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研究算法的最终目的就是如何花更少的时间#xff0c;如何占用更少的内存去完成相同的需求#xff0c;并且也通过案例演示了不同算法之间时间耗费和空间耗费上的差异#xff0c;但我们并不能将时间占用和空间占用量化#xff0c;因此#xff0c;接下来我们要学习…算法分析
研究算法的最终目的就是如何花更少的时间如何占用更少的内存去完成相同的需求并且也通过案例演示了不同算法之间时间耗费和空间耗费上的差异但我们并不能将时间占用和空间占用量化因此接下来我们要学习有关算法时间耗费和算法空间耗费的描述和分析。有关算法时间耗费分析我们称之为算法的时间复杂度分析有关算法的空间耗费分析我们称之为算法的空间复杂度分析。
算法的时间复杂度分析
我们要计算算法时间耗费情况首先我们得度量算法的执行时间那么如何度量呢 事后分析估算方法 比较容易想到的方法就是我们把算法执行若干次然后拿个计时器在旁边计时这种事后统计的方法看上去的确不错并且也并非要我们真的拿个计算器在旁边计算因为计算机都提供了计时的功能。这种统计方法主要是通过设计好的测试程序和测试数据利用计算机计时器对不同的算法编制的程序的运行时间进行比较从而确定算法效率的高低但是这种方法有很大的缺陷必须依据算法实现编制好的测试程序通常要花费大量时间和精力测试完了如果发现测试的是非常糟糕的算法那么之前所做的事情就全部白费了并且不同的测试环境(硬件环境)的差别导致测试的结果差异也很大。
public static void main(String[] args) {
long start System.currentTimeMillis();
int sum 0;
int n100;
for (int i 1; i n; i) {
sum i;
}
System.out.println(sum sum);
long end System.currentTimeMillis();
System.out.println(end-start);
}
事前分析估算方法 在计算机程序编写前依据统计方法对算法进行估算经过总结我们发现一个高级语言编写的程序程序在计算机 上运行所消耗的时间取决于下列因素 1.算法采用的策略和方案 2.编译产生的代码质量 3.问题的输入规模(所谓的问题输入规模就是输入量的多少) 4.机器执行指令的速度
由此可见抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。 如果算法固定那么该算法的执行时间就只和问题的输入规模有关系了。 我么再次以之前的求和案例为例进行分析。 需求 计算1到100的和。 第一种解法
如果输入量为n为1则需要计算1次
如果输入量n为1亿则需要计算1亿次
public static void main(String[] args) {
int sum 0;//执行1次
int n100;//执行1次
for (int i 1; i n; i) {//执行了n1次
sum i;//执行了n次
}
System.out.println(sum sum);
}
第二种解法
如果输入量为n为1则需要计算1次
如果输入量n为1亿则需要计算1次
public static void main(String[] args) {
int sum 0;//执行1次
int n100;//执行1次
sum (n1)*n/2;//执行1次
System.out.println(sumsum);
}
因此当输入规模为n时第一种算法执行了11(n1)n2n3次第二种算法执行了1113次。如果我们把 第一种算法的循环体看做是一个整体忽略结束条件的判断那么其实这两个算法运行时间的差距就是n和1的差 距。 为什么循环判断在算法1里执行了n1次看起来是个不小的数量但是却可以忽略呢我们来看下一个例子 需求 计算100个1100个2100个3...100个100的结果 代码
public static void main(String[] args) {
int sum0;
int n100;
for (int i 1; i n ; i) {
for (int j 1; j n ; j) {
sumi;
}
}
System.out.println(sumsum);
}
