网站建设最安全的宽度,做英文网站賺钱,哪种是网页制作的工具,数据库修改网站后台密码IIR滤波器与FIR滤波器最大的不同#xff1a;相位延迟
IIR滤波器相位延迟分析
相位响应和延迟
这里讨论一下理想延迟系统的相位延迟。
对于一个给定的系统频率响应 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)可以表示为 H ( e j w ) ∣ H ( e j w ) ∣ e Φ ( w ) H(e^{jw}) |H(e^{jw…IIR滤波器与FIR滤波器最大的不同相位延迟
IIR滤波器相位延迟分析
相位响应和延迟
这里讨论一下理想延迟系统的相位延迟。
对于一个给定的系统频率响应 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)可以表示为 H ( e j w ) ∣ H ( e j w ) ∣ e Φ ( w ) H(e^{jw}) |H(e^{jw})|e^{Φ(w)} H(ejw)∣H(ejw)∣eΦ(w)
其中 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)是幅度响应 Φ ( w ) Φ(w) Φ(w)是相位响应。
延迟系统的相位响应
对于一个理想的延迟系统其输出信号是输入信号的延迟版本即 y ( n ) x ( n − τ ) y(n) x(n-\tau) y(n)x(n−τ)
其中 τ \tau τ是延迟时间对应的频率响应为 H ( e j w ) e − j w τ H(e^{jw})e^{-jw\tau} H(ejw)e−jwτ 这是因为延迟 τ \tau τ样本在时域上相当于在频域上乘以 e − j w τ e^{-jw\tau} e−jwτ
傅里叶变换和频域描述
为了理解延迟系统的频率响应需要用到离散时间傅里叶变换DTFT。DTFT将时域信号转换为频域信号。
输入信号 x ( n ) x(n) x(n)的DTFT为 X ( e j w ) ∑ n − ∞ ∞ x ( n ) e − j w n X(e^{jw}) \sum_{n-\infty}^{\infty} x(n) e^{-jwn} X(ejw)n−∞∑∞x(n)e−jwn
输出信号 y ( n ) y(n) y(n)的DTFT为 Y ( e j w ) ∑ n − ∞ ∞ y ( n ) e − j w n Y(e^{jw}) \sum_{n-\infty}^{\infty} y(n) e^{-jwn} Y(ejw)n−∞∑∞y(n)e−jwn
延迟的影响
根据延迟系统的定义 y ( n ) x ( n − τ ) y(n) x(n - \tau) y(n)x(n−τ)
将这个关系代入到 y ( n ) y(n) y(n)的DTFT公式中 Y ( e j w ) ∑ n − ∞ ∞ x ( n − τ ) e − j w n Y(e^{jw}) \sum_{n-\infty}^{\infty} x(n - \tau) e^{-jwn} Y(ejw)n−∞∑∞x(n−τ)e−jwn
可以通过变量替换来简化计算。令 k n − τ k n - \tau kn−τ则 n k τ n k \tau nkτ Y ( e j w ) ∑ k − ∞ ∞ x ( k ) e − j w ( k τ ) Y(e^{jw}) \sum_{k-\infty}^{\infty} x(k) e^{-jw(k \tau)} Y(ejw)k−∞∑∞x(k)e−jw(kτ)
分离指数部分 Y ( e j w ) ∑ k − ∞ ∞ x ( k ) e − j w k e − j w τ Y(e^{jw}) \sum_{k-\infty}^{\infty} x(k) e^{-jwk} e^{-jw\tau} Y(ejw)k−∞∑∞x(k)e−jwke−jwτ
注意到 ∑ k − ∞ ∞ x ( k ) e − j w k X ( e j w ) \sum_{k-\infty}^{\infty} x(k) e^{-jwk} X(e^{jw}) k−∞∑∞x(k)e−jwkX(ejw)
所以 Y ( e j w ) X ( e j w ) ⋅ e − j w τ Y(e^{jw}) X(e^{jw}) \cdot e^{-jw\tau} Y(ejw)X(ejw)⋅e−jwτ
频率响应
系统的频率响应 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)定义为输出频域表示与输入频域表示的比值 H ( e j w ) Y ( e j w ) X ( e j w ) H(e^{jw}) \frac{Y(e^{jw})}{X(e^{jw})} H(ejw)X(ejw)Y(ejw)
将上面的结果代入 H ( e j w ) e − j w τ H(e^{jw}) e^{-jw\tau} H(ejw)e−jwτ
相位响应的推导
我们可以从延迟系统的频率响应H(e^jw)推导出其相位响应: H ( e j w ) e − j w τ H(e^{jw})e^{-jw\tau} H(ejw)e−jwτ
从上述式子可以看到频率响应的相位部分为 Φ ( w ) − w τ Φ(w)-w\tau Φ(w)−wτ 至此我们知道了系统的延迟是如何表达和推导的那么我们现在来说一下为什么IIR滤波器和FIR滤波器在相位延迟上会有这么大差别。
IIR滤波器相位延迟分析
考虑一个IIR滤波器的频率响应函数应当如下
一般来说一个IIR滤波器的输出可以表示为 y ( n ) ∑ k 0 N b k x ( n − k ) − ∑ k 1 M a k y ( n − k ) y(n) \sum_{k0}^{N} b_k x(n-k) - \sum_{k1}^{M} a_k y(n-k) y(n)k0∑Nbkx(n−k)−k1∑Maky(n−k)
