asp技校网站,怎么在百度上做单位网站,注册公司网站多少钱,一篇关于大学网站建设与管理的论文伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
0 引言
在前面几篇文章中#xff0c;我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model) 博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model) 博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
这两个模型…伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
0 引言
在前面几篇文章中我们介绍了古诺模型(Cournot duopoly model)和斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model) 博弈论——连续产量古诺模型(Cournot duopoly model) 博弈论——斯塔克尔伯格模型(Stackelberg model)
这两个模型都是把厂商的产量作为竞争手段是一种产量竞争模型也就是说博弈方的决策变量都是产量而伯特兰德模型是价格竞争模型。 同时我们也介绍了反应函数法得益是策略多元连续函数的博弈,都可以求每个博弈方的反应函数解出各博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种用反应函数求纳什均衡的方法,称为“反应函数法”。我们也分别用反应函数对古诺模型和斯塔克尔伯格模型进行了求解。 在这篇文章中我们将继续推进反应函数法的使用利用该方法来求解伯特兰德模型。
1 伯特兰德寡头模型
1.1 模型建立
在伯特兰德价格博弈模型中两寡头生产有一定差别的产品。产品差别指在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类产品,有很强的替代性,但又不是完全可替代。最后,仍强调两个厂商是同时决策的。假设厂商1生产产品1厂商2生产产品2。 产品价格P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格 潜在市场规模a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模 生产成本假设两个厂商无固定成本,边际生产成本分别为c1和c2 价格弹性b1、b2为产品1、产品2的价格弹性 产品的替代系数d1、d2为两个产品的替代系数。 根据上述参数设置我们得到了以下的模型 假设当厂商1和厂商2价格分别为P1和 P2时,各自的需求函数为 q 1 q 1 ( P 1 , P 2 ) a 1 − b 1 P 1 d 1 P 2 q_1q_1 (P_1,P_2 )a_1-b_1 P_1d_1 P_2 q1q1(P1,P2)a1−b1P1d1P2 q 2 q 2 ( P 1 , P 2 ) a 2 − b 2 P 2 d 2 P 1 q_2q_2 (P_1,P_2 )a_2-b_2 P_2d_2 P_1 q2q2(P1,P2)a2−b2P2d2P1 在该博弈中,两博弈方的决策变量为产品价格因此各自的策略空间为 s 1 [ 0 P 1 m a x ] s_1[0P_{1max}] s1[0P1max]和 s 2 [ 0 P 2 m a x ] s_2[0P_{2max}] s2[0P2max],其中 P 1 m a x P_{1max} P1max和 P 2 m a x P_{2max} P2max是厂商1和厂商2还能卖出产品的最高价格。两博弈方的得益是各自的利润,即销售收益减去成本,它们都是双方价格的函数为: π 1 π 1 ( P 1 , P 2 ) P 1 q 1 − c 1 q 1 ( P 1 − c 1 ) ( a 1 − b 1 P 1 d 1 P 2 ) π_1π_1 (P_1,P_2 )P_1 q_1-c_1 q_1(P_1-c_1)(a_1-b_1 P_1d_1 P_2) π1π1(P1,P2)P1q1−c1q1(P1−c1)(a1−b1P1d1P2) π 2 π 2 ( P 1 , P 2 ) P 2 q 2 − c 2 q 2 ( P 2 − c 2 ) ( a 2 − b 2 P 2 d 2 P 1 ) π_2π_2 (P_1,P_2 )P_2 q_2-c_2 q_2(P_2-c_2)(a_2-b_2 P_2d_2 P_1) π2π2(P1,P2)P2q2−c2q2(P2−c2)(a2−b2P2d2P1)
