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我们在读论文的时候经常会遇到这两个系统#xff0c;线性系统与非线性系统#xff0c;这两者之间有什么区别呢#xff1f;
线性指量与量之间按比例、成直线的关系#xff0c;在空间和时间上代表规则和光滑的运动#xff1b;非线性则指不按比…线性系统与非线性系统的区别
我们在读论文的时候经常会遇到这两个系统线性系统与非线性系统这两者之间有什么区别呢
线性指量与量之间按比例、成直线的关系在空间和时间上代表规则和光滑的运动非线性则指不按比例、不成直线的关系代表不规则的运动和突变。
在判断是否是线性系统上主要看叠加原理Superposition!!!
系统的方程为 x ˙ f ( x ) \dot x f(x) x˙f(x) 如果 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2 是方程的解有 x 3 k 1 x 1 k 2 x 2 ( k 1 , k 2 ∈ R ) x_3 k_1 x_1 k_2 x_2(k_1,k_2 \in \R) x3k1x1k2x2(k1,k2∈R) 且 x 3 x_3 x3 也是方程的解则系统符合叠加原理为线性系统。
举个例子 x ¨ 2 x ˙ 2 x 0 ( 线性系统 ) x ¨ 2 x ˙ 2 x 2 0 ( 非线性系统 ) x ¨ 2 s i n ( x ˙ ) 2 x 0 ( 非线性系统 ) \ddot x 2 \dot x \sqrt{2} x 0 (线性系统) \\ \ddot x 2 \dot x \sqrt{2} x ^ 2 0 (非线性系统) \\ \ddot x 2 sin(\dot x) \sqrt{2} x 0 (非线性系统) \\ x¨2x˙2 x0(线性系统)x¨2x˙2 x20(非线性系统)x¨2sin(x˙)2 x0(非线性系统)
线性化方法
泰勒级数Taylor Series f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 . . . f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x) f(x_0) \frac{f(x_0)}{1 !}(x-x_0) \frac{f(x_0)}{2 !}(x-x_0)^2 ...\frac{f^{n}(x_0)}{n !}(x-x_0)^n f(x)f(x0)1!f′(x0)(x−x0)2!f′′(x0)(x−x0)2...n!fn(x0)(x−x0)n 如果 x − x 0 → 0 x-x_0 \to 0 x−x0→0则 ( x − x 0 ) 2 → 0 (x-x_0)^2 \to 0 (x−x0)2→0 则 ( x − x 0 ) n → 0 (x-x_0)^n \to 0 (x−x0)n→0 。 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) k 2 x b f(x) f(x_0) f(x_0)(x-x_0)k_2xb f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)k2xb其中 k 2 f ′ ( x 0 ) , b f ( x 0 ) − f ′ ( x 0 ) x 0 k_2 f(x_0),b f(x_0) - f(x_0)x_0 k2f′(x0),bf(x0)−f′(x0)x0 。
线性化是在某一点附近的线性化而不是全局的线性化。
一维系统举个例子 x ¨ x ˙ 1 x 1 \ddot x \dot x \frac{1}{x} 1 x¨x˙x11
在平衡点Fixed Point附近线性化。 x ¨ x ˙ 0 ⇒ 1 x 1 ⇒ x 0 1 \ddot x \dot x 0 \Rightarrow \frac{1}{x} 1 \Rightarrow x_0 1 x¨x˙0⇒x11⇒x01 所以平衡点为 x 0 1 x_0 1 x01 。在 x 0 x_0 x0 附近 x δ x 0 x d x_{\delta} x_0 x_d xδx0xd 所以有 x ¨ δ x ˙ δ 1 x δ 1 \ddot x_{\delta} \dot x_{\delta} \frac{1}{x_{\delta} } 1 x¨δx˙δxδ11 运用上面的泰勒级数先线性化 1 x δ \frac{1}{x_\delta} xδ1 f ( x δ ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x δ − x 0 ) f(x_{\delta}) f(x_{0}) f(x_0)(x_{\delta}-x_0) f(xδ)f(x0)f′(x0)(xδ−x0) 1 x δ 1 x 0 ( − 1 x 0 2 ) ( x δ − x 0 ) 1 x 0 − x d x 0 2 1 − x d \frac{1}{x_\delta} \frac{1}{x_0} (-\frac{1}{x_0^2})(x_\delta - x_0) \frac{1}{x_0} -\frac{x_d}{x_0^2} 1-x_d xδ1x01(−x021)(xδ−x0)x01−x02xd1−xd { x ¨ δ x ¨ 0 x ¨ d x ˙ δ x ˙ 0 x ˙ d 1 x δ 1 − x d ⇒ x ¨ 0 x ¨ d x ˙ 0 x ˙ d 1 − x d 1 ⇒ x ¨ d x ˙ d − x d 0 \begin{cases} \ddot x_{\delta} \ddot x_{0} \ddot x_{d} \\ \dot x_{\delta} \dot x_{0} \dot x_{d} \\ \frac{1}{x_{\delta}} 1 - x_d \\ \end{cases} \Rightarrow \ddot x_{0} \ddot x_{d} \dot x_{0} \dot x_{d} 1 - x_d 1 \Rightarrow \ddot x_{d} \dot x_{d} - x_d 0 ⎩ ⎨ ⎧x¨δx¨0x¨dx˙δx˙0x˙dxδ11−xd⇒x¨0x¨dx˙0x˙d1−xd1⇒x¨dx˙d−xd0
二维系统举个例子
2维空间中在平衡点附近 { x ˙ 1 f 1 ( x 1 , x 2 ) x ˙ 2 f 2 ( x 1 , x 2 ) ⇒ [ x ˙ 1 d x ˙ 2 d ] [ ∂ f 1 x 1 ∂ f 1 x 2 ∂ f 2 x 1 ∂ f 2 x 2 ] x x 0 [ x 1 d x 2 d ] \begin{cases} \dot x_1 f_1 (x_1,x_2) \\ \dot x_2 f_2 (x_1,x_2) \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{x_1} \frac{\partial f_1}{x_2} \\ \frac{\partial f_2}{x_1} \frac{\partial f_2}{x_2} \\ \end{bmatrix} _ {x x_0} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \end{bmatrix} {x˙1f1(x1,x2)x˙2f2(x1,x2)⇒[x˙1dx˙2d][x1∂f1x1∂f2x2∂f1x2∂f2]xx0[x1dx2d] x ¨ x ˙ 1 x 1 \ddot x \dot x \frac{1}{x} 1 x¨x˙x11
let x 1 x , x 2 x ˙ x_1 x,x_2 \dot x x1x,x2x˙ that has { x ˙ 1 x 2 x ˙ 2 x ¨ 1 − x ˙ − 1 x 1 − x 2 − 1 x 1 \begin{cases} \dot x_1 x_2 \\ \dot x_2 \ddot x 1- \dot x - \frac{1}{x} 1- x_2 - \frac{1}{x_1} \end{cases} {x˙1x2x˙2x¨1−x˙−x11−x2−x11
寻找平衡点令 x ˙ 1 0 , x ˙ 2 0 \dot x_1 0,\dot x_2 0 x˙10,x˙20 则有平衡点 x 10 1 , x 20 0 x_{10} 1,x_{20} 0 x101,x200 [ x ˙ 1 d x ˙ 2 d ] [ 0 1 − ( − 1 x 1 2 ) − 1 ] x 0 [ x 1 d x 2 d ] [ 0 1 1 − 1 ] [ x 1 d x 2 d ] \begin{bmatrix} \dot x_{1d} \\ \dot x_{2d} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 1 \\ -(-\frac{1}{x_1^2}) -1 \\ \end{bmatrix} _ {x_0} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 1 \\ 1 -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1d} \\ x_{2d} \end{bmatrix} [x˙1dx˙2d][0−(−x121)1−1]x0[x1dx2d][011−1][x1dx2d] 即 { x ˙ 1 d x 2 d x ˙ 2 d x 1 d − x 2 d \begin{cases} \dot x_{1d} x_{2d} \\ \dot x_{2d} x_{1d} - x_{2d} \end{cases} {x˙1dx2dx˙2dx1d−x2d 其实我们只需要下半部分 x ˙ 2 d x 1 d − x 2 d ⇒ x ¨ d x d − x ˙ d ⇒ x ¨ d x ˙ d − x d 0 \dot x_{2d} x_{1d} - x_{2d} \Rightarrow \ddot x_d x_d - \dot x_d \Rightarrow \ddot x_d \dot x_d - x_d 0 x˙2dx1d−x2d⇒x¨dxd−x˙d⇒x¨dx˙d−xd0 和上面的一维系统的等式是一样的。
总结
线性化公式 x − x 0 → 0 x-x_0 \to 0 x−x0→0 f ( x ) f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) f(x) f(x_0) f(x_0)(x-x_0) f(x)f(x0)f′(x0)(x−x0)