其中 b k b_k bk和 a k a_k ak是滤波器的系数。
IIR滤波器的频率响应 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω)通常表示为 H ( e j ω ) B ( e j ω ) A ( e j ω ) H(e^{j\omega}) \frac{B(e^{j\omega})}{A(e^{j\omega})} H(ejω)A(ejω)B(ejω)
其中 B ( e j ω ) B(e^{j\omega}) B(ejω)和 A ( e j ω ) A(e^{j\omega}) A(ejω)分别是分子和分母多项式 B ( e j ω ) ∑ k 0 N b k e − j ω k B(e^{j\omega}) \sum_{k0}^{N} b_k e^{-j\omega k} B(ejω)k0∑Nbke−jωk A ( e j ω ) 1 ∑ k 1 M a k e − j ω k A(e^{j\omega}) 1 \sum_{k1}^{M} a_k e^{-j\omega k} A(ejω)1k1∑Make−jωk
相位响应 ϕ ( ω ) \phi(\omega) ϕ(ω)是频率响应的相位部分 H ( e j ω ) ∣ H ( e j ω ) ∣ e j ϕ ( ω ) H(e^{j\omega}) |H(e^{j\omega})| e^{j\phi(\omega)} H(ejω)∣H(ejω)∣ejϕ(ω) ϕ ( ω ) arg ( H ( e j ω ) ) \phi(\omega) \arg(H(e^{j\omega})) ϕ(ω)arg(H(ejω))
为了定量地分析IIR滤波器的延迟我们需要计算相位响应的频率导数即群延迟 τ g ( ω ) \tau_g(\omega) τg(ω) τ g ( ω ) − d ϕ ( ω ) d ω \tau_g(\omega) -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega} τg(ω)−dωdϕ(ω)
由于IIR滤波器的相位响应不是线性的所以其群延迟通常是频率的函数即延迟是频率依赖的。
定量推导纯数学计算
我们以一个简单的一阶IIR滤波器为例分析其延迟特性。考虑一个一阶IIR滤波器其差分方程为 y ( n ) x ( n ) − a y ( n − 1 ) y(n) x(n) - a y(n-1) y(n)x(n)−ay(n−1)
其频率响应为 H ( e j ω ) 1 1 − a e − j ω H(e^{j\omega}) \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}} H(ejω)1−ae−jω1
计算频率响应的相位 H ( e j ω ) 1 1 − a e − j ω H(e^{j\omega}) \frac{1}{1 - a e^{-j\omega}} H(ejω)1−ae−jω1
我们将其写成极坐标形式 H ( e j ω ) 1 1 − 2 a cos ( ω ) a 2 e j ϕ ( ω ) H(e^{j\omega}) \frac{1}{\sqrt{1 - 2a\cos(\omega) a^2}} e^{j\phi(\omega)} H(ejω)1−2acos(ω)a2 1ejϕ(ω)
其中 ϕ ( ω ) − tan − 1 ( a sin ( ω ) 1 − a cos ( ω ) ) \phi(\omega) -\tan^{-1}\left(\frac{a \sin(\omega)}{1 - a \cos(\omega)}\right) ϕ(ω)−tan−1(1−acos(ω)asin(ω))
计算群延迟 τ g ( ω ) − d ϕ ( ω ) d ω \tau_g(\omega) -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega} τg(ω)−dωdϕ(ω) ϕ ( ω ) − tan − 1 ( a sin ( ω ) 1 − a cos ( ω ) ) \phi(\omega) -\tan^{-1}\left(\frac{a \sin(\omega)}{1 - a \cos(\omega)}\right) ϕ(ω)−tan−1(1−acos(ω)asin(ω))
利用导数链式法则 τ g ( ω ) − d d ω [ − tan − 1 ( a sin ( ω ) 1 − a cos ( ω ) ) ] \tau_g(\omega) -\frac{d}{d\omega} \left[-\tan^{-1}\left(\frac{a \sin(\omega)}{1 - a \cos(\omega)}\right)\right] τg(ω)−dωd[−tan−1(1−acos(ω)asin(ω))]
计算导数 τ g ( ω ) a ( 1 − a cos ( ω ) ) cos ( ω ) a 2 sin 2 ( ω ) ( 1 − a cos ( ω ) ) 2 a 2 sin 2 ( ω ) \tau_g(\omega) \frac{a \left(1 - a \cos(\omega)\right)\cos(\omega) a^2 \sin^2(\omega)}{\left(1 - a \cos(\omega)\right)^2 a^2 \sin^2(\omega)} τg(ω)(1−acos(ω))2a2sin2(ω)a(1−acos(ω))cos(ω)a2sin2(ω)