上面这个例子中如果我们要精确的研究循环的条件执行了多少次是一件很麻烦的事情并且由于真正计算和的代码是内循环的循环体所以在研究算法的效率时我们只考虑核心代码的执行次数这样可以简化分析。 我们研究算法复杂度侧重的是当输入规模不断增大时算法的增长量的一个抽象(规律)而不是精确地定位需要执行多少次因为如果是这样的话我们又得考虑回编译期优化等问题容易主次跌倒。我们不关心编写程序所用的语言是什么也不关心这些程序将跑在什么样的计算机上我们只关心它所实现的算法。这样不计那些循环索引的递增和循环终止的条件、变量声明、打印结果等操作最终在分析程序的运行时间时最重要的是把程序看做是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。我们分析一个算法的运行时间最重要的就是把核心操作的次数和输入规模关联起来。 函数渐近增长 给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N使得对于所有的nN,f(n)总是比g(n)大那么我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。 概念似乎有点艰涩难懂那接下来我们做几个测试。 测试一 假设四个算法的输入规模都是n 1.算法A1要做2n3次操作可以这么理解先执行n次循环执行完毕后再有一个n次循环最后有3次运算 2.算法A2要做2n次操作 3.算法B1要做3n1次操作可以这个理解先执行n次循环再执行一个n次循环再执行一个n次循环最后有1 次运算。 4.算法B2要做3n次操作 那么上述算法哪一个更快一些呢 通过数据表格比较算法A1和算法B1 当输入规模n1时A1需要执行5次B1需要执行4次所以A1的效率比B1的效率低 当输入规模n2时A1需要执行7次B1需要执行7次所以A1的效率和B1的效率一样 当输入规模n2时A1需要的执行次数一直比B1需要执行的次数少所以A1的效率比B1的效率高 所以我们可以得出结论
当输入规模n2时算法A1的渐近增长小于算法B1 的渐近增长 通过观察折线图我们发现随着输入规模的增大算法A1和算法A2逐渐重叠到一块算法B1和算法B2逐渐重叠 到一块所以我们得出结论 随着输入规模的增大算法的常数操作可以忽略不计 测试二 假设四个算法的输入规模都是n 1.算法C1需要做4n8次操作 2.算法C2需要做n次操作 3.算法D1需要做2n^2次操作 4.算法D2需要做n^2次操作 那么上述算法哪个更快一些 通过数据表格对比算法C1和算法D1 当输入规模n3时算法C1执行次数多于算法D1因此算法C1效率低一些 当输入规模n3时算法C1执行次数少于算法D1因此算法D2效率低一些 所以总体上算法C1要优于算法D1.
通过折线图对比对比算法C1和C2 随着输入规模的增大算法C1和算法C2几乎重叠 通过折线图对比算法C系列和算法D系列 随着输入规模的增大即使去除n^2前面的常数因子D系列的次数要远远高于C系列。 因此可以得出结论 随着输入规模的增大与最高次项相乘的常数可以忽略 测试三 假设四个算法的输入规模都是n 算法E1: 2n^23n1; 算法E2 n^2 算法F1 2n^33n1 算法F2 n^3 那么上述算法哪个更快一些 通过数据表格对比算法E1和算法F1 当n1时算法E1和算法F1的执行次数一样 当n1时算法E1的执行次数远远小于算法F1的执行次数 所以算法E1总体上是由于算法F1的。 通过折线图我们会看到算法F系列随着n的增长会变得特块算法E系列随着n的增长相比较算法F来说变得比较慢所以可以得出结论 最高次项的指数大的随着n的增长结果也会变得增长特别快
算法时间复杂度 大O记法 定义 在进行算法分析时语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数进而分析T(n)随着n的变化情况并确定T(n)的量级。算法的时间复杂度就是算法的时间量度记作:T(n)O(f(n))。它表示随着问题规模n的增大算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同称作算法的渐近时间复杂度简称时间复杂度其中f(n)是问题规模n的某个函数。 在这里我们需要明确一个事情执行次数执行时间 用大写O()来体现算法时间复杂度的记法我们称之为大O记法。一般情况下随着输入规模n的增大T(n)增长最 慢的算法为最优算法。 下面我们使用大O表示法来表示一些求和算法的时间复杂度算法一
public static void main(String[] args) {
int sum 0;//执行1次
int n100;//执行1次
sum (n1)*n/2;//执行1次
System.out.println(sumsum);
}
算法二
public static void main(String[] args) {
int sum 0;//执行1次
