营销型网站建设实战》,网站开发找哪家,创业平台网,深圳英文网站制作前置知识#xff1a;无穷限积分
习题1
计算 ∫ 1 ∞ ln x x 2 d x \int_1^{\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}dx ∫1∞x2lnxdx
解#xff1a; \qquad 原式 ( − ln x x ) ∣ 1 ∞ ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x ( − ln x x ) ∣ 1 ∞ ( − 1 x ) ∣ 1 ∞ (-\dfrac{\…前置知识无穷限积分
习题1
计算 ∫ 1 ∞ ln x x 2 d x \int_1^{\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}dx ∫1∞x2lnxdx
解 \qquad 原式 ( − ln x x ) ∣ 1 ∞ ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x ( − ln x x ) ∣ 1 ∞ ( − 1 x ) ∣ 1 ∞ (-\dfrac{\ln x}{x})\bigg\vert_1^{\infty}\int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^2}dx(-\dfrac{\ln x}{x})\bigg\vert_1^{\infty}(-\dfrac 1x)\bigg\vert_1^{\infty} (−xlnx) 1∞∫1∞x21dx(−xlnx) 1∞(−x1) 1∞ ( − 0 0 ) ( − 0 1 ) 1 \qquad\quad \ \ \ (-00)(-01)1 (−00)(−01)1
其中 lim x → ∞ ln x x \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\ln x}{x} x→∞limxlnx由洛必达法则可得为 0 0 0。 习题2
计算 ∫ − ∞ ∞ 1 x 2 2 x 2 d x \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{x^22x2}dx ∫−∞∞x22x21dx
解 \qquad 原式 ∫ − ∞ ∞ 1 1 ( x 1 ) 2 d ( x 1 ) arctan ( x 1 ) ∣ − ∞ ∞ \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{1(x1)^2}d(x1)\arctan(x1)\bigg\vert_{-\infty}^{\infty} ∫−∞∞1(x1)21d(x1)arctan(x1) −∞∞ lim x → ∞ arctan x − lim x → − ∞ arctan x π 2 − ( − π 2 ) π \qquad\quad \ \ \ \lim\limits_{x\to \infty}\arctan x-\lim\limits_{x\to -\infty}\arctan x\dfrac{\pi}{2}-(-\dfrac{\pi}{2})\pi x→∞limarctanx−x→−∞limarctanx2π−(−2π)π 习题3
计算 ∫ − ∞ ∞ 1 e x e 2 − x d x \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{e^xe^{2-x}}dx ∫−∞∞exe2−x1dx
解 \qquad 原式 ∫ − ∞ ∞ 1 e 2 − x ( e 2 x − 2 1 ) d x 1 e ∫ − ∞ ∞ e x − 1 ( e x − 1 ) 2 1 d x \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{1}{e^{2-x}(e^{2x-2}1)}dx\dfrac 1e\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{x-1}}{(e^{x-1})^21}dx ∫−∞∞e2−x(e2x−21)1dxe1∫−∞∞(ex−1)21ex−1dx 1 e ( arctan e x − 1 ) ∣ − ∞ ∞ 1 e ( π 2 − 0 ) π 2 e \qquad\quad \ \ \ \dfrac 1e(\arctan e^{x-1})\bigg\vert_{-\infty}^{\infty}\dfrac 1e(\dfrac{\pi}{2}-0)\dfrac{\pi}{2e} e1(arctanex−1) −∞∞e1(2π−0)2eπ 习题4
设 p 0 p0 p0求 ∫ 1 ∞ 1 x p d x \int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^p}dx ∫1∞xp1dx的收敛性。
解 ∫ 1 b 1 x p d x { ln b , p 1 b 1 − p − 1 1 − p , p ≠ 1 \int_1^{b}\dfrac{1}{x^p}dx \left\{\begin{matrix} \ln b, \qquad\quad \ p1 \\ \qquad \\ \dfrac{b^{1-p}-1}{1-p}, \quad p\neq 1 \end{matrix}\right. ∫1bxp1dx⎩ ⎨ ⎧lnb, p11−pb1−p−1,p1 \qquad 当 0 p 1 0p1 0p1时 lim b → ∞ 1 x p d x b 1 − p − 1 1 − p → ∞ \lim\limits_{b\to \infty}\dfrac{1}{x^p}dx\dfrac{b^{1-p}-1}{1-p}\to \infty b→∞limxp1dx1−pb1−p−1→∞ \qquad 当 p 1 p1 p1时 lim b → ∞ 1 x p d x ln b → ∞ \lim\limits_{b\to \infty}\dfrac{1}{x^p}dx\ln b\to \infty b→∞limxp1dxlnb→∞ \qquad 当 p 1 p1 p1时 lim b → ∞ 1 x p d x 1 p − 1 \lim\limits_{b\to \infty}\dfrac{1}{x^p}dx\dfrac{1}{p-1} b→∞limxp1dxp−11 \qquad 综上所述 ∫ 1 ∞ 1 x p d x \int_1^{\infty}\dfrac{1}{x^p}dx ∫1∞xp1dx在 0 p ≤ 1 0p\leq 1 0p≤1时发散在 p 1 p1 p1时收敛 总结
在一般情况下无穷限积分可以和普通积分一样进行变换。有良好的微积分的基础才能够很好地学习这类知识。
