net网站开发net网站开发,大宗商品平台,网址查询网站,筑梦网站建设索引 Taylor公式Taylor公式的定性分析定理6.1 Taylor公式(Peano余项) Taylor公式的定量分析定理6.2 Taylor公式(Lagrange余项) Taylor公式
Taylor公式的定性分析
定理6.1 Taylor公式(Peano余项)
若函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在 x 0 x_{0} x0处的 n n n阶导数均… 索引 Taylor公式Taylor公式的定性分析定理6.1 Taylor公式(Peano余项) Taylor公式的定量分析定理6.2 Taylor公式(Lagrange余项) Taylor公式
Taylor公式的定性分析
定理6.1 Taylor公式(Peano余项)
若函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在 x 0 x_{0} x0处的 n n n阶导数均存在,则存在邻域 U ( x 0 , δ ) U\left ( x_{0},\delta \right ) U(x0,δ)使得 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)满足以下公式: f ( x ) ∑ k 0 n f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k k ! r n ( x ) f\left ( x \right ) \sum_{k0}^{n}\frac{f^{\left ( k \right ) } \left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )^{k} }{k!}r_{n} \left ( x \right ) f(x)∑k0nk!f(k)(x0)(x−x0)krn(x) 其中Peano余项 r n ( x ) o ( ( x − x 0 ) n ) ( x → x 0 ) r_{n} \left ( x \right )o \left ( \left ( x-x_{0} \right )^{n} \right )(x\to x_{0} ) rn(x)o((x−x0)n)(x→x0),代表 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在Taylor近似时产生的误差,余下的 n n n次多项式记为 P n ( x ) P_{n}\left ( x \right ) Pn(x),即 x 0 x_{0} x0处的 n n n次Taylor多项式。 r n ( x ) f ( x ) − P n ( x ) f ( x ) − ∑ k 0 n f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k k ! r_{n}\left ( x \right ) f\left ( x \right ) -P_{n}\left ( x \right ) f\left ( x \right ) -\sum_{k0}^{n}\frac{f^{\left ( k \right ) } \left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )^{k} }{k!} rn(x)f(x)−Pn(x)f(x)−∑k0nk!f(k)(x0)(x−x0)k, r n ( n − 1 ) ( x ) f ( n − 1 ) ( x ) − ∑ k n − 1 n f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) ( k − ( n − 1 ) ) ( k − ( n − 1 ) ) ! f ( n − 1 ) ( x ) − ( f ( n − 1 ) ( x 0 ) 0 ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1 ! ) f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) − f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) \begin{array}{l} r^{\left(n-1\right)} _{n}\left ( x \right ) \\ f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x \right ) -\sum _{kn-1}^{n}\frac{f^{\left ( k \right ) }\left ( x_{0} \right ) \left ( x-x_{0} \right )^{\left ( k-\left ( n-1 \right ) \right ) } }{\left ( k-\left (n-1 \right ) \right ) !} \\ f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x \right )-\left ( \frac{f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x_{0} \right ) }{0!}\frac{f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right ) }{1!}\right ) \\ f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x \right )-f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x_{0} \right )-f^{\left ( n \right )}\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right ) \end{array} rn(n−1)(x)f(n−1)(x)−∑kn−1n(k−(n−1))!f(k)(x0)(x−x0)(k−(n−1))f(n−1)(x)−(0!f(n−1)(x0)1!f(n)(x0)(x−x0))f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)(x−x0), 因为函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在 x 0 x_{0} x0处的 n n n阶导数均存在,所以 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)的前 n − 1 n-1 n−1阶导函数一定连续且可导。 