给别人做ppt的网站,wordpress进不了文章页面,凡科如何开通网站建设,南宁网站建设加q.4791857001.曲线 曲线#xff08;Curves#xff09;在图形学中应用非常广泛#xff0c;比如#xff1a;相机的拍摄路径、物体的移动路径、动画曲线、矢量字体等。如下图所示#xff0c;是使用曲线到矢量字体的应用#xff0c;通过移动一些控制点来改变字体。 2.贝塞尔曲线
2.1 贝…1.曲线 曲线Curves在图形学中应用非常广泛比如相机的拍摄路径、物体的移动路径、动画曲线、矢量字体等。如下图所示是使用曲线到矢量字体的应用通过移动一些控制点来改变字体。 2.贝塞尔曲线
2.1 贝塞尔曲线定义 从上图中如果无限的放大曲线的某一块区域任何地方都是光滑的。这就是贝塞尔曲线(Bezier Curves)。 贝塞尔曲线是通过一系列控制点进行定义的曲线。而这些控制点满足一些性质比如要满足从P0点开始并且沿着P0P1方向结束沿着P2P3方向到P3点结束。曲线不必经过所有控制点但必须经过起始点和结束点。这样就定义了一条贝塞尔曲线如下图所示。 2.2 绘制贝塞尔曲线 那么如何使用任意点绘制贝塞尔曲线呢 贝塞尔曲线的绘制算法是 De Casteljaus Algorithm算法的基本思想是利用线性插值的原理将高阶贝塞尔曲线转化为一阶贝塞尔曲线的组合。 下面我们以 3 个控制点绘制贝塞尔曲线的例子来进行介绍。 N 个控制点绘制的贝塞尔曲线称为 N-1 阶贝塞尔曲线。如下图所示我们定义了 3 个控制点由此绘制的贝塞尔曲线称之为 二阶贝塞尔曲线Quadratic Bezier。对于这 3 个控制点我们首先对相邻控制点进行连线。 定义一个变量 t其值的范围为 [0, 1]作为算法的输入值。当 t 0 时表示贝塞尔曲线起始点的输入值当 t 1 时表示贝塞尔曲线结束点的输入值。所以算出 t 对应的所有点即可获得别塞尔曲线。 我们在控制点所构成的各个连线上定义一个点这个点的位置取决于 t 的值即一个比例值。如下图所示在 b0b1 线段上定义一个 b10 点并在 b1b2 线段上定义一个 b11 点。 然后对 b10 点和 b11 点进行连线按照上述规则在 b10b11 线段上定义一个 b20 点找到最后一个点就结束了。如下图所示。 当新定义的点只有一个时我们可以将 t 的值逐步从 0 变到 1。在这个过程中b10、b20、b11 的位置都会随着 t 的变化而变化。对于最终的贝塞尔曲线我们只需要关注最后定义的点 b20 的路径即可。 当我们扩展至更多控制点时比如 4 个控制点时我们仍然按照上述规则来处理将高阶贝塞尔曲线转化为一阶贝塞尔曲线的组合最终绘制曲线。如下图所示。 从上述可知贝塞尔曲线也属于显式几何表示因为显式几何表示通过直接定义或者参数定义而这个 t 就是属于参数。
2.3 贝塞尔曲线代数公式 如上图所示De Casteljau算法给出了一个系数金字塔从中可知通过不断线性插值得到最后一个值的算法。那么就可以写出这个关系式以三个控制点为例如下图所示。 由此我们可以推导出 N 阶贝塞尔曲线的代数公式如下图所示。其中n 表示 N 阶贝塞尔曲线(n1个控制点) 表示控制点为伯恩斯坦多项式Bernstein Polynomials。 举个例子假设n3那么可以有四个控制点点的位置不局限于平面上甚至在三维空间中展开公式如下。 对于伯恩斯坦多项式也可得出如下关系。 2.4 贝塞尔曲线的性质 1.一定过起点和终点。在t0的时候一定在起点t1的时候一定在终点。 2.起始的切线方向是由起始点和第二个点求出结束的切线方向是由结束点和倒数第二个点求出。