套用网站模板,react网站开发实战,免费建站建设网站搭建网站,律师个人网站模板个人专栏—塑性力学
1.1 塑性力学基本概念 塑性力学基本概念 1.2 弹塑性材料的三杆桁架分析 弹塑性材料的三杆桁架分析 1.3 加载路径对桁架的影响 加载路径对桁架的影响 2.1 塑性力学——应力分析基本概念 应力分析基本概念 2.2 塑性力学——主应力、主方向、不变量 主应力、主…个人专栏—塑性力学
1.1 塑性力学基本概念 塑性力学基本概念 1.2 弹塑性材料的三杆桁架分析 弹塑性材料的三杆桁架分析 1.3 加载路径对桁架的影响 加载路径对桁架的影响 2.1 塑性力学——应力分析基本概念 应力分析基本概念 2.2 塑性力学——主应力、主方向、不变量 主应力、主方向、不变量 目录 个人专栏—塑性力学[TOC](目录) 应变分析 \color{blue}应变分析 应变分析 应用示例 \color{blue}应用示例 应用示例 应变分析 \color{blue}应变分析 应变分析
应变与位移的关系 如图所示由几何方程得 { ε x ∂ u ∂ x γ x y ∂ v ∂ x ∂ u ∂ y ε y ∂ v ∂ y γ y z ∂ w ∂ y ∂ v ∂ z ε z ∂ w ∂ z γ z x ∂ u ∂ z ∂ w ∂ x \begin{cases} \varepsilon_x\frac{\partial u}{\partial x} \gamma_{xy}\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}\\ \varepsilon_y\frac{\partial v}{\partial y} \gamma_{yz}\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial z}\\ \varepsilon_z\frac{\partial w}{\partial z} \gamma_{zx}\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial x} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧εx∂x∂uεy∂y∂vεz∂z∂wγxy∂x∂v∂y∂uγyz∂y∂w∂z∂vγzx∂z∂u∂x∂w 剪应变张量表示为 { ε x y 1 2 γ x y 1 2 ∂ v ∂ x ∂ u ∂ y ε y z 1 2 γ y z 1 2 ∂ w ∂ y ∂ v ∂ z ε z x 1 2 γ z x 1 2 ∂ u ∂ z ∂ w ∂ x \begin{cases} \varepsilon_{xy}\frac{1}{2}\gamma_{xy}\frac{1}{2}{\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y}}\\ \varepsilon_{yz}\frac{1}{2}\gamma_{yz}\frac{1}{2}{\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial z}}\\ \varepsilon_{zx}\frac{1}{2}\gamma_{zx}\frac{1}{2}{\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial x}} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧εxy21γxy21∂x∂v∂y∂uεyz21γyz21∂y∂w∂z∂vεzx21γzx21∂z∂u∂x∂w 一点的应变状态知道一点的6个独立的应变分量 ε x , ε y , ε z , γ x y , γ y z , γ z x \varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\gamma_{xy},\gamma_{yz},\gamma_{zx} εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx,任一方向的应变即可确定称该点的应变情况为应变状态。 应变分量 $\varepsilon_x,\varepsilon_y,\varepsilon_z,\varepsilon_{xy},\varepsilon_{yz},\varepsilon_{zx} $构成应变张量 ε i j [ ε x ε x y ε x z ε y x ε y ε y z ε z x ε z y ε z ] [ ε x 1 2 γ x y 1 2 γ x z 1 2 γ y x ε y 1 2 γ y z 1 2 γ z x 1 2 γ z y ε z ] ε i j 1 2 ( u i , j u j , i ) \begin{gather*} \varepsilon_{ij}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \varepsilon_{xy} \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} \varepsilon_y \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} \varepsilon_{zy} \varepsilon_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \varepsilon_x \frac{1}{2}\gamma_{xy} \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} \varepsilon_y \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} \frac{1}{2}\gamma_{zy} \varepsilon_z \end{bmatrix}\\ \varepsilon_{ij}\frac{1}{2}(u_{i,j}u_{j,i}) \end{gather*} εij εxεyxεzxεxyεyεzyεxzεyzεz εx21γyx21γzx21γxyεy21γzy21γxz21γyzεz εij21(ui,juj,i)