int n100;//执行1次
for (int i 1; i n; i) {
sum i;//执行了n次
}
System.out.println(sum sum);
}
public static void main(String[] args) {
int sum0;//执行1次
int n100;//执行1次
for (int i 1; i n ; i) {
for (int j 1; j n ; j) {
sumi;//执行n^2次
}
}
System.out.println(sumsum);
}
如果忽略判断条件的执行次数和输出语句的执行次数那么当输入规模为n时以上算法执行的次数分别为 算法一3次 算法二n3次 算法三n^22次 如果用大O记法表示上述每个算法的时间复杂度应该如何表示呢基于我们对函数渐近增长的分析推导大O阶 的表示法有以下几个规则可以使用 1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数 2.在修改后的运行次数中只保留高阶项 3.如果最高阶项存在且常数因子不为1则去除与这个项相乘的常数 所以上述算法的大O记法分别为 算法一O(1) 算法二O(n)
算法的空间复杂度分析
计算机的软硬件都经历了一个比较漫长的演变史作为为运算提供环境的内存更是如此从早些时候的512k,经 历了1M2M4M...等发展到现在的8G甚至16G和32G所以早期算法在运行过程中对内存的占用情况也是 一个经常需要考虑的问题。我么可以用算法的空间复杂度来描述算法对内存的占用。java中常见内存占用 1.基本数据类型内存占用情况 计算机访问内存的方式都是一次一个字节 一个引用机器地址需要8个字节表示 例如 Date date new Date(),则date这个变量需要占用8个字节来表示 4.创建一个对象比如new Date()除了Date对象内部存储的数据(例如年月日等信息)占用的内存该对象本身也有内存开销每个对象的自身开销是16个字节用来保存对象的头信息。 5.一般内存的使用如果不够8个字节都会被自动填充为8字节 6.java中数组被被限定为对象他们一般都会因为记录长度而需要额外的内存一个原始数据类型的数组一般需要24字节的头信息(16个自己的对象开销4字节用于保存长度以及4个填充字节)再加上保存值所需的内存。
算法的空间复杂度 了解了java的内存最基本的机制就能够有效帮助我们估计大量程序的内存使用情况。 算法的空间复杂度计算公式记作S(n)O(f(n)),其中n为输入规模f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。 案例 对指定的数组元素进行反转并返回反转的内容。 解法一
public static int[] reverse1(int[] arr){
int narr.length;//申请4个字节
int temp;//申请4个字节
for(int start0,endn-1;startend;start,end--){
temparr[start];
arr[start]arr[end];
arr[end]temp;
}
return arr;
}
解法二
public static int[] reverse2(int[] arr){
int narr.length;//申请4个字节
int[] tempnew int[n];//申请n*4个字节数组自身头信息开销24个字节
for (int i n-1; i 0; i--) {
temp[n-1-i]arr[i];
}
return temp;
}
忽略判断条件占用的内存我们得出的内存占用情况如下 算法一 不管传入的数组大小为多少始终额外申请448个字节 算法二 44n244n28; 根据大O推导法则算法一的空间复杂度为O(1),算法二的空间复杂度为O(n),所以从空间占用的角度讲算法一要 优于算法二。 由于java中有内存垃圾回收机制并且jvm对程序的内存占用也有优化例如即时编译我们无法精确的评估一个java程序的内存占用情况但是了解了java的基本内存占用使我们可以对java程序的内存占用情况进行估算。 由于现在的计算机设备内存一般都比较大基本上个人计算机都是4G起步大的可以达到32G所以内存占用一般情况下并不是我们算法的瓶颈普通情况下直接说复杂度默认为算法的时间复杂度。但是如果你做的程序是嵌入式开发尤其是一些传感器设备上的内置程序由于这些设备的内存很小一般为几kb这个时候对算法的空间复杂度就有要求了但是一般做java开发的基本上都是服务器开发一般不存在这样的问题。
