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本章特征值和特征向量的概念只在方阵的范畴内探讨。
相似矩阵 Grant#xff1a;线性变换对应的矩阵依赖于所选择的基。 一般情况下#xff0c;同一个线性变换在不同基下的矩阵不同。仍然以平面线性变换为例#xff0c;Grant 选用标准坐标系下的基向量 i…特征值和特征向量
本章特征值和特征向量的概念只在方阵的范畴内探讨。
相似矩阵 Grant线性变换对应的矩阵依赖于所选择的基。 一般情况下同一个线性变换在不同基下的矩阵不同。仍然以平面线性变换为例Grant 选用标准坐标系下的基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 线性变换 T T T 对应的矩阵为 A A A 而 Jennifer 使用另外一组基向量 i ′ , j ′ \mathbf i,\mathbf j i′,j′ 。
我们已经知道矩阵 A A A 是追踪基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 变换后的位置得到的同样的线性变换在 i ′ , j ′ \mathbf i,\mathbf j i′,j′ 下的表示也需要追踪基向量 i ′ , j ′ \mathbf i,\mathbf j i′,j′ 变换后的位置。具体过程如下
对于 Jennifer 视角下的向量 v [ x ′ y ′ ] \mathbf v\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} v[x′y′]
同样的向量用 Grant 的坐标系表示的坐标为 P [ x ′ y ′ ] P\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} P[x′y′] 其中 P P P 为基变换矩阵用 Grant 的语言描述变换后的向量 A P [ x ′ y ′ ] AP\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} AP[x′y′]将变换后的结果变回 Jennifer 的坐标系 P − 1 A P [ x ′ y ′ ] P^{-1}AP\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} P−1AP[x′y′]
于是我们得到同一个线性变换 T T T 在 Jennifer 的坐标系下对应的矩阵为 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 。
这个结果暗示着数学上的转移作用中间的矩阵 A A A 代表 Grant 坐标系下所见到的变换 P P P 和 P − 1 P^{-1} P−1 两个矩阵代表着转移作用(基变换矩阵)也就是在不同坐标系之间进行转换实际上也是视角上的转化。 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 仍然代表同一个变换只不过是从别的坐标系的角度来看。
下面给出严格的数学证明。在线性空间 V V V 中取两组基基变换公式为 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) P (\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)P (b1,b2,⋯,bn)(a1,a2,⋯,an)P 。
设线性变换 T T T 在这两组基下的矩阵分别为 A A A 和 B B B 。那么 T ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A T ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) B T(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)A \\ T(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)B T(a1,a2,⋯,an)(a1,a2,⋯,an)AT(b1,b2,⋯,bn)(b1,b2,⋯,bn)B 取向量 v ∈ V \mathbf v\in V v∈V 在两组基下的坐标向量分别为 x , x ′ \mathbf x,\mathbf x x,x′根据坐标变换公式有 x P x ′ \mathbf xP\mathbf x xPx′ T ( v ) ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) B x ′ ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A x ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) P − 1 A P x ′ \begin{aligned} T(\mathbf v)(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)B\mathbf x\\ (\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)A\mathbf x \\ (\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)P^{-1}AP\mathbf x \end{aligned} T(v)(b1,b2,⋯,bn)Bx′(a1,a2,⋯,an)Ax(b1,b2,⋯,bn)P−1APx′ 因为 b 1 , b 2 , ⋯ , b n \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n b1,b2,⋯,bn 线性无关所以 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP
因此 B B B 和 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 表示同一种线性变换在不同基向量下的表示。
相似矩阵设 A , B A,B A,B 都是 n n n 阶矩阵若有 n n n 阶可逆矩阵 P P P 使 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP 则称矩阵 A A A 与 B B B 相似(similar)记作 A ∼ B A\sim B A∼B。
用初等行变换计算相似矩阵计算相似矩阵 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP 的一种有效方法是先计算 A P AP AP 然后用行变换将增广矩阵 ( P ∣ A P ) (P\mid AP) (P∣AP) 化为 ( I ∣ P − 1 A P ) (I\mid P^{-1}AP) (I∣P−1AP)这样就不需要单独计算 P − 1 P^{-1} P−1了 。
特征值与特征向量 Grant行列式告诉你一个变换对面积的缩放比例特征向量则是在变换中保留在他所张成的空间中的向量这两者都是暗含于空间中的性质坐标系的选择并不会改变他们最根本的值。 我们已经知道对角阵对于矩阵运算来说最为简单。若线性变换 T T T 在一组基下的矩阵为 A A A为便于应用自然考虑是否存在对角阵 Λ \Lambda Λ 和矩阵 A A A 相似从而使用这种最简单的形式计算线性变换。
假设有对角阵 Λ ∼ A \Lambda\sim A Λ∼A即存在可逆矩阵 P P P 使得 P − 1 A P Λ diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) P^{-1}AP\Lambda\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) P−1APΛdiag(λ1,λ2,⋯,λn) 将矩阵 P P P 按列分块 P ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) P(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_n) P(x1,x2,⋯,xn) 则上式等价于 A ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) Λ A(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_n)(\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_n)\Lambda A(x1,x2,⋯,xn)(x1,x2,⋯,xn)Λ 按分块矩阵的乘法上式可写成 A x 1 λ 1 x 1 A x 2 λ 1 x 2 ⋯ A x n λ n x n A\mathbf x_1\lambda_1\mathbf x_1\\ A\mathbf x_2\lambda_1\mathbf x_2\\ \cdots\\ A\mathbf x_n\lambda_n\mathbf x_n Ax1λ1x1Ax2λ1x2⋯Axnλnxn 根据假定 P P P 可逆其列向量非零因此我们希望找到符合条件的 λ j , x j \lambda_j,\mathbf x_j λj,xj。
定义对于矩阵 A A A 如果存在数 λ \lambda λ 和非零向量 u \mathbf u u使得 A u λ u A\mathbf u\lambda\mathbf u Auλu
则称 λ \lambda λ 是矩阵 A A A 的一个特征值eigenvalue u \mathbf u u 是特征值 λ \lambda λ 的一个特征向量eigenvector。 (1) 特征向量必须是非零向量 (2) 特征值和特征向量是相伴出现的。 事实上对于任意非零常数 c c c c u c\mathbf u cu 都是特征值 λ \lambda λ 的特征向量这是因为 if A u λ u , then A ( c u ) λ ( c u ) \text{if }A\mathbf u\lambda\mathbf u,\text{ then }A(c\mathbf u)\lambda (c\mathbf u) if Auλu, then A(cu)λ(cu) 由于矩阵和线性变换是一一对应的我们可以借助几何直观理解这个定义。
特征向量在变换过程中只受到拉伸或者压缩特征值描述对应特征向量经过线性变换后的缩放程度 对于三维空间中的旋转如果能够找到对应的特征向量也即能够留在它所张成的空间中的向量那么就意味着我们找到了旋转轴。特别地这就意味着将一个三维旋转看成绕这个特征向量旋转一定角度要比考虑相应的矩阵变换要直观。此时对应的特征值为1因为旋转并不改变任何一个向量所以向量的长度保持不变。 由定义知道求解特征向量就是寻找非零向量 u \mathbf u u 使得 ( A − λ I ) u 0 (A-\lambda I)\mathbf u0 (A−λI)u0
显然 u 0 \mathbf u0 u0 时恒成立但是我们要寻找的是非零解。 齐次矩阵方程有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零即 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0 也就是系数矩阵所代表的线性变换将空间压缩到更低的维度。上式称为矩阵 A A A 的特征方程(characteristic equation)。矩阵 A A A 的特征值就是它的特征方程的根。
