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1、传递函数
一个线性系统的响应。
比如一个RC低通滤波器#xff1a; 交流分量在电容的充放电中被滤除掉#xff0c;通过设置电容器的电容值#xff0c;以及电阻值#xff0c;能够控制这种滤除能力#xff0c;这个参数为RC。
电容的电抗为 1 / j w C 1/j…最小相位系统
1、传递函数
一个线性系统的响应。
比如一个RC低通滤波器 交流分量在电容的充放电中被滤除掉通过设置电容器的电容值以及电阻值能够控制这种滤除能力这个参数为RC。
电容的电抗为 1 / j w C 1/jwC 1/jwC因此容易的写出其频率响应其中 V i n ∑ k 1 L A k ℜ { exp ( j ϕ k ) exp ( j w t ) } V_{in} \sum_{k1}^{L}A_k\Re\{\exp(j\phi_k)\exp(jwt)\} Vin∑k1LAkℜ{exp(jϕk)exp(jwt)} V o u t 1 / j w C R 1 / j w C V i n 1 1 j w R C V i n V_{out} \frac{1/jwC}{R1/jwC} V_{in} \frac{1}{1jwRC} V_{in} VoutR1/jwC1/jwCVin1jwRC1Vin 将这个系数提出来 H ( w ) 1 1 j w R C H(w) \frac{1}{1jwRC} H(w)1jwRC1 这是一个变量为角频率的复变函数。为了便于在二维空间展示对其取模、取相角分别得到幅频响应和相频响应。求逆傅立叶变换得到 h ( t ) h(t) h(t)冲激函数响应。
此时的 H ( w ) H(w) H(w)是一种传递函数transfer function。
以上是简单情况仅当输入信号存在傅立叶变换的时候才成立傅立叶变换要求输入信号绝对可积。对于更一般的情况对频率进行推广。傅立叶变换的核函数是 e j w t e^{jwt} ejwt将纯虚数推广到复数就能够对幅度进行调控即 e s t e ( a j b ) t e a t e j b t e^{st}e^{(ajb)t}e^{at}e^{jbt} este(ajb)teatejbt。至于衰减还是增加取决于 a a a的正负。
得到 H ( s ) 1 1 s R C H(s) \frac{1}{1sRC} H(s)1sRC1 当s取纯虚数的时候等于频率响应。
为了便于分析将 H ( s ) H(s) H(s)画在一个复平面上横轴为实轴纵轴为虚轴。
这个系统是一个因果系统没有输入的时候不会有输出。因此其时域响应是一个右边信号因此其收敛域为 R O C { s ∣ ∣ s ∣ − R C } ROC \{s\mid |s| -RC\} ROC{s∣∣s∣−RC}。
包含虚轴那么该系统稳定。有理极点在左半平面因此系统因果。
2、最小相位
比较相位大小首先要保证幅频响应相同或者说幅度增益相同否则没有意义。 结论系统首先要求因果稳定 拉普拉斯变换零极点都在左半复平面z变换零极点都在单位圆内 则是最小相位系统 首先系统要求稳定即有界输入对应有界输出其充要条件是ROC包含虚轴。
其次系统要求因果即 h ( t ) 0 , ∀ t 0 h(t)0,\forall t0 h(t)0,∀t0暂时没有好的充要条件但又一些有意义的结论
必要条件ROC是某个右半复平面。 h ( t ) h(t) h(t)至少要求是右边信号起点还不确定所以仅仅是个必要条件充分条件传递函数是有理的并且ROC为最右侧极点的右半复平面。
那么下面的讨论中假设传递函数可以用有理函数表示。这意味着其时域响应可以用复指数函数表示 H ( s ) N ( s ) D ( s ) (2-1) H(s) \frac{N(s)}{D(s)} \tag{2-1} H(s)D(s)N(s)(2-1) 接下来再说什么情况下两个系统的幅度增益是相同的。 ∣ H 1 ( s ) ∣ ∣ N 1 ( s ) ∣ ∣ D 1 ( s ) ∣ ∣ N 2 ( s ) ∣ ∣ D 2 ( s ) ∣ ∣ H 2 ( s ) ∣ (2-2) |H_1(s)| \frac{|N_1(s)|}{|D_1(s)|} \frac{|N_2(s)|}{|D_2(s)|} |H_2(s)| \tag{2-2} ∣H1(s)∣∣D1(s)∣∣N1(s)∣∣D2(s)∣∣N2(s)∣∣H2(s)∣(2-2) 从上面公式2-2可以看出幅度相同意味着分子分母的幅度都相同。