简化后得到 τ g ( ω ) a ( 1 − a cos ( ω ) a cos 2 ( ω ) ) 1 − 2 a cos ( ω ) a 2 \tau_g(\omega) \frac{a \left(1 - a \cos(\omega) a \cos^2(\omega)\right)}{1 - 2a \cos(\omega) a^2} τg(ω)1−2acos(ω)a2a(1−acos(ω)acos2(ω))
由于公式较为复杂我们可以直接用数值方法计算和绘制IIR滤波器的群延迟特性。
举个例子
我们来搞个示例这样好懂一点
考虑一个简单的一阶滤波器 H ( e j w ) 1 1 − a e − j w H(e^jw)\frac{1}{1-ae^{-jw}} H(ejw)1−ae−jw1
其相位响应为 ϕ ( w ) − a r g ( 1 − a e − j w ) ϕ(w)-arg(1-ae^{-jw}) ϕ(w)−arg(1−ae−jw)
我们可以看到这个相位响应显然是非线性的会随着w的不停变化其变化率也会发生变化说着说导数的比值会随着w的变化而变化这显然是我们不想要看到的结果。
FIR滤波器相位延迟分析
FIR滤波器的相位延迟推导
FIR有限脉冲响应滤波器的延迟特性通常是线性的这源于其非递归结构和对称系数设计。下面我们详细推导FIR滤波器的相位延迟并展示如何利用KaTeX进行Markdown文档的编写。
FIR滤波器的基本形式
一个FIR滤波器的输出可以表示为 y ( n ) ∑ k 0 N b k x ( n − k ) y(n) \sum_{k0}^{N} b_k x(n-k) y(n)k0∑Nbkx(n−k)
其中 b k b_k bk 是滤波器的系数 N N N 是滤波器的阶数。
频率响应和相位响应
FIR滤波器的频率响应 H ( e j ω ) H(e^{j\omega}) H(ejω) 可以表示为 H ( e j ω ) ∑ k 0 N b k e − j ω k H(e^{j\omega}) \sum_{k0}^{N} b_k e^{-j\omega k} H(ejω)k0∑Nbke−jωk
相位响应 ϕ ( ω ) \phi(\omega) ϕ(ω) 是频率响应的相位部分 H ( e j ω ) ∣ H ( e j ω ) ∣ e j ϕ ( ω ) H(e^{j\omega}) |H(e^{j\omega})| e^{j\phi(\omega)} H(ejω)∣H(ejω)∣ejϕ(ω) ϕ ( ω ) arg ( H ( e j ω ) ) \phi(\omega) \arg(H(e^{j\omega})) ϕ(ω)arg(H(ejω))
线性相位的条件
为了实现线性相位我们通常设计FIR滤波器的系数使其具有对称性或反对称性。对于一个长度为 N 1 N1 N1 的对称FIR滤波器其系数满足 b k b N − k b_k b_{N-k} bkbN−k
对于反对称FIR滤波器其系数满足 b k − b N − k b_k -b_{N-k} bk−bN−k
这两种对称性保证了滤波器的相位响应是线性的即 ϕ ( ω ) − ω τ \phi(\omega) -\omega \tau ϕ(ω)−ωτ
其中 τ \tau τ 是一个常数表示恒定的群延迟。
定量推导
考虑一个对称的FIR滤波器其冲激响应 h ( n ) h(n) h(n) 为 h ( n ) h ( N − 1 − n ) h(n) h(N-1-n) h(n)h(N−1−n)
其频率响应为 H ( e j ω ) ∑ k 0 N − 1 h ( k ) e − j ω k H(e^{j\omega}) \sum_{k0}^{N-1} h(k) e^{-j\omega k} H(ejω)k0∑N−1h(k)e−jωk
由于 h ( n ) h(n) h(n) 的对称性我们可以将其拆分并合并 H ( e j ω ) ∑ k 0 ( N − 1 ) / 2 h ( k ) ( e − j ω k e − j ω ( N − 1 − k ) ) H(e^{j\omega}) \sum_{k0}^{(N-1)/2} h(k) \left( e^{-j\omega k} e^{-j\omega (N-1-k)} \right) H(ejω)k0∑(N−1)/2h(k)(e−jωke−jω(N−1−k))
利用欧拉公式我们有 e − j ω ( N − 1 − k ) e − j ω ( N − 1 ) e j ω k e^{-j\omega (N-1-k)} e^{-j\omega (N-1)} e^{j\omega k} e−jω(N−1−k)e−jω(N−1)ejωk
合并后得到 H ( e j ω ) e − j ω ( N − 1 ) / 2 ∑ k 0 ( N − 1 ) / 2 h ( k ) ( e − j ω ( k − ( N − 1 ) / 2 ) e j ω ( k − ( N − 1 ) / 2 ) ) H(e^{j\omega}) e^{-j\omega (N-1)/2} \sum_{k0}^{(N-1)/2} h(k) \left( e^{-j\omega (k - (N-1)/2)} e^{j\omega (k - (N-1)/2)} \right) H(ejω)e−jω(N−1)/2k0∑(N−1)/2h(k)(e−jω(k−(N−1)/2)ejω(k−(N−1)/2))
这表明相位响应是线性的 ϕ ( ω ) − ω N − 1 2 \phi(\omega) -\omega \frac{N-1}{2} ϕ(ω)−ω2N−1