多项式 f ( λ ) det ( A − λ I ) f(\lambda)\det(A-\lambda I) f(λ)det(A−λI) 称为矩阵 A A A 的特征多项式(characteristic polynomial)。
由上面的讨论可以得出求 n n n阶矩阵 A A A的特征值与特征向量的简要步骤
求出 A A A 的特征多项式即计算 n n n阶行列式 det ( A − λ I ) \det(A-\lambda I) det(A−λI)求解特征方程 det ( A − λ I ) 0 \det(A-\lambda I)0 det(A−λI)0 得到 n n n个根即为 A A A的 n n n 个特征值对求得的每个特征值 λ i \lambda_i λi 分别带入 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\mathbf x0 (A−λI)x0 求其非零解便是对应的特征向量。
示例求矩阵 A [ 1 2 3 2 ] A\begin{bmatrix}12\\32\end{bmatrix} A[1322] 的特征值和特征向量。
解 A A A 的特征多项式为 det ( A − λ I ) ∣ 1 − λ 2 3 2 − λ ∣ λ 2 − 3 λ − 4 ( λ − 4 ) ( λ 1 ) \begin{aligned}\det(A-\lambda I)\begin{vmatrix}1-\lambda2\\32-\lambda\end{vmatrix} \\ \lambda^2-3\lambda-4(\lambda-4)(\lambda1) \end{aligned} det(A−λI) 1−λ322−λ λ2−3λ−4(λ−4)(λ1) 因此 A A A 的特征值为 λ 1 4 , λ 2 − 1 \lambda_14,\lambda_2-1 λ14,λ2−1。
将 λ 1 4 \lambda_14 λ14 带入矩阵方程 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\mathbf x0 (A−λI)x0 有 [ − 3 2 3 − 2 ] [ x 1 x 2 ] 0 [ − 3 2 3 − 2 ] → [ 3 − 2 0 0 ] \begin{bmatrix}-32\\3-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}0 \\ \begin{bmatrix}-32\\3-2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}3-2\\00\end{bmatrix} [−332−2][x1x2]0[−332−2]→[30−20] 求得特征值 λ 1 4 \lambda_14 λ14 对应的一个特征向量 u 1 c [ 2 3 ] \mathbf u_1c\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} u1c[23]
将 λ 1 − 1 \lambda_1-1 λ1−1 带入矩阵方程 ( A − λ I ) x 0 (A-\lambda I)\mathbf x0 (A−λI)x0 有 [ 2 2 3 3 ] [ x 1 x 2 ] 0 [ 2 2 3 3 ] → [ 1 1 0 0 ] \begin{bmatrix}22\\33\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}0 \\ \begin{bmatrix}22\\33\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}11\\00\end{bmatrix} [2323][x1x2]0[2323]→[1010] 求得特征值 λ 2 − 1 \lambda_2-1 λ2−1 对应的特征向量 u 2 c [ − 1 1 ] \mathbf u_2c\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} u2c[−11]
性质
相似矩阵(同样的线性变换)有相同的特征多项式从而有相同的特征值矩阵 A A A 与其转置矩阵 A T A^T AT 有相同的特征值属于矩阵不同特征值的特征向量线性无关矩阵的所有特征值之和等于其主对角线元素之和(矩阵的迹)矩阵的所有特征值之积等于矩阵的行列式三角阵的特征值是其主对角线元素矩阵乘积 A B AB AB 和 B A BA BA 具有相同的非零特征值
证明(性质1)设 A ∼ B A\sim B A∼B即 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP 于是 det ( B − λ I ) det ( P − 1 ( A − λ I ) P ) det ( P − 1 ) det ( A − λ I ) det ( P ) det ( A − λ I ) \begin{aligned} \det(B-\lambda I)\det(P^{-1}(A-\lambda I)P) \\ \det(P^{-1})\det(A-\lambda I)\det(P) \\ \det(A-\lambda I) \\ \end{aligned} det(B−λI)det(P−1(A−λI)P)det(P−1)det(A−λI)det(P)det(A−λI) 故 A A A 与 B B B 有相同的特征多项式从而有相同的特征值
