上海建站宝盒,安康政务微平台公众号,工作作风存在问题及整改措施,南京网站建设希丁哥不等式 基本性质 一元n次不等式一元二次不等式一元高次不等式分式不等式绝对值不等式 基本性质
性质 a b ⇔ b a ab\Leftrightarrow ba ab⇔ba a b , b c ⇒ a c ab,bc\Rightarrow ac ab,bc⇒ac a b ,… 不等式 基本性质 一元n次不等式一元二次不等式一元高次不等式分式不等式绝对值不等式 基本性质
性质 a b ⇔ b a ab\Leftrightarrow ba ab⇔ba a b , b c ⇒ a c ab,bc\Rightarrow ac ab,bc⇒ac a b , c ∈ R ⇒ a ± c b ± c ab,c\in R\Rightarrow a\pm cb\pm c ab,c∈R⇒a±cb±c a b , c 0 ⇒ a c b c ab,c0\Rightarrow acbc ab,c0⇒acbc a b , c 0 ⇒ a c b c ab,c0\Rightarrow acbc ab,c0⇒acbc a b , c d ⇒ a c b d ab,cd\Rightarrow acbd ab,cd⇒acbd a b 0 , c d 0 ⇒ a c b d ab0,cd0\Rightarrow acbd ab0,cd0⇒acbd a b 0 , x 0 ⇒ a x b x ab0,x0\Rightarrow a^xb^x ab0,x0⇒axbx
比较大小
作差法 { a − b 0 ⇔ a b a − b 0 ⇔ a b a − b 0 ⇔ a b \left\{\begin{matrix} a-b0\Leftrightarrow ab\\ a-b0\Leftrightarrow ab\\ a-b0\Leftrightarrow ab \end{matrix}\right. ⎩ ⎨ ⎧a−b0⇔aba−b0⇔aba−b0⇔ab作商法 { a b 1 ⇔ a b a b 1 ⇔ a b a b 1 ⇔ a b ( a ∈ R , b 0 ) \left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}1\Leftrightarrow ab\\ \frac{a}{b}1\Leftrightarrow ab\\ \frac{a}{b}1\Leftrightarrow ab \end{matrix}\right.(a\in R,b0 ) ⎩ ⎨ ⎧ba1⇔abba1⇔abba1⇔ab(a∈R,b0)
一元n次不等式
一元二次不等式
e.g. a x 2 b x c 0 ( a ≠ 0 ) ax^2bxc0 (a\ne 0) ax2bxc0(a0) a 0 a0 a0 设方程 a x 2 b x c 0 ax^2bxc0 ax2bxc0 存在实根且为 x 1 , x 2 , x 1 ≤ x 2 x_1,x_2,x_1\le x_2 x1,x2,x1≤x2 显然原不等式的解集为 x ∈ ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , ∞ ) x\in (-\infty,x_1)\cup(x_2,\infty) x∈(−∞,x1)∪(x2,∞) 若不存在实根则解集为 x ∈ ( − ∞ , ∞ ) x\in(-\infty,\infty) x∈(−∞,∞) a 0 a0 a0 设方程 a x 2 b x c 0 ax^2bxc0 ax2bxc0 存在实根且为 x 1 , x 2 , x 1 ≤ x 2 x_1,x_2,x_1\le x_2 x1,x2,x1≤x2 显然原不等式的解集为 x ∈ ( x 1 , x 2 ) x\in(x_1,x_2) x∈(x1,x2) 若不存在实根则解集为 x ∈ ∅ x\in\varnothing x∈∅
稍微理解一下结合二次函数 y a x 2 b c yax^2bc yax2bc的图像即可。
例题 x 2 1 x^21 x21 x 2 3 x 2 ≥ 0 x^23x2\ge0 x23x2≥0 x 2 4 x − 2 0 x^24x-20 x24x−20
答案 x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1) x ∈ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , ∞ ) x\in (-\infty,-2]\cup[-1,\infty) x∈(−∞,−2]∪[−1,∞) x ∈ ( − 2 − 6 , − 2 6 ) x\in (-2-\sqrt6,-2\sqrt6) x∈(−2−6 ,−26 )
一元高次不等式
通常我们将其化成 ∏ i 1 k ( x − a i ) b i \prod_{i1}^{k}(x-a_i)^{b_i} ∏i1k(x−ai)bi 和 0 0 0 的大小关系式并使用穿针引线法。 比如说 ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ≤ 0 (x-1)^2(x-2)(x-3)(x-4)\le0 (x−1)2(x−2)(x−3)(x−4)≤0 分类
当 x ∈ x\in x∈ { 1 , 2 , 3 , 4 1,2,3,4 1,2,3,4}时不等式成立。当 x ∈ ( 4 , ∞ ) x\in (4,\infty) x∈(4,∞)时不等式显然不成立。当 x ∈ ( 3 , 4 ) x\in(3,4) x∈(3,4)时不等式显然成立。当 x ∈ ( 2 , 3 ) x\in(2,3) x∈(2,3)时不等式显然不成立。当 x ∈ ( 1 , 2 ) x\in(1,2) x∈(1,2)时不等式显然成立。当 x ∈ ( − ∞ , 1 ) x\in(-\infty,1) x∈(−∞,1)时不等式显然成立。
如图
所以解集为 x ∈ ( − ∞ , 1 ] ∪ [ 1 , 2 ] ∪ [ 3 , 4 ] x\in(-\infty,1]\cup[1,2]\cup[3,4] x∈(−∞,1]∪[1,2]∪[3,4] 即 x ∈ ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , 4 ] x\in(-\infty,2]\cup[3,4] x∈(−∞,2]∪[3,4] 口诀为“奇穿偶不穿”。
分式不等式
对于一个分式方程 f ( x ) g ( x ) 0 \frac{f(x)}{g(x)}0 g(x)f(x)0或 0 0 0 因为 a b \frac{a}{b} ba 和 a b ab ab 同号所以 f ( x ) g ( x ) 0 ⇔ f ( x ) g ( x ) 0 \frac{f(x)}{g(x)}0 \Leftrightarrow f(x)g(x)0 g(x)f(x)0⇔f(x)g(x)0 然后就跟上面一样了。
绝对值不等式
这个采取分类讨论类比一下 ∣ x ∣ 4 |x|4 ∣x∣4的解集即可。