1.2 模型求解
我们用反应函数法分析这个博弈。对上述得益函数求偏导并且偏导为0时存在最大值 ∂ π 1 ∂ P 1 − 2 b 1 P 1 c 1 b 1 a 1 d 1 P 2 \frac{∂π_1}{∂P_1}-2b_1 P_1c_1 b_1a_1d_1 P_2 ∂P1∂π1−2b1P1c1b1a1d1P2 ∂ π 2 ∂ P 2 − 2 b 2 P 2 c 2 b 2 a 2 d 2 P 1 \frac{∂π_2}{∂P_2}-2b_2 P_2c_2 b_2a_2d_2 P_1 ∂P2∂π2−2b2P2c2b2a2d2P1 令 ∂ π 1 ∂ P 1 0 \frac{∂π_1}{∂P_1}0 ∂P1∂π10 ∂ π 2 ∂ P 2 0 \frac{∂π_2}{∂P_2}0 ∂P2∂π20得到两个厂商的反应函数为 P 1 R 1 ( P 2 ) 1 2 b 1 ( c 1 b 1 a 1 d 1 P 2 ) P_1R_1 (P_2 )\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1a_1d_1 P_2) P1R1(P2)2b11(c1b1a1d1P2) P 2 R 2 ( P 1 ) 1 2 b 2 ( c 2 b 2 a 2 d 2 P 1 ) P_2R_2 (P_1 )\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2a_2d_2 P_1) P2R2(P1)2b21(c2b2a2d2P1) 回顾一下我们在反应函数文章中的介绍该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点 ( P 1 ∗ , P 2 ∗ ) (P_1^*,P_2^*) (P1∗,P2∗),并且这个交点需要满足 P 1 ∗ 1 2 b 1 ( c 1 b 1 a 1 d 1 P 2 ∗ ) P_1^*\frac{1}{2b_1} (c_1 b_1a_1d_1 P_2^*) P1∗2b11(c1b1a1d1P2∗) P 2 ∗ 1 2 b 2 ( c 2 b 2 a 2 d 2 P 1 ∗ ) P_2^*\frac{1}{2b_2}(c_2 b_2a_2d_2 P_1^*) P2∗2b21(c2b2a2d2P1∗) 解上述的二元一次方程组得 P 1 ∗ d 1 ( a 2 b 2 c 2 ) 2 b 2 ( a 1 c 1 b 1 ) 4 b 1 b 2 − d 1 d 2 P_1^*\frac{d_1 (a_2b_2 c_2 )2b_2 (a_1c_1 b_1)}{4b_1 b_2-d_1 d_2} P1∗4b1b2−d1d2d1(a2b2c2)2b2(a1c1b1) P 2 ∗ d 2 ( a 1 c 1 b 1 ) 2 b 1 ( a 2 b 2 c 2 ) 4 b 1 b 2 − d 1 d 2 P_2^*\frac{d_2 (a_1c_1 b_1 )2b_1 (a_2b_2 c_2)}{4b_1 b_2-d_1 d_2} P2∗4b1b2−d1d2d2(a1c1b1)2b1(a2b2c2) 则 ( P 1 ∗ , P 2 ∗ ) (P_1^*,P_2^*) (P1∗,P2∗)为该博弈的唯一纳什均衡。将 P 1 ∗ 、 P 2 ∗ P_1^*、P_2^* P1∗、P2∗代入得益函数中可以求得两个厂商的均衡得益这里我就不再赘述了有兴趣的读者可以自行代入计算。
谢老师的书中对该模型的各参数做了具体假设 a 1 a 2 28 b 1 b 2 1 , d 1 d 2 0.5 c 1 c 2 2 a_1a_228b_1b_21,d_1d_20.5c_1c_22 a1a228b1b21,d1d20.5c1c22则可以解得 P 1 ∗ P 2 ∗ 20 u 1 ∗ u 2 ∗ 324 P_1^*P_2^*20u_1^*u_2^*324 P1∗P2∗20u1∗u2∗324。
2 总结
更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头,产品也可以是无差别的。产品无差别时,可以考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感,则生产无差别产品的厂商中价格高的一方完全卖不出去,价格差别不可能存在。多寡头伯特兰德模型的分析是两寡头模型的简单推广,只需求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数,解出它们的交点即可。