(性质4)设 n n n阶矩阵 A A A 的特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn。由于矩阵的特征值就是其特征方程的根从而 f ( λ ) det ( A − λ I ) ( λ 1 − λ ) ( λ 2 − λ ) ⋯ ( λ n − λ ) f(\lambda)\det(A-\lambda I)(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda) f(λ)det(A−λI)(λ1−λ)(λ2−λ)⋯(λn−λ) 上式取 λ 0 \lambda0 λ0 有 f ( 0 ) det A λ 1 λ 2 ⋯ λ n f(0)\det A\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n f(0)detAλ1λ2⋯λn
(性质7)假设矩阵 A A A 与 B B B 分别是 m × n m\times n m×n 与 n × m n\times m n×m 矩阵。
证法1设 λ \lambda λ 是 A B AB AB 的任一非零特征值 u \mathbf u u 是这一特征值的特征向量则 ( A B ) u λ u (AB)\mathbf u\lambda\mathbf u (AB)uλu 等式两边同时左乘 B B B 有 ( B A ) ( B u ) λ ( B u ) (BA)(B\mathbf u)\lambda(B\mathbf u) (BA)(Bu)λ(Bu)
又由于 A B u λ u ≠ 0 AB\mathbf u\lambda\mathbf u\neq0 ABuλu0 可知 B u ≠ 0 B\mathbf u\neq 0 Bu0 。所以 B u B\mathbf u Bu 是 B A BA BA 关于特征值 λ \lambda λ 的特征向量。这也证明了 λ \lambda λ 也是 B A BA BA 的特征值。
同理可证 B A BA BA 的非零特征值也是 A B AB AB 的特征值。这就证明了 A B AB AB 和 B A BA BA 具有相同的非零特征值。
证法2易知 [ I m − A O I n ] [ A B O B O ] [ I m A O I n ] [ O O B A B ] \begin{bmatrix}I_m-A\\OI_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}ABO\\BO\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_mA\\OI_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}OO\\BAB\end{bmatrix} [ImO−AIn][ABBOO][ImOAIn][OBOAB]
又由于 [ I m − A O I n ] [ I m A O I n ] I m n \begin{bmatrix}I_m-A\\OI_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_mA\\OI_n\end{bmatrix} I_{mn} [ImO−AIn][ImOAIn]Imn
可知 [ A B O B O ] ∼ [ O O B B A ] \begin{bmatrix}ABO\\BO\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix}OO\\BBA\end{bmatrix} [ABBOO]∼[OBOBA]
它们有相同的特征多项式即 λ n det ( λ I m − A B ) λ m det ( λ I n − B A ) \lambda^n\det(\lambda I_m-AB)\lambda^m\det(\lambda I_n-BA) λndet(λIm−AB)λmdet(λIn−BA)
上式称为Sylvester降幂公式。这里表明 A B AB AB 和 B A BA BA 的只相差了个 m − n m-n m−n 个零特征值其余非零特征值相同。
特征基与对角化
由上节知道特征值和特征向量定义的初衷是为了线性变换的相似对角化即 P − 1 A P Λ P^{-1}AP\Lambda P−1APΛ 由定义的推理知道矩阵 A A A 的每个特征向量就是 P P P 的一个列向量而 P P P 是矩阵 A A A 的基向量到对角阵 Λ \Lambda Λ 基向量的过渡矩阵。过渡矩阵 P P P 也可看作对角阵 Λ \Lambda Λ 的基向量组在矩阵 A A A 基向量下的坐标所以对基向量的限制条件也适用于特征向量组。
定理矩阵 A n A_n An 可以相似对角化的充要条件是 A n A_n An 有 n n n 个线性无关的特征向量。此时对角元素就是对应的特征值。
设矩阵 A A A的特征值与特征向量对应关系 A u 1 λ 1 u 1 , A u 2 λ 2 u 2 A\mathbf u_1\lambda_1\mathbf u_1,\quad A\mathbf u_2\lambda_2\mathbf u_2 Au1λ1u1,Au2λ2u2 令 P [ u 1 , u 2 ] P[\mathbf u_1,\mathbf u_2] P[u1,u2] A P [ λ 1 u 1 , λ 2 u 2 ] [ u 1 , u 2 ] [ λ 1 0 0 λ 2 ] P Λ AP[\lambda_1\mathbf u_1,\lambda_2\mathbf u_2] [\mathbf u_1,\mathbf u_2] \begin{bmatrix} \lambda_10 \\ 0\lambda_2 \end{bmatrix} P\Lambda \\ AP[λ1u1,λ2u2][u1,u2][λ100λ2]PΛ