根据有理传递函数的假设其分子分母都可以用多项式表示再由代数基本定理该多项式可以写成连乘的形式。
先讨论分母其中A是一个常数 a i , i 1 , 2 , . . . , N a_i,i1,2,...,N ai,i1,2,...,N D ( s ) A Π i 1 N ( 1 − a i s − 1 ) A ( 1 − a 1 s − 1 ) ( 1 − a 2 s − 1 ) ⋯ ( 1 − a N s − 1 ) (2-3) D(s) A\Pi_{i1}^N(1-a_is^{-1}) A(1-a_1s^{-1})(1-a_2s^{-1})\cdots(1-a_Ns^{-1}) \tag{2-3} D(s)AΠi1N(1−ais−1)A(1−a1s−1)(1−a2s−1)⋯(1−aNs−1)(2-3) 如果要求系统因果稳定那么 ℜ { a i } 0 \Re\{a_i\}0 ℜ{ai}0且ROC为右半平面。
因此必有 D 1 ( s ) D 2 ( s ) D_1(s)D_2(s) D1(s)D2(s)否则必有一个不满足因果稳定的条件。
再讨论分子其中B是一个常数 b i , i 1 , 2 , . . . , M b_i,i1,2,...,M bi,i1,2,...,M N ( s ) B Π i 1 M ( 1 − b i s − i ) B ( 1 − b 1 s − 1 ) ( 1 − b 2 s − 1 ) ⋯ ( 1 − b M s − 1 ) (2-4) N(s) B\Pi_{i1}^M(1-b_is^{-i}) B(1-b_1s^{-1})(1-b_2s^{-1})\cdots(1-b_Ms^{-1}) \tag{2-4} N(s)BΠi1M(1−bis−i)B(1−b1s−1)(1−b2s−1)⋯(1−bMs−1)(2-4) 系统因果稳定跟分子没有关系因此 b i ∈ C b_i\in C bi∈C为任意复数。
因此两个因果稳定的系统幅度增益相同相位响应不同只能从分子入手分母不能动。 对任意一项 ( 1 − b i s − 1 ) (1-b_is^{-1}) (1−bis−1)其中 s σ j w , b i x j y s\sigmajw,b_i xjy sσjw,bixjy。取相角 ϕ ∡ ( 1 − b i s − 1 ) arg ( 1 − x j y σ j w ) arg ( σ − x j ( w − y ) σ j w ) arg ( K e ϕ 1 − ϕ 2 ) K ( σ − x ) 2 ( w − y ) 2 σ 2 w 2 ϕ ϕ 1 − ϕ 2 arctan 2 ( w − y σ − x ) − arctan ( w σ ) \phi \measuredangle (1-b_is^{-1}) \arg (1-\frac{xjy}{\sigmajw}) \arg(\frac{\sigma-xj(w-y)}{\sigmajw}) \arg(Ke^{\phi_1-\phi_2}) \\ K \frac{\sqrt{(\sigma-x)^2(w-y)^2}}{\sqrt{\sigma^2w^2}}\\ \phi \phi_1-\phi_2 \arctan2(\frac{w-y}{\sigma-x}) - \arctan(\frac{w}{\sigma}) ϕ∡(1−bis−1)arg(1−σjwxjy)arg(σjwσ−xj(w−y))arg(Keϕ1−ϕ2)Kσ2w2 (σ−x)2(w−y)2 ϕϕ1−ϕ2arctan2(σ−xw−y)−arctan(σw)
讨论相频响应需要令 σ 0 \sigma0 σ0频率 w w w从0开始递增通常使用波特图来描述横坐标用类似于np.linspace(1e-2,1e2,1000)的语句来描述。
因此 ϕ 2 π / 2 \phi_2\pi/2 ϕ2π/2 ϕ 1 arctan 2 ( w − y − x ) \phi_1 \arctan2(\frac{w-y}{-x}) ϕ1arctan2(−xw−y)需要注意 arctan 2 \arctan2 arctan2的输出范围是 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [−π,π)。因此当 − x 0 -x0 −x0为常数 w − y 0 w-y0 w−y0的时候返回的是一个一象限的锐角因此 ϕ 1 \phi_1 ϕ1从 − π / 2 -\pi/2 −π/2递增到0。反过来将从 π / 2 \pi/2 π/2递减到0
