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题目及图片来自蓝桥杯C AB组辅导课
数论#xff08;下#xff09; 蓝桥杯省赛中考的数论不是很多#xff0c;这里讲几个蓝桥杯常考的知识点。 约数个数定理
我们如何去求一个数的约数个数呢#xff1f; N N N分解质因数的结果#xff1a; N P 1 α…蓝桥杯
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题目及图片来自蓝桥杯C AB组辅导课
数论下 蓝桥杯省赛中考的数论不是很多这里讲几个蓝桥杯常考的知识点。 约数个数定理
我们如何去求一个数的约数个数呢 N N N分解质因数的结果 N P 1 α 1 × P 2 α 2 × . . . × P k α k NP_{1}^{α_{1}}×P_{2}^{α_{2}}×...×P_{k}^{α_{k}} NP1α1×P2α2×...×Pkαk
约数个数是 ( α 1 1 ) ( α 2 1 ) . . . ( α k 1 ) (α_{1}1)(α_{2}1)...(α_{k}1) (α11)(α21)...(αk1)
假设 N N N的一个约数 d P 1 β 1 × P 2 β 2 × . . . × P k β k ( 0 ≤ β i ≤ α i ) dP_{1}^{β_{1}}×P_{2}^{β_{2}}×...×P_{k}^{β_{k}}(0 \leq β_{i}\leq α_{i}) dP1β1×P2β2×...×Pkβk(0≤βi≤αi)每一个约数都可以表示为这样的形式这种约数的个数也就等于 k k k 元组的个数 ( β 1 , β 2 . . . β k ) (β_{1},β_{2}...β_{k}) (β1,β2...βk)这 k k k 元组有多少种选法 ( α 1 1 ) ⋅ ( α 2 1 ) ⋅ ( α k 1 ) (α_{1}1)·(α_{2}1)·(α_{k}1) (α11)⋅(α21)⋅(αk1)
约数和定理
公式 ( 1 P 1 P 1 2 . . P 1 α 1 ) ( 1 P 2 P 2 2 . . P 2 α 2 ) . . . ( 1 P k P k 2 . . P k α k ) (1P_{1}P_{1}^2..P_{1}^{α_{1}})(1P_{2}P_{2}^2..P_{2}^{α_{2}})...(1P_{k}P_{k}^2..P_{k}^{α_{k}}) (1P1P12..P1α1)(1P2P22..P2α2)...(1PkPk2..Pkαk)
这个公式展开了就是上面定理的约数 d P 1 β 1 × P 2 β 2 × . . . × P k β k ( 0 ≤ β i ≤ α i ) dP_{1}^{β_{1}}×P_{2}^{β_{2}}×...×P_{k}^{β_{k}}(0 \leq β_{i}\leq α_{i}) dP1β1×P2β2×...×Pkβk(0≤βi≤αi) 之和。 例题
AcWing 1296. 聪明的燕姿
约数个数定理
约数和定理
给我们一个 S S S问我们有多少个正整数满足它的所有正约数之和等于 S S S。 S S S 满足约数和定理 S ( 1 P 1 P 1 2 . . P 1 α 1 ) ( 1 P 2 P 2 2 . . P 2 α 2 ) . . . ( 1 P k P k 2 . . P k α k ) S(1P_{1}P_{1}^2..P_{1}^{α_{1}})(1P_{2}P_{2}^2..P_{2}^{α_{2}})...(1P_{k}P_{k}^2..P_{k}^{α_{k}}) S(1P1P12..P1α1)(1P2P22..P2α2)...(1PkPk2..Pkαk)
因为方案数非常少我们可以用暴搜dfs求解。 这题太难理解啦之后的题也没有做了。
