ) n L_2R \in R^{nxn}|Rw^Tw,WA-QWO其中μ_2(Q)0,rank(W)n L2R∈Rnxn∣RwTw,WA−QWO其中μ2(Q)0,rank(W)n