可以用python代码来描述这个过程
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
# (1-bs^-1)
sigma 0
Npoints 1000
w np.linspace(1e-1,100,Npoints)
s sigma1j*wb -51j*0y1 np.angle((1-b/s), degTrue)
y2 np.angle((1b.conjugate()/s), degTrue)x1 np.abs(1-b/s)
x2 np.abs(1b.conjugate()/s)
plt.semilogx(w,y1,ro)
plt.semilogx(w,y2,b*)
plt.legend([negtive poles,positive poles])
plt.show()上述推导属实令人费解主要原因是我们采用了负幂来描述这个系统。实际上在控制工程当中使用正幂来描述连续时间系统会更加常见。
如果是正幂那么分子中的一项为 ( s − b i ) (s-b_i) (s−bi)令s的实部为0即 s j w sjw sjw那么 ∡ ( s − b i ) a r c t a n 2 ( w − y − x ) ∣ ( s − b i ) ∣ x 2 ( w − y ) 2 (2-5) \measuredangle(s-b_i) arctan2(\frac{w-y}{-x}) \\ |(s-b_i)| \sqrt{x^2(w-y)^2} \tag{2-5} ∡(s−bi)arctan2(−xw−y)∣(s−bi)∣x2(w−y)2 (2-5) 显然要使得幅频响应不变那么 b i b_i bi的虚部不能动实部的正负可以变。 ( w − y ) 0 (w-y)0 (w−y)0 ( w − y ) 0 (w-y)0 (w−y)0实部为正位于正半平面正钝角负钝角实部为负位于负半平面正锐角负锐角
所以当实部为负即零点在负半平面随着频率的变化相位变化相比于零点在正半平面更慢。也就是说相位变化小即群时延小阶跃响应建立更快冲激响应能量更向0时刻集中。需要注意最小相位系统其相位延迟不一定是最小但是相位变化一定是最小。比如一个最小相位系统的相位延迟了45度另外一个相同幅频响应的系统相位延迟可能只有30度。
总结
Tip1:
关于最小相位系统有一些等价条件
群时延最小的系统冲激响应能量最靠近0时刻的系统阶跃响应建立最快的系统有理传递函数的情况下零极点都在复平面的左半平面的系统有理传递函数的情况下对于离散时间系统零极点都在单位圆内的系统有理传递函数的情况下系统和逆系统都是因果稳定的系统
Tip2:
最大相位系统零点都在右半平面。因此这种系统因果稳定但是其逆系统则不可能同时因果稳定。
Tip3:
一个零极点系统可以表示成最小相位系统和全通系统的乘积。
比如 H ( s ) s − 1 ( s 3 ) ( s 2 ) s − 1 ( s 3 ) ( s 2 ) × s − 1 s 1 H(s) \frac{s-1}{(s3)(s2)} \frac{s-1}{(s3)(s2)}\times \frac{s-1}{s1} H(s)(s3)(s2)s−1(s3)(s2)s−1×s1s−1 H ( z ) 1 − ( 2 e j π / 3 ) z − 1 ( 1 − 3 z − 1 ) ( 5 − z − 1 ) z − 1 − 2 e − j π / 3 ( z − 1 − 3 ) ( 5 − z − 1 ) × 1 − ( 2 e j π / 3 ) z − 1 z − 1 − 2 e − j π / 3 × z − 1 − 3 1 − 3 z − 1 H(z) \frac{1-(2e^{j\pi/3})z^{-1}}{(1-3z^{-1})(5-z^{-1})} \frac{z^{-1} - 2e^{-j\pi/3}}{(z^{-1}-3)(5-z^{-1})} \times \frac{1-(2e^{j\pi/3})z^{-1}}{z^{-1} - 2e^{-j\pi/3}} \times \frac{z^{-1}-3}{1-3z^{-1}} H(z)(1−3z−1)(5−z−1)1−(2ejπ/3)z−1(z−1−3)(5−z−1)z−1−2e−jπ/3×z−1−2e−jπ/31−(2ejπ/3)z−1×1−3z−1z−1−3
Tip4:
已知幅频响应那么其最小相位系统的相频响应响应是唯一的。
