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正交矩阵是线性代数中一个重要的特殊矩阵#xff0c;它在许多领域都有广泛的应用。
什么是正交矩阵 如图所示#xff0c;当矩阵A满足如上所示的条件的时候#xff0c;此时我们就可以认为是正交矩阵#xff0c;需要注意一点矩阵A必为方阵。
正交矩阵的充要条件 …本文重点
正交矩阵是线性代数中一个重要的特殊矩阵它在许多领域都有广泛的应用。
什么是正交矩阵 如图所示当矩阵A满足如上所示的条件的时候此时我们就可以认为是正交矩阵需要注意一点矩阵A必为方阵。
正交矩阵的充要条件
设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组若一个向量组中的向量两两正交,则称之为正交向量组若此时的向量全部都是单位向量那么就是单位正交向量组。
正交性在数学上表现为任意两个列向量或行向量的内积为0即它们之间垂直。同时每个列向量或行向量的模长为1即它们是单位向量。
正交矩阵的性质
1.如果矩阵Q是正交矩阵那么矩阵Q的行列式为1或者-1。
2.如果矩阵Q是正交矩阵那么矩阵Q可逆而且Q逆Q的转置。
3.如果矩阵P和矩阵Q都是正交矩阵那么它们的乘积PQ也是正交矩阵。
4.如果Q是正交矩阵那么Q的行向量或者列向量都是单位向量且两两正交。
5.如果Q是正交矩阵那么它的逆矩阵依然是正交矩阵。
6.如果Q是正交矩阵那么它的转置矩阵依然是正交矩阵。
正交变换
A是正交阵x为向量则Ax称为正交变换。尤其需要知道的是正交变换不改变向量的长度这是一个非常重要的性质。
