网站备案被取消,网站开发都用什么软件,wordpress自动加载链接,网站如何留言S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。 S_\text{ 是全脐点曲面当且仅当 }{S_\text{ 是平面或者球面的一部分。}} S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。
证#xff1a;
充分性显然#xff0c;下证必要性。
若 r ( u , v ) r(u,v) r(u,v)是… S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。 S_\text{ 是全脐点曲面当且仅当 }{S_\text{ 是平面或者球面的一部分。}} S 是全脐点曲面当且仅当 S 是平面或者球面的一部分。
证
充分性显然下证必要性。
若 r ( u , v ) r(u,v) r(u,v)是全脐点曲面设其在 ( u , v ) (u,v) (u,v)处的主曲率为 k ( u , v ) k(u,v) k(u,v),则有 L k E , M k F , N k G LkE,MkF,NkG LkE,MkF,NkG。
则 k L / E kL/E kL/E是光滑的并且 ⟨ n u k r u , r u ⟩ − L k E 0 \langle n_ukr_u,r_u\rangle-LkE0 ⟨nukru,ru⟩−LkE0 ⟨ n u k r u , r v ⟩ − M k F 0 ⟨ n u k r u , n ⟩ 0 \begin{aligned}\langle n_ukr_u,r_v\rangle-MkF0\\\langle n_ukr_u,n\rangle0\end{aligned} ⟨nukru,rv⟩−MkF0⟨nukru,n⟩0
从而 n u k r u 0 n_ukr_u0 nukru0,同理 n v k r v 0 n_vkr_v0 nvkrv0。
两式求偏导数再相减得到 k v r u − k u r v 0 k_vr_u-k_ur_v0 kvru−kurv0,从而 k u k v 0 k_uk_v0 kukv0,从而 k k k是常值函数。
分两种情况讨论 1. k 0 k0 k0,则带入上式看出 n n n是常向量从而 S S S是平面 2. k ≠ 0 k\neq0 k0,则 a : n k r a:nkr a:nkr是常向量则 ∣ r − a k ∣ ∣ k n ∣ 1 ∣ k ∣ |r-\frac ak||\frac kn|\frac1{|k|} ∣r−ka∣∣nk∣∣k∣1。从而 S S S是半径为 1 ∣ k ∣ \frac1{|k|} ∣k∣1的球面的一部分。
