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物理专… 之前收藏的一门课刚好期末复习顺便看一看哈哈 课程链接【线性代数的本质】合集-转载于3Blue1Brown官方双语】 向量究竟是什么 线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量需要先明白什么是向量 不同专业对向量的看法
物理专业长度和方向计算机专业有序的数字列表数学专业加法和数乘
思考向量的特定方式 几何方面向量是空间中的箭头线性代数中一般选择原点作为起点。可以和数字列表结合起来为了把点-2 3和向量-2 3区分开来一般将向量竖着写用方括号括起来这样每一对数和向量就一一对应了三维空间类似。 向量加法 将w向量从原点沿着v向量的方向向上平移如下图所示可以得到两向量的和向量。视频中提到将向量看作一种运动就是想空间中某一方向移动一段距离例如先沿着v运动再沿着w运动和你沿着他们的和向量运动是一样的。 向量数乘 将一个数字乘以一个向量相当于对这个向量进行缩放这个数字也称为“标量”,主要作用就是对向量进行缩放
线性组合张成的空间与基
二维平面有两个特殊的向量”基向量“每当我们使用数字描述向量它都依赖于我们正在使用的基。两个向量全部线性组合构成的向量称为**“张成的空间”** 当考虑一个向量的时候将其看作箭头当考虑多个向量的时候就将每个向量看作一个点在三维空间中取两个指向不同方向的向量对红和蓝两标量进行缩放相加可以得到绿色逐渐改变标量可以得到一个过坐标原点的平面此时随机加入一个向量该向量不在之前两向量张成的空间内由于他们指向不同方向所以可以得到所有的三维向量可以理解为第三个向量将前两个向量张成的平面来回移动从而扫过整个空间。
线性相关一个向量可以表示为其他向量的线性组合线性无关如果所有的向量都给张成的空间增加了新的维度则被称为线性无关
基的严格定义向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。
矩阵和线性变换 我感觉这个up通过可视化进行讲述先举出特定的例子帮助理解然后再归一到一般情况进行全面总结。这里线性变化抓住最本质的东西确定基向量将矩阵看作空间的变换。 线性变换的理解 函数根据输入得到输出的过程而变换则暗示以特定方式来可视化这一输入输出的关系。 空间中的变换的多样的线性代数的变换更容易理解怎么理解线性呢需要满足两个条件一个是变换之后直线依然是直线二是原点必须保持固定。保证了网格线平行且等距分布并且保持原点不动。将矩阵看作空间变换这个思想对后续章节都有作用
如何用数值描述线性变换给定一个向量坐标可以得到一个变换之后的向量坐标实际只需要记住基向量变换之后的位置由此可见一个线性变换只要四个元素就可以确定变换后i帽的两个坐标和变换后j帽的两个坐标。
矩阵乘法与线性变换复合的联系 回顾之前的内容线性变换是将向量作为输入和输出的函数可以将线性变换看作是对空间的挤压他保持网格线平行且等距分布并且保持原点不变核心在于抓住基向量的变化因为其他向量都可以通过基向量表示。 矩阵乘法的意义就是就是两个变换的相继作用 就像求解函数的时候总是从里到外从右向左进行求解矩阵运算也是一样的我们先进行旋转操作再进行剪切操作也是从右向左进行操作。 我们看一下如何进行运算首先看M1的第一列这是i向量第一变换后的结果然后计算其在M2作用下的结果得到符合运算的第一列同理j帽的变化类似 相继变换的一些性质 由下面两图可以看出两次作用的先后顺序对结果是有影响的 但是线性变换满足结合律因为并没有改变作用的顺序还是从左到右进行变换操作因此矩阵乘法具有结合性。
