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假设在二维直角坐标系中#xff0c;可以用相互垂直的基向量和表示#xff1a; 假设#xff1a; 假设在上的投影为#xff0c;那么#xff1a; 所以#xff1a; 用公式表达#xff1a; 但是在实际中#xff0c;基向量和不一定长度都是1#xff0c;重新推导一…基本模型
假设在二维直角坐标系中可以用相互垂直的基向量和表示 假设 假设在上的投影为那么 所以 用公式表达 但是在实际中基向量和不一定长度都是1重新推导一下
假设 那么 两边乘以 分子部分其实就是求在上的投影与的乘积所以 带入数据 大功告成。
结论 从二维到无限维
二维模型如下
向量维度1的投影维度2的投影231001 扩展到三维
向量维度1的投影维度2的投影维度3的投影c1c2c3100010001
可以看到有多少个维度就要有多少个基向量每个基向量的维度和相等。 扩展到无限维
向量维度1的投影维度2的投影维度3的投影维度n的投影c1c2c3cn1000010000100001 把函数当成无限维向量
把函数的t当成无限维它的值分布在各自的维度上
函数
于是 这里有个容易让人困惑的点
前面的各个基向量都是这样的
向量维度1的投影维度2的投影维度3的投影维度n的投影1000010000100001
每个向量只在自己的维度有值在别的维度为0。
那现在的函数在别的维度上等于0吗
不一定但是没错。
首先各个维度的基向量是正交垂直的比如 这里的函数其实也是正交的 两边乘以 在傅里叶变换中
各个基函数
其中是步长的意思任你选取n1,2,...
总的意思就是f(t)可以表示成很多正交的、不同频率一个频率就是一个维度的三角函数之和。
可以证明
与正交与正交。
于是 好了已知了怎么求
由前面的公式 可以推导出 套用之前两边乘以dt的方法 带入 这便是傅里叶级数了。 其它
各个基函数必须是两两正交的不然所有推导都是错的。 好多资料说两个函数的正交等于它们的内积 但是由向量的点积推出来应该是这样才对 可这样也是不对的不存在这种操作。在我的推导中用了这个等式但是我分子分母约掉dt了所以避开了。
