百度seo整站优化,微信公众号平台手机端,前端进入网站建设公司怎么样,图库尽管《机器学习数学基础》这本书#xff0c;耗费了比较长的时间和精力#xff0c;怎奈学识有限#xff0c;错误难免。因此#xff0c;除了在专门的网页#xff08; 勘误和修订 #xff09;中发布勘误和修订内容之外#xff0c;对于重大错误#xff0c;我还会以专题的形… 尽管《机器学习数学基础》这本书耗费了比较长的时间和精力怎奈学识有限错误难免。因此除了在专门的网页 勘误和修订 中发布勘误和修订内容之外对于重大错误我还会以专题的形式发布并做出更多的相关解释。 更欢迎有识之士、广大读者朋友指出其中的错误。非常感谢大家的帮助。 在《机器学习数学基础》第29页到第30页推导过渡矩阵和坐标变换的时候原文有一些错误。下面将推导过程重新编写如下并且增加一些更详细的说明。此说明没有写入原文是为了协助理解这段推导而作。
针对性的修改请参阅勘误与修订 设 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} α i \pmb{\alpha}_i αi 表示列向量 是某个向量空间的一个基则该空间中一个向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 可以描述为 O A → x 1 α 1 ⋯ x n α n (1.3.4) \overrightarrow{OA} x_1\pmb{\alpha}_1 \cdots x_n\pmb{\alpha}_n\tag{1.3.4} OA x1α1⋯xnαn(1.3.4) 其中的 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1, \cdots, x_n) (x1,⋯,xn) 即为向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 在基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 的坐标。
如果有另外一个基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn} β i \pmb{\beta}_i βi 表示列向量向量 O A → \overrightarrow{OA} OA 又描述为 O A → x 1 ′ β 1 ⋯ x n ′ β n (1.3.5) \overrightarrow{OA} x_1\pmb{\beta}_1 \cdots x_n\pmb{\beta}_n\tag{1.3.5} OA x1′β1⋯xn′βn(1.3.5) 那么同一个向量空间的这两个基有没有关系呢有。不要忘记基是一个向量组例如基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn} 中的每个向量也在此向量空间所以可以用基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 线性表出即 { β 1 b 11 α 1 ⋯ b n 1 α n ⋮ β n b 1 n α 1 ⋯ b n n α n \begin{cases}\begin{split}\pmb{\beta}_1 b_{11}\pmb{\alpha}_1 \cdots b_{n1}\pmb{\alpha}_n \\ \vdots \\\pmb{\beta}_n b_{1n}\pmb{\alpha}_1 \cdots b_{nn}\pmb{\alpha}_n \end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧β1⋮βnb11α1⋯bn1αnb1nα1⋯bnnαn 以矩阵这里提前使用了矩阵的概念是因为本书已经在前言中声明不假定读者完全没有学过高等数学。关于矩阵的更详细内容请参阅第2章的方式可以表示为 [ β 1 ⋯ β n ] [ α 1 ⋯ α n ] [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] (1.3.6) \begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix}\pmb{\beta}_1\cdots\pmb{\beta}_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\pmb{\alpha}_1\cdots\pmb{\alpha}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11} \cdots b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} \cdots b_{nn}\end{bmatrix} \end{split} \end{equation}\tag{1.3.6} [β1⋯βn][α1⋯αn] b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn (1.3.6) 其中 P [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] \pmb P \begin{bmatrix}b_{11} \cdots b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} \cdots b_{nn}\end{bmatrix} P b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn 称为基 { α 1 , ⋯ , α n } \{\pmb{\alpha}_1, \cdots, \pmb{\alpha}_n\} {α1,⋯,αn} 向基 { β 1 , ⋯ , β n } \{\pmb{\beta}_1, \cdots, \pmb{\beta}_n\} {β1,⋯,βn} 的过渡矩阵。显然过渡矩阵实现了一个基向另一个基的变换。 定义 在同一个向量空间由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P 则 [ β 1 ⋯ β n ] [ α 1 ⋯ α n ] P [\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n] [\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n]\pmb P [β1⋯βn][α1⋯αn]P 根据1.3.5式可得 x 1 ′ β 1 ⋯ x n ′ β n x 1 ′ b 11 α 1 ⋯ x 1 ′ b n 1 α n ⋯ x n ′ b 1 n α 1 ⋯ x n ′ b n n α n ( x 1 ′ b 11 ⋯ x n ′ b 1 n ) α 1 ⋯ ( x 1 ′ b n 1 ⋯ x n ′ b n n ) α n \begin{split}x_1\pmb{\beta}_1 \cdots x_n\pmb{\beta}_n x_1b_{11}\pmb{\alpha}_1 \cdots x_1b_{n1}\pmb{\alpha}_n \\ \quad \cdots \\ \quad x_nb_{1n}\pmb{\alpha}_1 \cdots x_nb_{nn}\pmb{\alpha}_n \\ (x_1b_{11} \cdots x_nb_{1n})\pmb{\alpha}_1 \\ \quad \cdots \\ \quad(x_1b_{n1} \cdots x_nb_{nn})\pmb{\alpha}_n\end{split} x1′β1⋯xn′βnx1′b11α1⋯x1′bn1αn⋯xn′b1nα1⋯xn′bnnαn(x1′b11⋯xn′b1n)α1⋯(x1′bn1⋯xn′bnn)αn 1.3.4式 和1.3.5式描述的是同一个向量所以 { x 1 x 1 ′ b 11 ⋯ x n ′ b 1 n ⋮ x n x 1 ′ b n 1 ⋯ x n ′ b n n \begin{cases}\begin{split}x_1 x_1b_{11} \cdots x_nb_{1n}\\\vdots\\x_n x_1b_{n1} \cdots x_nb_{nn}\end{split}\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1xnx1′b11⋯xn′b1n⋮x1′bn1⋯xn′bnn 如果写成矩阵形式即 [ x 1 ⋮ x n ] [ b 11 ⋯ b 1 n ⋮ b n 1 ⋯ b n n ] [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] (1.3.7) \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11} \cdots b_{1n}\\\vdots\\b_{n1} \cdots b_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}\tag{1.3.7} x1⋮xn b11⋮bn1⋯⋯b1nbnn x1′⋮xn′ (1.3.7) 表示了在同一个向量空间中向量在不同基下的坐标之间的变换关系我们称为坐标变换公式。 定义 在某个向量空间中由基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 向基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的过渡矩阵是 P \pmb{P} P 。某向量在基 { α 1 ⋯ α n } \{\pmb{\alpha}_1\quad\cdots\quad\pmb{\alpha}_n\} {α1⋯αn} 的坐标是 x [ x 1 ⋮ x n ] \pmb{x}\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} x x1⋮xn 在基 { β 1 ⋯ β n } \{\pmb{\beta}_1\quad\cdots\quad\pmb{\beta}_n\} {β1⋯βn} 的坐标是 x ′ [ x 1 ′ ⋮ x n ′ ] \pmb x\begin{bmatrix}x_1\\\vdots \\x_n\end{bmatrix} x′ x1′⋮xn′ 这两组坐标之间的关系是 x P x ′ \pmb x \pmb P \pmb x xPx′ 《机器学习数学基础》第29页到第30页的错误是我讲授《机器学习数学基础》的课程时发现的。现在深刻体会到教然后知不足。教学相长认真地研究教学也是自我提升。