若 P P P 可逆即 u 1 , u 2 \mathbf u_1,\mathbf u_2 u1,u2 线性无关则 Λ P − 1 A P [ λ 1 0 0 λ 2 ] \LambdaP^{-1}AP\begin{bmatrix} \lambda_10 \\ 0\lambda_2 \end{bmatrix} ΛP−1AP[λ100λ2]
当特征向量的数量足够多时这些特征向量就可以构成特征基(eigenbasis)。在特征基坐标系角度看同一个线性变换只是伸缩变换(对角阵)。 特征基的坐标使用的是矩阵 A A A 的基向量。 例尝试将下列矩阵对角化 A [ 1 3 3 − 3 − 5 − 3 3 3 1 ] A\begin{bmatrix} 133 \\ -3-5-3 \\ 331 \end{bmatrix} A 1−333−533−31 解对角化工作可分为4步来完成
step 1求出特征值。矩阵 A A A 的特征方程为 det ( A − λ I ) − ( λ − 1 ) ( λ 2 ) 2 \det(A-\lambda I)-(\lambda-1)(\lambda2)^2 det(A−λI)−(λ−1)(λ2)2 特征值是 λ 1 \lambda1 λ1 和 λ − 2 \lambda-2 λ−2
step 2求出线性无关的特征向量。对于 λ 1 \lambda1 λ1 的特征向量 u 1 ( 1 , − 1 , 1 ) T \mathbf u_1(1,-1,1)^T u1(1,−1,1)T
对于 λ − 2 \lambda-2 λ−2 的特征向量 u 2 ( − 1 , 1 , 0 ) T \mathbf u_2(-1,1,0)^T u2(−1,1,0)T 和 u 3 ( − 1 , 0 , 1 ) T \mathbf u_3(-1,0,1)^T u3(−1,0,1)T
可以验证 u 1 , u 2 , u 3 \mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3 u1,u2,u3 是线性无关的。
step 3使用特征向量构造过渡矩阵(向量的次序不重要) P [ 1 − 1 − 1 − 1 1 0 1 0 1 ] P\begin{bmatrix} 1-1-1 \\ -110 \\ 101 \end{bmatrix} P 1−11−110−101 step 4使用对应的特征值构造对角阵(特征值的次序必须和矩阵 P P P的列选择的特征向量的次序一致) Λ [ 1 0 0 0 − 2 0 0 0 − 2 ] \Lambda\begin{bmatrix} 100 \\ 0-20 \\ 00-2 \end{bmatrix} Λ 1000−2000−2 可简单验证 A P P Λ APP\Lambda APPΛ这等价于验证当 P P P 可逆时 Λ P − 1 A P \LambdaP^{-1}AP ΛP−1AP 。
一些常见变换的特征值与特征向量列举如下
(1) 等比例缩放变换 [ k 0 0 k ] \begin{bmatrix}k 0\\0 k\end{bmatrix} [k00k] 的特征多项式为 ( λ − k ) 2 (\lambda-k)^2 (λ−k)2 有两个相等的特征值 λ k \lambdak λk 但平面内任意非零向量都属于这个特征值的特征向量。
(2) 普通缩放变换 [ k 1 0 0 k 2 ] \begin{bmatrix}k_1 0\\0 k_2\end{bmatrix} [k100k2] 的特征多项式为 ( λ − k 1 ) ( λ − k 2 ) (\lambda-k_1)(\lambda-k_2) (λ−k1)(λ−k2) 有两个特征值 λ 1 k 1 , λ 2 k 2 \lambda_1k_1,\lambda_2k_2 λ1k1,λ2k2 特征向量分别为 u 1 [ 1 0 ] , u 2 [ 0 1 ] \mathbf u_1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\mathbf u_2\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} u1[10],u2[01]。
(3) 旋转变换 [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \begin{bmatrix}\cos\theta -\sin\theta\\ \sin\theta \cos\theta\end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ] 的特征多项式为 λ 2 2 λ cos θ 1 \lambda^22\lambda\cos\theta1 λ22λcosθ1 有两个复特征值 λ 1 cos θ i sin θ , λ 2 cos θ − i sin θ \lambda_1\cos\thetai\sin\theta,\lambda_2\cos\theta-i\sin\theta λ1cosθisinθ,λ2cosθ−isinθ 对应两个复特征向量 u 1 [ 1 − i ] , u 2 [ 1 i ] \mathbf u_1\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix},\mathbf u_2\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} u1[1−i],u2[1i]。
值得注意的是特征值出现虚数的情况一般对应于变换中的某一种旋转。
(4) 水平剪切变换 [ 1 k 0 1 ] \begin{bmatrix}1 k\\0 1\end{bmatrix} [10k1] 的特征多项式为 ( λ − 1 ) 2 (\lambda-1)^2 (λ−1)2 有两个相等的特征值 λ 1 \lambda1 λ1 只有一个特征向量 u 1 [ 1 0 ] \mathbf u_1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} u1[10] 不能张成整个平面。
