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三重积分球面坐标系点火公式一些常见积分处理手法
球面坐标系定义
球面坐标系由方位角φ\varphiφ、仰角θ\thetaθ和距离rrr构成
直角坐标系(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)到球面坐标系的(r,φ,θ)(r,\varphi,\theta)(r,φ,θ)的转化规则如下#xff1a; {xrsinφco…涉及知识点
三重积分球面坐标系点火公式一些常见积分处理手法
球面坐标系定义
球面坐标系由方位角φ\varphiφ、仰角θ\thetaθ和距离rrr构成
直角坐标系(x,y,z)(x,y,z)(x,y,z)到球面坐标系的(r,φ,θ)(r,\varphi,\theta)(r,φ,θ)的转化规则如下
{xrsinφcosθyrsinθsinφzrcosφ\left\{ \begin{aligned} x r\sin φ\cosθ \\ y r\sin θ\sin φ \\ z r\cos φ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧xyzrsinφcosθrsinθsinφrcosφ 适用
适用于积分区域为球或球的部分、锥或锥的部分。
处理方法
按规则直角坐标系的积分式转换成球面坐标系就行
∭Ωf(x,y,z)dxdydz∭Ωf(rsinφcosθ,rsinθsinφ,rcosφ)r2sinφdθdφdr\iiint \limits_{\Omega} f(x,y,z)dxdydz\iiint \limits_{\Omega}f(r\sin φ\cosθ,r\sin θ\sin φ,r\cos φ)r^2\sin \varphi d\theta d\varphi drΩ∭f(x,y,z)dxdydzΩ∭f(rsinφcosθ,rsinθsinφ,rcosφ)r2sinφdθdφdr
然后一般按如下顺序写出积分式
∫dθ∫dφ∫f(r,θ,φ)dr\int d\theta \int d\varphi \int f(r,\theta,\varphi)dr∫dθ∫dφ∫f(r,θ,φ)dr
由于“后积先定限”所以先处理方位角即下图中1的轨迹随后处理仰角即下图中2的轨迹两个角取值范围都是[0,2π][0,2\pi][0,2π] 例题
计算三重积分∭Ω(x2y2)dv\iiint \limits_{\Omega}(x^2y^2)dvΩ∭(x2y2)dv其中Ω\OmegaΩ是右半球面x2y2z2a2(y≥0,a0)x^2y^2z^2a^2\text{ }(y\ge 0,a0)x2y2z2a2 (y≥0,a0)与xOzxOzxOz面所围成的区域 【解析】
Ω{0≤r≤a,0≤θ≤π,0≤φ≤π}\Omega \{0\le r\le a,0\le \theta \le \pi,0\le \varphi \le \pi \}Ω{0≤r≤a,0≤θ≤π,0≤φ≤π}
本题即解如下积分
∭Ωr2sin2φ⋅r2sinφdrdθdφ\iiint \limits_{\Omega}r^2\sin^2\varphi ·r^2\sin \varphi drd\theta d\varphiΩ∭r2sin2φ⋅r2sinφdrdθdφ
即
∫0πdθ∫0πdφ∫0ar4sin3φdr\int_0^\pi d\theta \int_0^\pi d\varphi \int_0^a r^4\sin^3\varphi dr∫0πdθ∫0πdφ∫0ar4sin3φdr
其中在drdrdr时sin3φ\sin^3\varphisin3φ是常量可提出剩下就是对r4r^4r4积分即变为
∫0πdθ∫0πsin3φ⋅a55dφ\int_0^\pi d\theta \int_0^\pi \sin^3\varphi · \frac{a^5}{5} d\varphi∫0πdθ∫0πsin3φ⋅5a5dφ
a55\frac{a^5}{5}5a5是常数可提出并且这个对φ\varphiφ积分完要对θ\thetaθ积分可以先变换顺序先对θ\thetaθ积分则原式变为
π5a3∫0πsin3φdφ\frac{\pi}{5}a^3 \int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi5πa3∫0πsin3φdφ
对于sin3φ\sin^3\varphisin3φ的积分步骤中用到了点火公式过程如下
∫0πsin3φdφ∫0π2sin3φdφ∫π2πsin3φdφ23∫π2πsin3φdφ\int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi\int_0^{\frac\pi 2} \sin^3\varphi d\varphi\int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi\frac23\int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi∫0πsin3φdφ∫02πsin3φdφ∫2ππsin3φdφ32∫2ππsin3φdφ
对于右侧的积分继续进行处理令φπ−t\varphi \pi - tφπ−t好像算是区间再现公式
∫π2πsin3φdφ∫π20sin3(π−t)d(π−t)∫π20sin3(π−t)d(−t)\int_{\frac\pi 2}^\pi \sin^3\varphi d\varphi\int_{\frac\pi 2}^0 \sin^3(\pi - t) d(\pi - t) \int_{\frac\pi 2}^0 \sin^3(\pi - t) d(- t)∫2ππsin3φdφ∫2π0sin3(π−t)d(π−t)∫2π0sin3(π−t)d(−t)
提出负号上下限颠倒则右侧积分式等于
∫0π2sin3(π−t)dt\int_0^{\frac\pi 2} \sin^3(\pi - t) dt∫02πsin3(π−t)dt
根据sin3x\sin^3xsin3x的对称性该式子又等于
∫0π2sin3tdt23\int_0^{\frac\pi 2} \sin^3t dt\frac23∫02πsin3tdt32
故原式等于
π5a3∫0πsin3φdφπ5a3⋅(2323)415πa5\frac{\pi}{5}a^3 \int_0^\pi \sin^3\varphi d\varphi\frac{\pi}{5}a^3·(\frac 23\frac 23)\frac4{15}\pi a^55πa3∫0πsin3φdφ5πa3⋅(3232)154πa5
即最终结果
