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随着线性规划应用的逐步深入#xff0c;人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的、两者有着密切的联系的另一个线性规划问题#xff0c;将其中一个称为原问题#xff0c;另外一个称之为对偶问题。
对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系#x…1.对偶问题
随着线性规划应用的逐步深入人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的、两者有着密切的联系的另一个线性规划问题将其中一个称为原问题另外一个称之为对偶问题。
对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系由对偶问题引申出来的对偶解有着重要经济意义是经济学中重要的概念工具之一对偶理论充分显示线性规划理论逻辑上的严谨性与结构上的对称性它是线性规划的重要成果。
原问题的例子
某家具厂木器车间生产木门和木窗的两种产品加工木门收入56\扇加工木窗收入30\扇生产一扇木盟需要木工4小时、油漆工需要2小时生产一扇木窗需要木工3小时、油漆工1小时该车间每日可用木工总工时120小时油漆工总工时50小时问该车间应该如何安排生产才能使得每日收入最大
解 令该车间每日安排生产木门x1扇木窗x2扇则数学模型为 使用图解法或者单纯形表方法可以求得最优解
对偶问题
现在从另外一个角度来考虑该车间的生产问题假若有一个个体经营者手中有一批木器家具生产订单他想利用该车间的木工与油漆工来完成他的订单他就要事先考虑付给该车间每个工时的价格 需要考虑的问题
木器车间觉得有利可图从而愿意替他加工这批订单他自己所付时费用总数最小 设W1为付给木工每个工时的价格W2为付给油漆工每个工时的价格则该个体经营者的目标函数每日所付工时总费用最小 但是个体经营者所付的价格不能太低至少不能低于该车间生产木门、木窗时候所得到的收入否则该车间觉得无利可图就不会替他加工这批订单因此w1、W2取值应该满足 那么经过上面的问题梳理我们把两个问题放在一起看 左边是车间老板的角度来看右边的对偶问题是从个体经营者来看一个求最大值另外一个求最小值我们来看一下原问题的max 式子的系数在右边的对偶问题变成了 下面约束条件的值而左边的约束条件的值变成了右边对偶问题的min式子的系数
从最后的结果可以看到虽然最优解的结果不一样但是最这个最优解的框架下相应的目标函数的结果都是1440说明这个订单一定是成功的完成了
转换到一般情况 LP我们定义就是原问题DP是对偶问题Max和Min的式子的系数称之为价值系数下面的公式称之为约束条件
可以看出
原问题的价值系数在对偶问题提中成为约束条件的右端项而原问题的约束条件的右端项在对偶问题成了价值系数原问题中约束不等式左端的决策变量的系数在对偶问题中成为对偶问题决策变W1和W2的系数列向量P1P2原问题中Xi的系数列向量Pi在对偶问题中就是第i个约束不等式做端对偶变量前的系数
如何迅速的从一个线性规划问题提出对偶问题 写出对偶问题的例子