连续引用n-1次L’Hospital法则, lim x → x 0 r n ( x ) ( x − x 0 ) n lim x → x 0 r n ( 1 ) ( x ) n ( x − x 0 ) n − 1 ⋯ lim x → x 0 r n ( n − 1 ) ( x ) n ! ( x − x 0 ) \lim _{x\to x_{0} } \frac{r_{n}\left ( x \right ) }{\left ( x-x_{0} \right )^{n} } \lim _{x\to x_{0} }\frac{r^{\left ( 1 \right ) } _{n}\left ( x \right ) }{n\left ( x-x_{0} \right )^{n-1} }\cdots \lim _{x\to x_{0} }\frac{r^{\left ( n-1 \right ) } _{n}\left ( x \right ) }{n! \left ( x-x_{0} \right ) } limx→x0(x−x0)nrn(x)limx→x0n(x−x0)n−1rn(1)(x)⋯limx→x0n!(x−x0)rn(n−1)(x), 展开 r n ( n − 1 ) ( x ) r^{\left ( n-1 \right ) } _{n}\left ( x \right ) rn(n−1)(x), lim x → x 0 r n ( n − 1 ) ( x ) n ! ( x − x 0 ) 1 n ! lim x → x 0 ( f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 − f ( n ) ( x 0 ) ) \lim _{x\to x_{0} }\frac{r^{\left ( n-1 \right ) } _{n}\left ( x \right ) }{n! \left ( x-x_{0} \right ) }\frac{1}{n!}\lim _{x\to x_{0} } \left ( \frac{f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x \right ) -f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x_{0} \right ) }{x-x_{0} } -f^{\left ( n \right ) }\left ( x_{0} \right ) \right ) limx→x0n!(x−x0)rn(n−1)(x)n!1limx→x0(x−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)−f(n)(x0)), 根据高阶导数定义, lim x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 f ( n ) ( x 0 ) \lim _{x\to x_{0} }\frac{f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x \right ) -f^{\left ( n-1 \right ) }\left ( x_{0} \right ) }{x-x_{0} }f^{\left ( n \right ) }\left ( x_{0} \right ) limx→x0x−x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)f(n)(x0), 所以 lim x → x 0 r n ( x ) ( x − x 0 ) n lim x → x 0 r n ( n − 1 ) ( x ) n ! ( x − x 0 ) 0 \lim _{x\to x_{0} } \frac{r_{n}\left ( x \right ) }{\left ( x-x_{0} \right )^{n} }\lim _{x\to x_{0} }\frac{r^{\left ( n-1 \right ) } _{n}\left ( x \right ) }{n! \left ( x-x_{0} \right ) }0 limx→x0(x−x0)nrn(x)limx→x0n!(x−x0)rn(n−1)(x)0, r n ( x ) o ( ( x − x 0 ) n ) ( x → x 0 ) r_{n} \left ( x \right )o \left ( \left ( x-x_{0} \right )^{n} \right )(x\to x_{0} ) rn(x)o((x−x0)n)(x→x0)。
Taylor公式的定量分析
定理6.2 Taylor公式(Lagrange余项)
函数 f ( x ) f\left ( x \right ) f(x)在闭区间 [ a , b ] \left [ a,b \right ] [a,b]上存在 n n n阶连续导数,在开区间 ( a , b ) \left ( a,b \right ) (a,b)上存在 n 1 n1 n1阶导数,取一定点 x 0 ∈ [ a , b ] x_{0}\in \left [ a,b \right ] x0∈[a,b],则 ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x\in \left [ a,b \right ] ∀x∈[a,b], f ( x ) ∑ k 0 n f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k k ! r n ( x ) f\left ( x \right )\sum_{k0}^{n}\frac{f^{\left ( k \right ) }\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )^{k} }{k!}r_{n}\left ( x \right ) f(x)∑k0nk!f(k)(x0)(x−x0)krn(x),其中Lagrange余项 r n ( x ) f ( n 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) n 1 ( n 1 ) ! r_{n}\left ( x \right )\frac{f^{\left ( n1 \right ) }\left ( \xi \right )\left ( x-x_{0} \right )^{n1} }{\left ( n1 \right ) !} rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1,其中 ξ \xi ξ位于 x x x和 x 0 x_{0} x0之间。 当 n 0 n0 n0时,Taylor公式表现为Lagrange中值定理的形式。
