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为了构建神经网络模型我们需要首先思考大脑中的神经网络是怎样的每一个神经元都可以被认为是一个处理单元/神经核processing unit/Nucleus它含有许多输入/树突input/Dendrite并且有一个输出/轴突output/Axon。神经网络是大量神经元相互链接并通过电脉冲来交流的一个网络。 下面是一组神经元的示意图神经元利用微弱的电流进行沟通。这些弱电流也称作动作电位其实就是一些微弱的电流。所以如果神经元想要传递一个消息它就会就通过它的轴突发送一段微弱电流给其他神经元这就是轴突。
这里是一条连接到输入神经或者连接另一个神经元树突的神经接下来这个神经元接收这条消息做一些计算它有可能会反过来将在轴突上的自己的消息传给其他神经元。这就是所有人类思考的模型我们的神经元把自己的收到的消息进行计算并向其他神经元传递消息。这也是我们的感觉和肌肉运转的原理。如果你想活动一块肌肉就会触发一个神经元给你的肌肉发送脉冲并引起你的肌肉收缩。如果一些感官比如说眼睛想要给大脑传递一个消息那么它就像这样发送电脉冲给大脑的。
神经网络模型建立在很多神经元之上每一个神经元又是一个个学习模型。这些神经元也叫激活单元activation unit采纳一些特征作为输出并且根据本身的模型提供一个输出。下图是一个以逻辑回归模型作为自身学习模型的神经元示例在神经网络中参数又可被成为权重weight。 我们设计出了类似于神经元的神经网络效果如下 其中 x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2, x 3 x_3 x3是输入单元input units我们将原始数据输入给它们。 a 1 a_1 a1, a 2 a_2 a2, a 3 a_3 a3是中间单元它们负责将数据进行处理然后呈递到下一层。 最后是输出单元它负责计算 h θ ( x ) {h_\theta}\left( x \right) hθ(x)。
神经网络模型是许多逻辑单元按照不同层级组织起来的网络每一层的输出变量都是下一层的输入变量。下图为一个3层的神经网络第一层成为输入层Input Layer最后一层称为输出层Output Layer中间一层成为隐藏层Hidden Layers。我们为每一层都增加一个偏差单位bias unit
下面引入一些标记法来帮助描述模型 a i ( j ) a_{i}^{\left( j \right)} ai(j) 代表第 j j j 层的第 i i i 个激活单元。 θ ( j ) {{\theta }^{\left( j \right)}} θ(j)代表从第 j j j 层映射到第$ j1$ 层时的权重的矩阵例如 θ ( 1 ) {{\theta }^{\left( 1 \right)}} θ(1)代表从第一层映射到第二层的权重的矩阵。其尺寸为以第 j 1 j1 j1层的激活单元数量为行数以第 j j j 层的激活单元数加一为列数的矩阵。例如上图所示的神经网络中 θ ( 1 ) {{\theta }^{\left( 1 \right)}} θ(1)的尺寸为 3*4。
对于上图所示的模型激活单元和输出分别表达为 a 1 ( 2 ) g ( Θ 10 ( 1 ) x 0 Θ 11 ( 1 ) x 1 Θ 12 ( 1 ) x 2 Θ 13 ( 1 ) x 3 ) a_{1}^{(2)}g(\Theta _{10}^{(1)}{{x}_{0}}\Theta _{11}^{(1)}{{x}_{1}}\Theta _{12}^{(1)}{{x}_{2}}\Theta _{13}^{(1)}{{x}_{3}}) a1(2)g(Θ10(1)x0Θ11(1)x1Θ12(1)x2Θ13(1)x3) a 2 ( 2 ) g ( Θ 20 ( 1 ) x 0 Θ 21 ( 1 ) x 1 Θ 22 ( 1 ) x 2 Θ 23 ( 1 ) x 3 ) a_{2}^{(2)}g(\Theta _{20}^{(1)}{{x}_{0}}\Theta _{21}^{(1)}{{x}_{1}}\Theta _{22}^{(1)}{{x}_{2}}\Theta _{23}^{(1)}{{x}_{3}}) a2(2)g(Θ20(1)x0Θ21(1)x1Θ22(1)x2Θ23(1)x3) a 3 ( 2 ) g ( Θ 30 ( 1 ) x 0 Θ 31 ( 1 ) x 1 Θ 32 ( 1 ) x 2 Θ 33 ( 1 ) x 3 ) a_{3}^{(2)}g(\Theta _{30}^{(1)}{{x}_{0}}\Theta _{31}^{(1)}{{x}_{1}}\Theta _{32}^{(1)}{{x}_{2}}\Theta _{33}^{(1)}{{x}_{3}}) a3(2)g(Θ30(1)x0Θ31(1)x1Θ32(1)x2Θ33(1)x3) h Θ ( x ) g ( Θ 10 ( 2 ) a 0 ( 2 ) Θ 11 ( 2 ) a 1 ( 2 ) Θ 12 ( 2 ) a 2 ( 2 ) Θ 13 ( 2 ) a 3 ( 2 ) ) {{h}_{\Theta }}(x)g(\Theta _{10}^{(2)}a_{0}^{(2)}\Theta _{11}^{(2)}a_{1}^{(2)}\Theta _{12}^{(2)}a_{2}^{(2)}\Theta _{13}^{(2)}a_{3}^{(2)}) hΘ(x)g(Θ10(2)a0(2)Θ11(2)a1(2)Θ12(2)a2(2)Θ13(2)a3(2))
上面进行的讨论中只是将特征矩阵中的一行一个训练实例喂给了神经网络我们需要将整个训练集都喂给我们的神经网络算法来学习模型。
我们可以知道每一个 a a a都是由上一层所有的 x x x和每一个 x x x所对应的决定的。
我们把这样从左到右的算法称为前向传播算法( FORWARD PROPAGATION )
把 x x x, θ \theta θ, a a a 分别用矩阵表示
我们可以得到 θ ⋅ X a \theta \cdot Xa θ⋅Xa 。