特征向量的应用
许多实际问题都可归结为研究矩阵的方幂 A n ( n ∈ N ∗ ) A^n\quad (n\in\N^*) An(n∈N∗) 乘以向量 v \mathbf v v 不难想象当方幂很大时直接用矩阵的乘法、矩阵与向量的乘法进行计算会非常麻烦。而矩阵的特征值和特征向量矩阵对幂运算十分友好因此在数学和实际问题中有着广泛的应用。
性质 设矩阵 A A A 特征值 λ \lambda λ 的特征向量为 u \mathbf u u则用数学归纳法可以得到 A n u λ n u A^n\mathbf u\lambda^n\mathbf u Anuλnu 设矩阵 A A A 特征值 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2 的特征向量分别为 u 1 , u 2 \mathbf u_1,\mathbf u_2 u1,u2。对于任意向量 v \mathbf v v 可以用特征向量线性表示 v v 1 u 1 v 2 u 2 \mathbf vv_1\mathbf u_1v_2\mathbf u_2 vv1u1v2u2 。那么用数学归纳法可以得到 A n v v 1 λ 1 n u 1 v 2 λ 2 n u 2 A^n\mathbf vv_1\lambda_1^n\mathbf u_1v_2\lambda_2^n\mathbf u_2 Anvv1λ1nu1v2λ2nu2
证明从线性变换的角度理解性质1中矩阵 A A A 只是对特征向量做伸缩变换因此矩阵幂的效果等价于特征值(缩放比例)的幂。性质2中矩阵的幂变换等同于切换到特征基中做了同等次数的伸缩变换。
性质1用数学归纳法证明 (1) 当 n 1 n1 n1 时 A u λ u A\mathbf u\lambda\mathbf u Auλu (2) 假设当 n k − 1 nk-1 nk−1 时成立即 A k − 1 u λ k − 1 u A^{k-1}\mathbf u\lambda^{k-1}\mathbf u Ak−1uλk−1u 当 n k nk nk 时因为 A k u A ( A k − 1 u ) A ( λ k − 1 u ) λ k − 1 ( A u ) λ k u A^k\mathbf uA(A^{k-1}\mathbf u)A(\lambda^{k-1}\mathbf u)\lambda^{k-1}(A\mathbf u)\lambda^k\mathbf u AkuA(Ak−1u)A(λk−1u)λk−1(Au)λku
所以对 n k nk nk 时成立。由数学归纳法可知对所有的 n ∈ N ∗ n\in\N^* n∈N∗ 都成立。
实例在扩散理论中的应用。设某物质能以气态和液态的混合状态存在假定在任意一段很短的时间内 (1) 液体的 5 % 5\% 5% 蒸发成气态 (2) 气体的 1 % 1\% 1% 凝结成液态。 假定该物质的总量一直保持不变那么最终的情况如何
为了研究的方便用 g 0 , l 0 g_0,l_0 g0,l0 分别表示现在的气体和液体的比例 ( g 0 l 0 1 ) (g_0l_01) (g0l01) g n , l n g_n,l_n gn,ln 分别表示 n n n 段时间后液体和气体的比例。记物质总量为 M M M 一直保持不变。
(1) 先求 g 1 , l 1 g_1,l_1 g1,l1
可以看出在很短时间后气体由现在气体的 99 % 99\% 99% 加上现在液体的 5 % 5\% 5% 组成即 g 1 M 0.99 g 0 M 0.05 l 0 M g_1M0.99g_0M0.05l_0M g1M0.99g0M0.05l0M 同理在很短时间后的液体 l 1 M 0.01 g 0 M 0.95 l 0 M l_1M0.01g_0M0.95l_0M l1M0.01g0M0.95l0M 因此 { g 1 0.99 g 0 0.05 l 0 l 1 0.01 g 0 0.95 l 0 \begin{cases} g_10.99g_00.05l_0 \\ l_10.01g_00.95l_0 \end{cases} {g10.99g00.05l0l10.01g00.95l0 矩阵形式为 [ g 1 l 1 ] [ 0.99 0.05 0.01 0.95 ] [ g 0 l 0 ] \begin{bmatrix} g_1\\l_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.990.05\\0.010.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix} [g1l1][0.990.010.050.95][g0l0] 记矩阵 P [ 0.99 0.05 0.01 0.95 ] P\begin{bmatrix} 0.990.05\\0.010.95 \end{bmatrix} P[0.990.010.050.95] 则上式写为 [ g 1 l 1 ] P [ g 0 l 0 ] \begin{bmatrix} g_1\\l_1 \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix} [g1l1]P[g0l0] 矩阵 P P P 记录了很短时间内气液的转变情况。
