游戏开发指南,兰州网站seo技术厂家,网站建设的项目方案模板,制作网页模板1.什么是微分代数方程#xff1f; 微分代数方程是一类微分方程#xff0c;其中一个或多个因变量导数未出现在方程中。方程中出现的未包含其导数的变量称为代数变量#xff0c;代数变量的存在意味着您不能将这些方程记为显式形式 y ′ f t , y 。相反#xff0c;您可以…1.什么是微分代数方程 微分代数方程是一类微分方程其中一个或多个因变量导数未出现在方程中。方程中出现的未包含其导数的变量称为代数变量代数变量的存在意味着您不能将这些方程记为显式形式 y ′ f t , y 。相反您可以解算下列形式的 DAE • ode15s 和 ode23t 求解器可以使用奇异质量矩阵 M t , y y ′ f t , y 来解算微分指数为 1 的线性隐式问题包括以下形式的半显式 DAE y ′ f(t , y , z) 0 g(t , y , z) . 在此形式中由于主对角线存在一个或多个零值因此代数变量的存在会产生奇异质量矩 阵。 默认情况下求解器会自动检验质量矩阵的奇异性以检测 DAE 方程组。如果您提前知道奇异性则可将 odeset 的 MassSingular 选项设为 yes 。对于 DAE您还可以使用 odeset 的 InitialSlope 属性为求解器提供 y ′ 0 的初始条件估计值。除此之外还可在调用求解器时指定 y 0 的常用初始条件。 • ode15i 求解器可解算更通用的完全隐式形式的 DAE f(t , y , y ′ ) 0 . 在完全隐式形式下代数变量的存在会产生奇异 Jacobian 矩阵。这是因为由于至少有一个变量的导数没有出现在方程中因此矩阵中的对应列必定全部为零值。 ode15i 求解器要求您同时为 y ′ 0 和 y 0 指定初始条件。此外与其他 ODE 求解器不同 ode15i 要求为方程编码的函数能够接受额外输入 odefun(t,y,yp) 。 DAE 会产生各种方程组因为物理守恒定律通常具有类似 x y z 0 这样的形式。如果已在方程中显式定义 x 、 x 、 y 和 y 则此守恒方程无需 z 表达式便足以解算 z 。 2.一致的初始条件 在解算 DAE 时可以同时为 y ′ 0 和 y 0 指定初始条件。 ode15i 求解器要求同时将这两个初始条件指定为输入参数。对于 ode15s 和 ode23t 求解器 y ′ 0 的初始条件是可选的但可使用 odeset 的 InitialSlope选项指定。这两种情况下您所指定的初始条件可能与正在尝试解算的方程不相符。彼此冲突的初始条件称为不一致。初始条件的处理因求解器而异 • ode15s 和 ode23t - 如果您没有为 y ′ 0 指定初始值则求解器会自动基于您为 y 0 提供的初始条件计算一致的初始条件。如果您为 y ′ 0 指定了不一致的初始条件则求解器会将这些值作为估计值进行处理尝试计算接近估计值的一致值并继续解算该问题。 • ode15i - 您为求解器提供的初始条件必须一致并且 ode15i 不会检查所提供的值的一致性。辅助函数 decic 可计算满足这一要求的一致初始条件。 3.微分指数 DAE 的特征是其作为奇异性度量的微分指数。通过对方程进行微分可以消除代数变量并且如果执行此操作的次数足够多这些方程将呈现为显式 ODE 方程组。DAE 方程组的微分指数是为了将方程组表示为等效的显式 ODE 方程组必须执行的求导次数。因此ODE 的微分指数为 0。 微分指数为 1 的 DAE 示例如下 y(t) k(t) . 对于此方程只需执行一次求导便可获得显式 ODE 形式 y ′ k ′( t) . 微分指数为 2 的 DAE 示例如下 y ′ 1 y 2 0 k(t) − y 1 . 这些方程要求进行两次求导才能重写为显式 ODE 形式 y ′ 1 k ′ ( t) y ′ 2 k ′′ ( t) . ode15s 和 ode23t 求解器仅可解算微分指数为 1 的 DAE。如果您的方程微分指数为 2 或更高则需要将方程重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。您可随时对 DAE 方程组求导并将其重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。请注意如果您将代数方程替换为其导数则可能已删除某些约束。如果这些方程不再包含原始约束则数值解可能发生漂移。 4.施加非负性 odeset 的大多数选项与 DAE 求解器 ode15s 、 ode23t 和 ode15i 一起使用时能按预期工 作。然而一个明显的例外是使用 NonNegative 第 11-33 页 选项。 NonNegative 选项不支持应用于具有质量矩阵的问题的隐式求解器 ode15s 、 ode23t 、 ode23tb。因此您不能使用此选项对DAE 问题施加非负性约束DAE 问题一定有奇异质量矩阵。 5.将 Robertson 问题作为半显式微分代数方程 (DAE) 求解 此示例将 ODE 方程组重新表示为微分代数方程组 (DAE)。hb1ode.m 中的 Robertson 问题是刚性 ODE解算程序的经典测试问题。方程组为 hb1ode 将此 ODE 方程组解算为稳定状态初始条件为有y11 、y20和y30 。但这些方程也满足线性守恒定律 在解和初始条件方面守恒定律为 通过使用守恒定律确定y3的状态该方程组可以重写为 DAE 方程组。这会将问题重新表示为 DAE 方程组 此方程组的微分指数为 1因为只需y3的一个导数就能使其成为 ODE 方程组。因此在解算该方程组之前不需要进行更多变换。函数 robertsdae 为此 DAE 方程组编码。将 robertsdae.m 保存在您的当前文件夹中以运行该示例。 function out robertsdae(t,y)
out [-0.04*y(1) 1e4*y(2).*y(3)
0.04*y(1) - 1e4*y(2).*y(3) - 3e7*y(2).^2
y(1) y(2) y(3) - 1 ]; hb1dae.m 中提供了用这种方法表示 Robertson 问题的完整示例代码。 使用 ode15s 解算 DAE 方程组。根据守恒定律显然需要一致的 y0 初始条件。使用 odeset 设置选项 • 使用常量质量矩阵表示方程组的左侧。 • 将相对误差容限设为 1e-4 。 • 使用 1e-10 的绝对误差作为第二个解分量因为标度范围与其他分量相差很大。 • 将 MassSingular 选项保留其默认值 maybe 以测试 DAE 的自动检测。 y0 [1; 0; 0];
tspan [0 4*logspace(-6,6)];
M [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0];
options odeset(Mass,M,RelTol,1e-4,AbsTol,[1e-6 1e-10 1e-6]);
[t,y] ode15s(robertsdae,tspan,y0,options);
y(:,2) 1e4*y(:,2);
semilogx(t,y);
ylabel(1e4 * y(:,2));
title(Robertson DAE problem with a Conservation Law, solved by ODE15S); 运行结果如下
