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矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤#xff0c;以及相关说明。
1、QR分解
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方阵#xff08;非奇异#xff09;#xff1a;将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角#xff0c;或者酉矩阵右乘…矩阵理论–矩阵分解
矩阵的三角分解、谱分解、最大秩分解、奇异值分解的操作步骤以及相关说明。
1、QR分解
1非奇异方阵
方阵非奇异将方阵分解成酉矩阵左乘正线上三角或者酉矩阵右乘正线下三角。
分解步骤 列分块得n个列向量构成的向量组将n个列向量施密特正交单位化用标准正交基表出该向量组写成矩阵相乘的形式即得三角分解。 施密特正交化-单位化 B1 A1/|A1|B2 [A2-(A2,B1)B1]/|A2-(A2,B1)|;B3 [A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1]/|A3 - (A3,B2)B2-(A3,B1)B1|; 反过来表出记k11|A1|,k22 |A2-(A2,B1)|,k12(B1,A2) A1 k11B1;A2 k12B1k22B2;A3 k13B1k23B2k33B3;A [A1,A2,A3] [B1,B2,B3][k11,k12,k13; 0,k22,k23;0,0,k33]
2满秩的高矩阵、宽矩阵
列满秩矩阵列分块添加列向量补成一个方阵非奇异再按方阵的方式分解将得到一个方形的酉矩阵左乘正线上三角0行满秩矩阵行分块添加行向量补成一个方阵非奇异再按方阵的方式分解将得到一个方形的酉矩阵右乘正线下三角0
3其它矩阵
奇异矩阵非满秩的高矩阵、宽矩阵可以分解为 U ∣ L 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}L0\\00\end{vmatrix}V U L000 VU、V是两个方形酉矩阵不一定同阶。
分解步骤
2、谱分解
谱是指矩阵的所有特征根构成的集合表示为 (A){1,2,……,r}。
首先需要指出只有单纯矩阵才有谱分解。
1单纯矩阵每个特征根的基础解系的维数等于特征根的重数。
单纯矩阵等价于可对角化矩阵。
分解步骤P仅是一个非奇异阵。 解特征方程式求特征根相似对角化D diag() P-1AP;A PDP-1P列分块P-1行分块利用分块矩阵的乘法即得A的谱分解 单纯矩阵谱分解就是将矩阵分解成一系列的秩一矩阵加权和。相似对角化 Ap pp是某个特征根的特征向量由于是单纯矩阵该特征根有几重这样的p就有几个这几个p要求线性无关一共有n个p从而构成一个方阵P且线性无关那么就非奇异有逆D P-1AP。 秩一矩阵行向量乘以列向量。幂等矩阵投影矩阵AAA由于P-1PE则P的行向量乘以P-1的列向量将得到一个幂等矩阵。幂等矩阵的秩可以是小于n的任何一个数0矩阵也是一种幂等矩阵特征值非零即1可对角化。秩一矩阵要么是幂等矩阵要么是幂等矩阵乘以一个缩放因子即AAkA。
2正规矩阵满足AHAAAH。正规矩阵一定是单纯矩阵。 分解步骤此处的P是一个酉矩阵。 相似对角化P列分块P-1行分块分块矩阵乘法。 正规矩阵谱分解成了一系列的正交投影的加权和。 正交投影幂等矩阵并且是Hermite阵。 如果A为上三角矩阵则A是正规矩阵的充要条件是A为对角矩阵 如果A为块上三角矩阵则A是正规矩阵的充要条件是A为块对角矩阵且对角块为正规矩阵。 tr(AAH)tr(AHA)A的矩阵二范数
3、最大秩分解
最大秩分解任意矩阵AABDB是一个列满秩矩阵D是一个行满秩矩阵三个矩阵的秩相等。分解方法 A化为行简化阶梯形A_wA_w的非0列对应于A中的列构成BA_w的非0行对应于A_w的行构成D 列满秩矩阵A是mxn的矩阵若mn则rank(A)nnullity(A)n 秩零度定理rank(A) nullity(A) nnullity(A)等于Ax0的解空间维数。如果rank(A)n那么nullity(A)0即Ax0的解空间为零空间。列满秩矩阵构成的齐次线性方程组只有零解。
4、奇异值分解
三角分解 A U ∣ L 0 0 0 ∣ V AU\begin{vmatrix}L0\\00\end{vmatrix}V AU L000 V
其中L是一个r阶正线下三角矩阵。
为了进一步简化发展出奇异值分解 A U ∣ D 0 0 0 ∣ V AU\begin{vmatrix}D0\\00\end{vmatrix}V AU D000 V。
其中D是一个r阶正线对角矩阵。
分解步骤 求AHA的特征值从而求出正奇异值 σ i λ i \sigma_i \sqrt{\lambda_i} σiλi 。由于是正规矩阵因此可以将每个特征根对应的特征子空间的基抽出来构成一个n阶酉矩阵 V ∣ V 1 V 2 ∣ V \begin{vmatrix}V1\\V2 \end{vmatrix} V V1V2 。 A H A V H ∣ D H D 0 0 0 ∣ V A^HAV^H\begin{vmatrix}D^HD0\\00\end{vmatrix}V AHAVH DHD000 V D H D d i a g { λ 1 , λ 2 , . . . , λ r } D^HDdiag\{{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r}\} DHDdiag{λ1,λ2,...,λr}Ddiag{1,2,…,r}|i| i 0; D的取法不唯一i是一个复数模长为i相位任意。U (U1, U2)U1 AV1HD-1;U2是U1的正交补U2HU10。U1Hx0求出基础解系U1和基础解系一起作施密特正交化即得U。UHAVH ∣ D 0 0 0 ∣ \begin{vmatrix}D0\\00\end{vmatrix} D000 ;A U ∣ D 0 0 0 ∣ V U\begin{vmatrix}D0\\00\end{vmatrix}V U D000 V (AHA)H AHA因此AHA是n阶正规矩阵正规矩阵可以谱分解成一系列正交投影的加权和正规矩阵是半正定矩阵。正交补的求法W2是W1的正交补。 根据秩零度定理rank(A)N(A)nA的极大无关列向量组可张成rank(A)维的空间W1令Ax0求出基础解系基础解系可张成解空间W2W1⨁W2V(Cn)
