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1、定义 一个数学概念#xff0c;主要用于 线性代数中#xff0c;它是一个可以从方阵#xff08;即行数和列数相等的矩阵#xff09;形成的一个标量#xff08;即一个单一的数值#xff09;
2、二阶行列式 #xff0c;像这样将一个式子收缩称为一个 2*2 的…一、行列式
1、定义 一个数学概念主要用于 线性代数中它是一个可以从方阵即行数和列数相等的矩阵形成的一个标量即一个单一的数值
2、二阶行列式 像这样将一个式子收缩称为一个 2*2 的表达形式 二阶行列式计算对角线法左上到右下主对角线减去右上到左下副对角线
3、三阶行列式 对角线法则计算
4、n阶行列式
4.1、排列 从一组元素中选出若干个元素并按照一定的顺序排列起来。对于一个包含 n 个元素的集合其所有元素的全排列数目是 n!即 n 的阶乘
4.2、逆序 如果一个较大的数排在一个较小的数前面则称这两个数构成一个逆序逆序的总数称为逆序数逆序数可以帮助我们理解排列的“混乱”程度。
例如在排列 (3,1,4,2) 中逆序有 3 和 1 构成一个逆序、3 和 2 构成一个逆序、4 和 2 构成一个逆序这个排列的逆序数是 3逆序的表示符号为N或者为τ(读作涛)
4.3、奇排列和偶排列 如果一个排列的逆序数是奇数则称该排列为奇排列如果是偶数则称该排列为偶排列。
例如N(1432) 3则 (1432) 为奇排列N(4321)6则 (4321) 为偶排列。
4.4、对换 排列中的任意两个元素进行交换称为对换会改变排列的奇偶性。例如N(651243) 10为偶排列将5和1兑换则 N(615243) 9为奇排列。
4.5、行列式展开 按行展开 3阶行列式按行展开后为6项每项为3个不同行不同列的3个元素相乘aij元素的行标i都是123的自然排列aij元素列标j则为123、231、312、321、213、132总数为3!6保证 按照行顺序进行则逆序数就可用列顺序排列即可
分别计算列标排列的逆序数
N(123) 0 偶数
N(231) 1 1 2 偶数
N(312) 2 偶数
N(321) 2 1 3 奇数
N(213) 1 奇数
N(132) 1 奇数
通过观察公式可以看出逆序数为偶数的排列的运算符号为为奇数的排列的运算符号为-
总结
1.行标取自然排列一般以第一行为准按照从左到右依次排队
2.不同行不同列的3个元素相乘 第一行取了第一列的数据那么第二行的数据只能从第二列或第三列获取
3.列标取排列的所有可能 第一行取了第一列的数据那么就产生两种数据 或者同理类推在第一个确定的情况后面只会有两种排列
4.列标排列的逆序数的奇偶性决定运算符号逆序数为偶数的运算符号为奇数的运算符号为-
那么得到n阶行列式的表达式为
也就是挨个列举第一行的值乘上排列得到值的累加之和使用逆序数来判断符号。
例如
按列展开 同按行展开列标按顺序获取列举所有可能行标判断行标的逆序数将所有可能值相机得到最终结果 4.6、特殊n阶行列式 行列式某一行(列)全为0则行列式为0 三角形行列式等于对角线元素的乘积逆序数判断正负号 主对角线为正、副对角线为负
二、行列式性质
1、行列式的转置等于行列式本身
2、交换行列式的两行任意行列会导致行列式的值变为其原来的相反数
3、行列式两行(列)相等则行列式为0
4、用k乘以行列式某一行的所有元素等于用k乘以行列式
5、如果一个行列式的两行或两列对应成比例那么这个行列式的值必定为零。与3类似
6、如果一个行列式的某一行或某一列是两个数之和那么这个行列式可以表示为两个行列式的和 det(A)det(B)det(C)
7、将行列式的某一行(列)乘以一个数加到另一行(列)上行列式的值保持不变。切记归根结底是行列式的行相加或者列相加不是行乘外来数值赋值到本行列式
三、行列式扩展
1、代数余子式 余子式 给定一个 n×n的矩阵 A其第 i 行第j 列的元素 aij的余子式 Mij是指去掉第i行和第j列后得到的 (n−1)×(n−1) 子矩阵的行列式余子式的一个重要应用是计算行列式的值行列式 det(A)等于任意一行或一列的元素与其对应的余子式的乘积(代数余子式)的累计之和。 代数余子式 给定一个 n×n 的矩阵 A其第i行第j列的元素 aij 的代数余子式 Cij定义为 ⋅
例如对于一个 3×3的矩阵
元素 a11的代数余子式 C11 * 拉普拉斯展开定理 行列式等于它的某一行元素与其代数余子式的乘积之和 det(A)
2、克莱姆法则 假设有一个由 n 个线性方程组成的n 元线性方程组如下可以将方程组写成 AXB不存在部分系数等于0
