直播网站的建设,您提供的产品已经提交过网站备案,深圳电商网站开发,建筑企业资质怎么查文章目录 抽样分布几个重要分布 Γ \Gamma Γ 分布 β \beta β 分布 χ 2 \chi^2 χ2 分布 t t t 分布 F F F 分布 分位数 参考文献 抽样分布
所谓抽样分布是指统计量的概率分布。确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一。
几个重要分布 Γ \Gamma Γ 分布 若随机变量 … 文章目录 抽样分布几个重要分布 Γ \Gamma Γ 分布 β \beta β 分布 χ 2 \chi^2 χ2 分布 t t t 分布 F F F 分布 分位数 参考文献 抽样分布
所谓抽样分布是指统计量的概率分布。确定统计量的分布是数理统计学的基本问题之一。
几个重要分布 Γ \Gamma Γ 分布 若随机变量 X X X 具有概率密度 f ( x ; α , λ ) { λ α Γ ( α ) x α − 1 e − λ x , x 0 0 , x ≤ 0 f(x;\alpha,\lambda)\begin{cases} \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}, x0 \\ 0, x\le0 \end{cases} f(x;α,λ){Γ(α)λαxα−1e−λx,0,x0x≤0则称 X X X 服从参数为 α 、 λ \alpha、\lambda α、λ 的 Γ \Gamma Γ 分布记为 X ∼ Γ ( α , λ ) X\sim \Gamma(\alpha, \lambda) X∼Γ(α,λ)其中 α 0 , λ 0 \alpha 0,\lambda 0 α0,λ0 为参数。 Γ \Gamma Γ 分布具有下列性质
若 X ∼ Γ ( α , λ ) X\sim \Gamma(\alpha, \lambda) X∼Γ(α,λ)则 E ( X ) α / λ , D ( x ) α / λ 2 . E(X)\alpha/\lambda, D(x)\alpha/\lambda^2. E(X)α/λ,D(x)α/λ2.可加性。若 X i ∼ Γ ( α i , λ ) , i 1 , . . . , n X_i\sim \Gamma(\alpha_i, \lambda),i1,...,n Xi∼Γ(αi,λ),i1,...,n且 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 相互独立则 X 1 . . . X n ∼ Γ ( α 1 . . . α n , λ ) X_1...X_n\sim\Gamma(\alpha_1...\alpha_n,\lambda) X1...Xn∼Γ(α1...αn,λ)在 Γ \Gamma Γ 分布中取 α 1 \alpha1 α1即得指数分布 Exp ( λ ) \text{Exp}(\lambda) Exp(λ) f ( x ; λ ) { λ e − λ x , x 0 0 , x ≤ 0 f(x;\lambda)\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, x0 \\ 0, x\le0 \end{cases} f(x;λ){λe−λx,0,x0x≤0 由此可得性质 2 的一个推论若 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 为 i.i.d. \text{i.i.d.} i.i.d.且 X 1 ∼ Exp ( λ ) X_1\sim \text{Exp}(\lambda) X1∼Exp(λ)则 ∑ i 1 n X i ∼ Γ ( n , λ ) \sum_{i1}^nX_i \sim \Gamma(n,\lambda) i1∑nXi∼Γ(n,λ) β \beta β 分布 若随机变量 X X X 具有概率密度 f ( x ; a , b ) { x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 B ( a , b ) , 0 x 1 0 , 其他 f(x;a,b)\begin{cases} \frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}, 0x1 \\ 0, 其他 \end{cases} f(x;a,b){B(a,b)xa−1(1−x)b−1,0,0x1其他则称 X X X 服从参数为 a 、 b a、b a、b 的 β \beta β 分布记为 X ∼ β ( a , b ) X\sim \beta(a,b) X∼β(a,b)其中 a 0 , b 0 a 0,b 0 a0,b0 为参数 B ( a , b ) B(a,b) B(a,b) 为 β \beta β 函数。 β \beta β 分布具有下列性质
若 X ∼ β ( a , b ) X\sim \beta(a,b) X∼β(a,b)则 E ( X ) a a b , D ( X ) a b ( a b ) 2 ( a b 1 ) E(X)\frac{a}{ab},D(X)\frac{ab}{(ab)^2(ab1)} E(X)aba,D(X)(ab)2(ab1)ab若 X ∼ Γ ( a , 1 ) , Y ∼ Γ ( b , 1 ) X\sim \Gamma(a,1),Y\sim \Gamma(b,1) X∼Γ(a,1),Y∼Γ(b,1)且 X , Y X,Y X,Y 相互独立则 Z X X Y ∼ β ( a , b ) Z\frac{X}{XY}\sim \beta(a,b) ZXYX∼β(a,b) χ 2 \chi^2 χ2 分布 若随机变量 X X X 具有概率密度 χ 2 ( x ; n ) { x n / 2 − 1 e − x / 2 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) , x 0 0 , x ≤ 0 \chi^2(x;n)\begin{cases} \frac{x^{n/2-1}e^{-x/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}, x0 \\ 0, x\le0 \end{cases} χ2(x;n){2n/2Γ(n/2)xn/2−1e−x/2,0,x0x≤0 则称 X X X 服从自由度为 n n n 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布记为 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n)。 χ 2 \chi^2 χ2 分布具有下列性质