(2) 类似与 g 1 , l 1 g_1,l_1 g1,l1 的推导过程可以得到 [ g 1 l 1 ] P [ g 0 l 0 ] ; [ g 2 l 2 ] P [ g 1 l 1 ] P 2 [ g 0 l 0 ] ; ⋯ ⋯ [ g n l n ] P [ g n − 1 l n − 1 ] P n [ g 0 l 0 ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} g_1\\l_1 \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix}; \\ \begin{bmatrix} g_2\\l_2 \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} g_1\\l_1 \end{bmatrix}P^2\begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix}; \\ \cdots\cdots \\ \begin{bmatrix} g_n\\l_n \end{bmatrix}P\begin{bmatrix} g_{n-1}\\l_{n-1} \end{bmatrix}P^n\begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix} \end{aligned} [g1l1]P[g0l0];[g2l2]P[g1l1]P2[g0l0];⋯⋯[gnln]P[gn−1ln−1]Pn[g0l0] 由于该问题已转化为矩阵指数的形式我们可以用矩阵特征值和特征向量的性质求解。
(3) 可以证明矩阵 A [ 1 − p q p 1 − q ] ( 0 p , q 1 ) A\begin{bmatrix}1-p q\\ p 1-q\end{bmatrix}\quad (0p,q1) A[1−ppq1−q](0p,q1) 的特征值是 λ 1 1 , λ 2 1 − p − q \lambda_11,\ \lambda_21-p-q λ11, λ21−p−q对应的特征向量分别是 u 1 [ q p ] , u 2 [ 1 − 1 ] \mathbf u_1\begin{bmatrix} q\\ p\end{bmatrix},\ \mathbf u_2\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} u1[qp], u2[1−1]。
从而得到矩阵 P P P 的特征值是 λ 1 1 , λ 2 0.94 \lambda_11,\ \lambda_20.94 λ11, λ20.94对应的特征向量分别是 u 1 [ 0.05 0.01 ] , u 2 [ 1 − 1 ] \mathbf u_1\begin{bmatrix} 0.05\\ 0.01\end{bmatrix},\ \mathbf u_2\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} u1[0.050.01], u2[1−1]。再把初始向量 [ g 0 l 0 ] \begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix} [g0l0] 用特征向量表示设 [ g 0 l 0 ] k 1 [ 0.05 0.01 ] k 2 [ 1 − 1 ] where g 0 l 0 1 \begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix}k_1\begin{bmatrix} 0.05\\ 0.01\end{bmatrix}k_2\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}\quad\text{where }g_0l_01 [g0l0]k1[0.050.01]k2[1−1]where g0l01 解得 k 1 50 3 , k 2 g 0 − 5 6 k_1\frac{50}{3},k_2g_0-\frac{5}{6} k1350,k2g0−65 所以由性质2得对于任意的自然数 n n n 有 [ g n l n ] P n [ g 0 l 0 ] k 1 × 1 n [ 0.05 0.01 ] k 2 × 0.9 4 n [ 1 − 1 ] \begin{bmatrix} g_n\\l_n \end{bmatrix}P^n\begin{bmatrix} g_0\\l_0 \end{bmatrix}k_1\times1^n\begin{bmatrix} 0.05\\ 0.01\end{bmatrix}k_2\times0.94^n\begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix} [gnln]Pn[g0l0]k1×1n[0.050.01]k2×0.94n[1−1] 从而 g n 0.05 k 1 0.9 4 n k 2 , l n 0.01 k 1 − 0.9 4 n k 2 g_n0.05k_10.94^nk_2,\ l_n0.01k_1-0.94^nk_2 gn0.05k10.94nk2, ln0.01k1−0.94nk2所以 g ∞ lim n → ∞ ( 0.05 k 1 0.9 4 n k 2 ) 0.05 k 1 5 6 l ∞ lim n → ∞ ( 0.01 k 1 − 0.9 4 n k 2 ) 0.01 k 1 1 6 g_{\infty}\lim\limits_{n\to\infty}(0.05k_10.94^nk_2)0.05k_1\frac{5}{6} \\ l_{\infty}\lim\limits_{n\to\infty}(0.01k_1-0.94^nk_2)0.01k_1\frac{1}{6} g∞n→∞lim(0.05k10.94nk2)0.05k165l∞n→∞lim(0.01k1−0.94nk2)0.01k161 那么我们可以得到不管该物质最初的气液比率如何最终将达到一个平衡状态此时该物质的 5 / 6 5/6 5/6 是气态的 1 / 6 1/6 1/6 是液体的。
