果洛电子商务网站建设多少钱,东莞网站设计定制开发,鹿班设计官网,家装互联网公司排名1.f(x)与|f(x)|关系。
1.连续关系。(f(x)在[a,b]上连续 |f(x)|在[a,b]连续)
①如果f(x)在[a,b]上连续。则|f(x)|在[a,b]上连续. #xff08;因为f(x)在x0的连续点x0必为|f(x)|的连续点#xff09; 注#xff1a;”[a,b]连续“包括#…1.f(x)与|f(x)|关系。
1.连续关系。(f(x)在[a,b]上连续 |f(x)|在[a,b]连续)
①如果f(x)在[a,b]上连续。则|f(x)|在[a,b]上连续. 因为f(x)在x0的连续点x0必为|f(x)|的连续点 注”[a,b]连续“包括①f(x)在[a,b]连续②f(x)在[a,b]上有界,且仅有有限间断点③f(x)在[a,b]只有有限个第一类间断点。证明f(x)在[a,b]上连续 |f(x)|在[a,b]连续
2.可积关系。(f(x)可积 |f(x)|可积) 证明略。 反例 f(x)有无限个间断点f(x)不可积。但是|f(x)|可积。
3.可导关系。 ①f(x)在x0可导则当f(x0) ≠ 0时 f(x)可导 |f(x)|可导
②f(x)在x0可导则当f(x0) 0时有两种情况。 -------1.若f’(x₀) 0则 |f(x)| 在点x₀处可导且|f’(x₀)|0。 -------2.若f’(x₀) ≠ 0则| f(x)|在点x₀处不可导
证明当f’(x0) ≠ 0时不成立。成立同样如此证明 2.f(x)与f ’ (x)关系。
在有界区间(a,b)上有如下关系 ①f ‘x在(a,b)上有界 f(x) 在(a,b)一定有界。 ②f (x) 在a,b上无界 f ’ (x)在a,b一定无界。 ③设f(x) 在 x a 处n阶可导若当x - a时f(x)是x - a 的n阶无穷小则 f ’ (x)是 x - a 的n - 1 阶无穷小。 证明①②类似
证明③
在无界区间上没有确定性关系 若f(x) x,则f ’ (x) 1在(a,∞)有界但f(x)在(a,∞)无界。 若f(x) sin2x,则f(x)在(a,∞)有界但是f ’ (x)在(a,∞)无界。
3.f(x)与F(x)关系。
f(x)在(a,b)上有原函数F(x)则在(a,b)上 ①f(x)不一定连续 ②f(x)不一定时初等函数 ③F(x)不一定时初等函数 ④F’(x) f(x),因此F(x)连续
4.f(x)与其对应的变上限积分∫ f(t) dt积分限a到x关系。 ①设x-a时候 , f(x) 是 x - a 的 n 阶无穷小。若f(x)连续则 ”∫ f(t) dt积分限a到x图片“ 是 x - a 的 n 1阶无穷小。
5.lim(x-x0)f’(x)与f’(x0)关系。 注意连续的定义如果f(x)在X0左右极限相等 在f(x) 在 X0连续 该点的极限 该点的函数值。仅适用于f(x),而不适用于任意阶导数。 因为f(x)不能保证在 X0 点可导甚至连续极限存在都保证不了故不能直接推出导数存在。 针对上述有总结以下情况 1.f(x)在 X0 可导 f(x) 在 X0 连续。可导必连续
2.lim f ’ (x) 存在 / f(x)在 X0 连续。(在 x - X0时 上述有解释)
3.设 f (x) 在 x - X0的空心领域内可导且 lim f(x) A x - X0 ①若f(x) 在 x x0 不连续 f ’ (x0) 不存在。不连续肯定不可导 ②若f(x) 在 x x0 连续 f’ (x0) A。 证② 4.设 f (x) 在 x - X0的空心领域内可导且 lim f ’ (x) ∞ (x - x0) ①若f(x) 在 x x0 不连续 f ’ (x0) 不存在。不连续肯定不可导 ②若f(x) 在 x x0 连续 f’ (x0) ∞ 。仍然洛必达证
5.设 f (x) 在 x - X0的空心领域内可导且 lim f ’ (x) 不存在 (x - x0) 看题暂时没结论。