应变张量的三个不变量 ε i j [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] ε 3 − I 1 ε 2 I 2 ε 2 − I 3 0 I 1 ε x ε y ε z ε 1 ε 2 ε 3 I 2 ε x ε y ε y ε z ε z ε x − ε x y 2 − ε y z 2 − ε z x 2 ε 1 ε 2 ε 2 ε 3 ε 3 ε 1 I 3 ε x ε y ε z 2 ε x y ε y z ε z x − ε x ε y z 2 − ε y ε z x 2 − ε z ε x y 2 ε 1 ε 2 ε 3 \begin{gather*} \varepsilon_{ij}\begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \varepsilon_{12} \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} \varepsilon_{22} \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} \varepsilon_{32} \varepsilon_{33} \end{bmatrix}\\ \varepsilon^3-I_1\varepsilon^2I_2\varepsilon^2-I_30\\ I_1\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3\\ I_2\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_y\varepsilon_z\varepsilon_z\varepsilon_x-\varepsilon_{xy}^2-\varepsilon_{yz}^2-\varepsilon_{zx}^2\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_2\varepsilon_3\varepsilon_3\varepsilon_1\\ I_3\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z2\varepsilon_{xy}\varepsilon_{yz}\varepsilon_{zx}-\varepsilon_x\varepsilon_{yz}^2-\varepsilon_y\varepsilon_{zx}^2-\varepsilon_z\varepsilon_{xy}^2\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3 \end{gather*} εij ε11ε21ε31ε12ε22ε32ε13ε23ε33 ε3−I1ε2I2ε2−I30I1εxεyεzε1ε2ε3I2εxεyεyεzεzεx−εxy2−εyz2−εzx2ε1ε2ε2ε3ε3ε1I3εxεyεz2εxyεyzεzx−εxεyz2−εyεzx2−εzεxy2ε1ε2ε3
应变偏张量的三个不变量 ε i j [ ε m 0 0 0 ε m 0 0 0 ε m ] [ ε 11 − ε m ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 − ε m ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 − ε m ] ⏟ e i j ε m δ i j e i j ε m ε x ε y ε z 3 ε 1 ε 2 ε 3 3 ε x − ε m 2 ε x − ε y − ε z 3 , ε y − ε m 2 ε y − ε x − ε z 3 , ε z − ε m 2 ε z − ε y − ε x 3 \begin{gather*} \varepsilon_{ij}\begin{bmatrix} \varepsilon_m 0 0 \\ 0 \varepsilon_m 0 \\ 0 0 \varepsilon_m \end{bmatrix}\underbrace{\begin{bmatrix} \varepsilon_{11}-\varepsilon_m \varepsilon_{12} \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} \varepsilon_{22}-\varepsilon_m \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} \varepsilon_{32} \varepsilon_{33}-\varepsilon_m \end{bmatrix}}_{e_{ij}}\varepsilon_m\delta_{ij}e_{ij}\\ \varepsilon_m\frac{\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z}{3}\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3}{3}\\ \varepsilon_x-\varepsilon_m\frac{2\varepsilon_x-\varepsilon_y-\varepsilon_z}{3}, \quad \varepsilon_y-\varepsilon_m\frac{2\varepsilon_y-\varepsilon_x-\varepsilon_z}{3}, \quad \varepsilon_z-\varepsilon_m\frac{2\varepsilon_z-\varepsilon_y-\varepsilon_x}{3} \end{gather*} εij εm000εm000εm eij ε11−εmε21ε31ε12ε22−εmε32ε13ε23ε33−εm εmδijeijεm3εxεyεz3ε1ε2ε3εx−εm32εx−εy−εz,εy−εm32εy−εx−εz,εz−εm32εz−εy−εx
体积应变 $\theta\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z3\varepsilon_m $,只引起单元体的体积改变剪切应变 $e_{ij} $只产生形状改变。 I 1 ′ e 11 e 22 e 33 0 I 3 ′ ∣ e i j ∣ e 1 e 2 e 3 I 2 ′ 1 2 e i j e j i 1 6 [ ( e 11 − e 22 ) 2 ( e 22 − e 33 ) 2 ( e 33 − e 11 ) 2 ] e 12 2 e 23 2 e 31 2 1 6 [ ( e x − e y ) 2 ( e y − e z ) 2 ( e z − e x ) 2 ] 1 4 ( γ x y 2 γ y z 2 γ z x 2 ) 1 6 [ ( ε 1 − ε 2 ) 2 ( ε 2 − ε 3 ) 2 ( ε 3 − ε 1 ) 2 ] \begin{align*} I_1^{}e_{11}e_{22}e_{33}0\quad I_3^{}|e_{ij}|e_1e_2e_3\\ I_2^{}\frac{1}{2}e_{ij}e_{ji}\frac{1}{6}[(e_{11}-e_{22})^2(e_{22}-e_{33})^2(e_{33}-e_{11})^2]e_{12}^2e_{23}^2e_{31}^2\\ \frac{1}{6}[(e_x-e_y)^2(e_y-e_z)^2(e_z-e_x)^2]\frac{1}{4}(\gamma_{xy}^2\gamma_{yz}^2\gamma_{zx}^2)\\ \frac{1}{6}[(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2(\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2(\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2] \end{align*} I1′I2′e11e22e330I3′∣eij∣e1e2e321eijeji61[(e11−e22)2(e22−e33)2(e33−e11)2]e122e232e31261[(ex−ey)2(ey−ez)2(ez−ex)2]41(γxy2γyz2γzx2)61[(ε1−ε2)2(ε2−ε3)2(ε3−ε1)2] 八面体剪应变与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的剪应变 { ε 8 1 3 ( ε 1 ε 2 ε 3 ) γ 8 2 3 ( ε 1 − ε 2 ) 2 ( ε 2 − ε 3 ) 2 ( ε 3 − ε 1 ) 2 8 3 I 2 ′ \begin{cases} \varepsilon_8\frac{1}{3}(\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3)\\ \gamma_8\frac{2}{3}\sqrt{(\varepsilon_1-\varepsilon_2)^2(\varepsilon_2-\varepsilon_3)^2(\varepsilon_3-\varepsilon_1)^2}\sqrt{\frac{8}{3}I_2^{}} \end{cases} {ε831(ε1ε2ε3)γ832(ε1−ε2)2(ε2−ε3)2(ε3−ε1)2 38I2′ Lode应变参数 μ ε 2 ε 2 − ε 1 − ε 3 ε 1 − ε 3 2 ε 2 − ε 3 ε 1 − ε 3 − 1 \mu_{\varepsilon}\frac{2\varepsilon_2-\varepsilon_1-\varepsilon_3}{\varepsilon_1-\varepsilon_3}2\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_3}{\varepsilon_1-\varepsilon_3}-1 μεε1−ε32ε2−ε1−ε32ε1−ε3ε2−ε3−1 单向拉伸 ε 1 ε , ε 2 ε 3 − 0.5 ε , μ ε − 1 \varepsilon_1\varepsilon,\quad \varepsilon_2\varepsilon_3-0.5\varepsilon,\quad \mu_{\varepsilon}-1 ε1ε,ε2ε3−0.5ε,με−1 单向压缩 $\varepsilon_3-\varepsilon,\quad \varepsilon_2\varepsilon_10.5\varepsilon,\quad \mu_{\varepsilon}1 $ 纯剪切 $\varepsilon_10.5\gamma,\quad \varepsilon_20,\quad \varepsilon_3-0.5\gamma,\quad \mu_{\varepsilon}0 $ 等效应变 ε ˉ 4 3 I 2 ′ 2 3 ( e 1 − e 2 ) 2 ( e 2 − e 3 ) 2 ( e 3 − e 1 ) 2 2 3 e 1 2 e 2 2 e 3 2 \begin{align*} \bar{\varepsilon}\sqrt{\frac{4}{3}I_2^{}}\\ \frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{(e_1-e_2)^2(e_2-e_3)^2(e_3-e_1)^2}\\ \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{e_1^2e_2^2e_3^2} \end{align*} εˉ34I2′ 32 (e1−e2)2(e2−e3)2(e3−e1)2 32 e12e22e32 应用示例 \color{blue}应用示例 应用示例
已知位移分量 $u(2xy)a,v(2yx)a,w-az $求应变张量并分解应变强度。 ε x ∂ u ∂ x 2 a , ε y ∂ v ∂ y 2 a , ε z ∂ w ∂ z − a γ x y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x 2 a , ε x y 1 2 γ x y a ε y z 1 2 ( ∂ v ∂ z ∂ w ∂ y ) , ε z x 1 2 ( ∂ w ∂ x ∂ u ∂ z ) ε m ε x ε y ε z 3 a ε i j [ 2 a a 0 a 2 a 0 0 0 − a ] [ a 0 0 0 a 0 0 0 a ] [ a a 0 a a 0 0 0 − 2 a ] \begin{gather*} \varepsilon_x\frac{\partial u}{\partial x}2a, \quad \varepsilon_y\frac{\partial v}{\partial y}2a, \quad \varepsilon_z\frac{\partial w}{\partial z}-a\\ \gamma_{xy}\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}2a, \quad \varepsilon_{xy}\frac{1}{2}\gamma_{xy}a\\ \varepsilon_{yz}\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}\frac{\partial w}{\partial y}), \quad \varepsilon_{zx}\frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial z})\\ \varepsilon_m\frac{\varepsilon_x\varepsilon_y\varepsilon_z}{3}a\\ \varepsilon_{ij}\begin{bmatrix} 2a a 0\\ a 2a 0\\ 0 0 -a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a 0 0\\ 0 a 0\\ 0 0 a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a a 0\\ a a 0\\ 0 0 -2a \end{bmatrix} \end{gather*} εx∂x∂u2a,εy∂y∂v2a,εz∂z∂w−aγxy∂y∂u∂x∂v2a,εxy21γxyaεyz21(∂z∂v∂y∂w),εzx21(∂x∂w∂z∂u)εm3εxεyεzaεij 2aa0a2a000−a a000a000a aa0aa000−2a