构造函数 G ( t ) f ( x ) − ∑ k 0 n ( f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k ) G\left ( t \right )f\left ( x \right )-\sum_{k0}^{n}\left ( \frac{f^{\left ( k \right ) }\left (t \right ) }{k!}\left ( x-t \right )^{k} \right) G(t)f(x)−∑k0n(k!f(k)(t)(x−t)k)和 H ( t ) ( x − t ) n 1 H\left ( t \right )\left ( x-t \right )^{n1} H(t)(x−t)n1, 不妨设 x x 0 xx_{0} xx0, G ( x ) f ( x ) − ∑ k 1 n ( f ( k ) ( t ) k ! ( x − x ) k ) − f ( t ) 0 ! ( x − t ) 0 f ( x ) − f ( x ) 0 G\left ( x \right )f\left ( x \right )-\sum_{k1}^{n}\left ( \frac{f^{\left ( k \right ) }\left (t \right ) }{k!}\left ( x-x \right )^{k} \right)-\frac{f\left ( t \right ) }{0!}\left ( x-t \right )^{0}f\left ( x \right )-f\left ( x \right )0 G(x)f(x)−∑k1n(k!f(k)(t)(x−x)k)−0!f(t)(x−t)0f(x)−f(x)0; G ( x 0 ) f ( x ) − ∑ k 0 n ( f ( k ) ( x 0 ) k ! ( x − x 0 ) k ) G\left ( x_{0} \right )f\left ( x \right )-\sum_{k0}^{n}\left ( \frac{f^{\left ( k \right ) }\left (x_{0} \right ) }{k!}\left ( x-x_{0} \right )^{k} \right) G(x0)f(x)−∑k0n(k!f(k)(x0)(x−x0)k); H ( x ) ( x − x ) n 1 0 H\left ( x \right )\left ( x-x \right )^{n1}0 H(x)(x−x)n10; H ( x 0 ) ( x − x 0 ) n 1 H\left ( x_{0} \right )\left ( x-x_{0} \right )^{n1} H(x0)(x−x0)n1; G ′ ( t ) − ∑ k 0 n ( f ( k ) ( t ) ( x − t ) k k ! ) ′ ∑ k 1 n f ( k ) ( t ) ( x − t ) k − 1 ( k − 1 ) ! − ∑ k 1 n 1 f ( k ) ( t ) ( x − t ) ( k − 1 ) ( k − 1 ) ! − f ( n 1 ) ( t ) ( x − t ) n n ! \begin{array}{l} G^{\prime } \left ( t \right ) \\ -\sum_{k0}^{n}\left ( \frac{f^{\left ( k \right ) }\left (t \right )\left ( x-t \right )^{k}}{k!} \right)^{\prime } \\ \sum_{k1}^{n}\frac{f^{\left ( k \right ) }\left ( t \right )\left ( x-t \right )^{k-1} }{\left ( k-1 \right ) !}- \sum_{k1}^{n1} \frac{f^{\left ( k \right ) }\left ( t \right )\left ( x-t \right )^{\left ( k-1 \right )} }{\left ( k-1 \right )!}\\ -\frac{f^{\left ( n1 \right ) }\left ( t \right )\left ( x-t \right )^{n} }{n!} \end{array} \\ G′(t)−∑k0n(k!f(k)(t)(x−t)k)′∑k1n(k−1)!f(k)(t)(x−t)k−1−∑k1n1(k−1)!f(k)(t)(x−t)(k−1)−n!f(n1)(t)(x−t)n H ′ ( t ) − ( n 1 ) ( x − t ) n H^{\prime } \left ( t \right ) -\left ( n1 \right )\left ( x-t \right )^{n} H′(t)−(n1)(x−t)n; 引用Cauchy中值定理, ∃ ξ ∈ ( x , x 0 ) \exists \xi \in \left ( x ,x_{0} \right ) ∃ξ∈(x,x0), r n ( x ) ( x − x 0 ) n 1 G ( x 0 ) H ( x 0 ) G ( x 0 ) − G ( x ) H ( x 0 ) − H ( x ) G ′ ( ξ ) H ′ ( ξ ) f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ⇒ r n ( x ) f ( n 1 ) ( ξ ) ( x − x 0 ) n 1 ( n 1 ) ! \frac{r_{n}\left ( x \right ) }{\left ( x-x_{0} \right )^{n1} } \frac{G\left ( x_{0} \right ) }{H\left ( x_{0} \right ) }\frac{G\left ( x_{0} \right )-G\left ( x \right ) }{H\left ( x_{0} \right )-H\left ( x \right ) }\frac{G^{\prime }\left ( \xi \right ) }{H^{\prime }\left ( \xi \right ) }\frac{f^{\left ( n1 \right ) }\left ( \xi \right )}{\left ( n1 \right )! }\Rightarrow r_{n}\left ( x \right )\frac{f^{\left ( n1 \right ) }\left ( \xi \right )\left ( x-x_{0} \right )^{n1} }{\left ( n1 \right ) !} (x−x0)n1rn(x)H(x0)G(x0)H(x0)−H(x)G(x0)−G(x)H′(ξ)G′(ξ)(n1)!f(n1)(ξ)⇒rn(x)(n1)!f(n1)(ξ)(x−x0)n1。