以四个控制举例如下3倍只是代表4个控制点。 3.不受仿射变换影响受投影变换影响。 对贝塞尔曲线上的每个控制点做仿射变换绘制的新曲线于原曲线一样。 在空间中绘制一条贝塞尔曲线将控制点投影到相机看到的平面上然后重新绘制的新曲线与原曲线不同。 4.凸包Convex Hull性质贝塞尔曲线在所有控制点的凸包范围内。如下图所示蓝色线就是形成的凸包凸包就是能够包围一系列几何形体的最小的凸多边形。简单理解就是一扇门上订满了钉子然后用一块橡皮筋将外面一圈包起来松手后橡皮筋会收缩收缩后的外框就是凸包。 假设有一系列从走到右排列的点排列在一条线上这些是绘制贝塞尔曲线的控制点那么绘制的贝塞尔曲线应该是什么形状根据凸包性质这条线就是凸包而贝塞尔曲线不能超过凸包的范围贝塞尔曲线被限制在这条线上所以这条线就是贝塞尔曲线。
3.分段贝塞尔曲线
3.1 定义 如下图所示给了11个点(n1)绘制一条贝塞尔曲线(蓝色线)。可以看到这条贝塞尔曲线并不直观非常平滑说明当控制点多的时候贝塞尔曲线很难得到想要的形状。 所以当控制点比较多时每次用很少的控制点绘制去绘制然后将绘制的连接成一条贝塞尔曲线。于是就有了分段贝塞尔曲线(Piecewise Bezier Curves)即采用多条贝塞尔曲线进行串联。用4个常控制点来绘制一条贝塞尔曲线也就是三阶贝塞尔曲线(Cubic Bezier)。如下图所示。 在PS里钢笔工具画曲线就是这个应用。
3.2 平滑处理 如下图所示是一条分段贝塞尔曲线而且每4个点绘制一条三次贝塞尔曲线。 可以发现有连接点的曲线出现了转折不够平滑那么如何保证连起来的曲线是平滑的呢只要保证曲线结束的切线方向与相连曲线起始的切线相同即可(方向大小都相同)也就是导数要连续。 根据贝塞尔曲线的性质三次贝塞尔曲线的起始切线的方向由第一个点和第二个点求得结束切线的方向由第三个点和第四个点求出并且前面有系数3。而相连的两条曲线前一条曲线的结束点就是后一条曲线的起始点所以需要调整前一条曲线的第三个点与后一条曲线的第二个点位置使其切线相同。
3.3 连续性 如下图所示在几何上两条三次贝塞尔曲线相连通过一个控制点这是一种最简单的连续。像这种第一段的终点等于第二段的起点叫做连续(Continuity)。 连续关系式。表示上一段曲线终点表示下一段曲线起点。 那么在几何连续外还需要切线的连续(切线相同方向和大小都相同)。这叫做连续也就是一阶导数的连续。如下图所示。 连续关系式。 除了一阶导数连续还有2阶导数连续也叫做曲率连续(连续)。 综上 连续为两个函数在值上连续连续为导数上的连续为二阶导数连续以此类推。
4.样条曲线
4.1 定义 样条(Spline)曲线一种连续的曲线通过一系列的控制点控制在任意位置满足一定的连续性也就是一定数量的连续导数(任意阶)。 简而言之这是一条可控的曲线。 4.2 B样条曲线 B样条(B-Splines)是基础样条(Basis Splines)的缩写就是基函数样条。可以理解成用伯恩斯坦多项式在时间 t 里几个不同项对不同的控制点做一个加权平均也可以理解成不同控制点位置对伯恩斯坦多项式进行加权求和。那么这个伯恩斯坦多项式就可以理解为基函数。基函数就是由不同函数通过不同方式组合起来可以形成别的函数。 B样条曲线相当于是贝塞尔曲线的一个扩展。贝塞尔曲线在控制点很多的情况下移动其中任何一个点整个曲线在任何位置都会发生变化。假如只需要移动一个控制点改变一小段曲线的形状也就是局部性而B样条曲线能够满足这个功能比分段贝塞尔曲线更方便。 B样条需要比贝塞尔曲线更多的信息。比贝塞尔曲线更加复杂这里不做详细介绍。