若 X ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(n) X∼χ2(n)则 E ( X ) n , D ( X ) 2 n E(X)n,D(X)2n E(X)n,D(X)2n可加性。若 X i ∼ χ 2 ( n i ) , i 1 , . . . , k X_i \sim \chi^2(n_i),i1,...,k Xi∼χ2(ni),i1,...,k且 X 1 , . . . , X k X_1,...,X_k X1,...,Xk 相互独立则 X 1 . . . X n ∼ χ 2 ( n 1 . . . n k ) X_1...X_n\sim \chi^2(n_1...n_k) X1...Xn∼χ2(n1...nk)
设随机变量 X 1 , . . . , X n X_1,...,X_n X1,...,Xn 相互独立且都服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)则随机变量 χ 2 ∑ i 1 n X i 2 \chi^2\sum_{i1}^n X_i^2 χ2∑i1nXi2 服从自由度为 n n n 的 χ 2 \chi^2 χ2 分布。 t t t 分布 t t t 分布又称学生分布随机变量 T T T 服从自由度为 n n n 的 t t t 分布记为 T ∼ t ( n ) T\sim t(n) T∼t(n)。 t t t 分布的概率密度关于 x 0 x0 x0 对称并且当 ∣ x ∣ → ∞ |x|\to \infty ∣x∣→∞ 时单调下降地趋于 0且当自由度 n → ∞ n\to \infty n→∞ 时自由度为 n n n 的 t t t 分布收敛于标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)。
若 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(0,1),Y\sim \chi^2(n) X∼N(0,1),Y∼χ2(n)且 X X X 与 Y Y Y相互独立则 T X Y / n ∼ t ( n ) T\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) TY/n X∼t(n) F F F 分布
随机变量 F F F 服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1,n_2) (n1,n2) 的 F F F 分布记为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2)。
若 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2) X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2)且 X X X 与 Y Y Y相互独立则 F X / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\frac{X/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1,n_2) FY/n2X/n1∼F(n1,n2)
在上述定理的条件下若 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F\sim F(n_1,n_2) F∼F(n1,n2)则 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) \frac{1}{F} \sim F(n_2,n_1) F1∼F(n2,n1)。 分位数 设随机变量 X X X 的分布函数为 F ( x ) P ( X ≤ x ) F(x)P(X\le x) F(x)P(X≤x)对于 0 p 1 0p1 0p1若有 x p x_p xp 满足 P ( X ≤ x p ) F ( x p ) p P(X\le x_p)F(x_p)p P(X≤xp)F(xp)p 则称 x p x_p xp 为分布 F ( x ) F(x) F(x) 或随机变量 X X X的下侧 p p p 分位数对于 0 α 1 0\alpha 1 0α1若有 y α y_\alpha yα 满足 P ( X y α ) 1 − F ( y α ) α P(Xy_\alpha)1-F(y_\alpha)\alpha P(Xyα)1−F(yα)α 则称 y α y_\alpha yα 为分布 F ( x ) F(x) F(x) 或随机变量 X X X的上侧 α \alpha α 分位数。 由定义可知 y α x 1 − α ; x p y 1 − p y_\alphax_{1-\alpha}; x_py_{1-p} yαx1−α;xpy1−p。
由 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1) 分布及 t t t 分布的对称性可知 u 1 − α − u α , t 1 − α ( n ) − t α ( n ) u_{1-\alpha}-u_\alpha,t_{1-\alpha}(n)-t_\alpha(n) u1−α−uα,t1−α(n)−tα(n) F α ( n 1 , n 2 ) 1 F 1 − α ( n 2 , n 1 ) F_\alpha(n_1,n_2)\frac{1}{F_{1-\alpha}(n_2,n_1)} Fα(n1,n2)F1−α(n2,n1)1
参考文献
[1] 《应用数理统计》施雨西安交通大学出版社。
