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运动学是力学的一个分支涉及物体的运动而不考虑引起运动的力。给定一个描述粒子位置矢量随时间变化的方程就可以计算各种运动学属性。最重要的是速度和加速度。如果粒子沿直线运动则运动是直线运动。类似地沿着弯曲路径行进的粒子也进行曲线运动。 x x x、 y y y 和 z z z 笛卡尔坐标系定义了粒子在欧几里得空间中的空间位置。方程 1 显示了粒子位置随时间的变化。秒 (s) 是时间单位米 (m) 是位置单位。 r ⃗ ( t ) x ( t ) ı ^ y ( t ) ȷ ^ z ( t ) k ^ ( 1 ) \vec{r}(t)x(t) \hat{\imath}y(t) \hat{\jmath}z(t) \hat{k}\qquad(1) r (t)x(t)^y(t)^z(t)k^(1) 曲率半径 (rho) 是从粒子 P 到路径 C 的曲率中心的距离。当粒子在空间中移动时曲率半径会根据描述运动的函数而变化。
速度是由方程 2 表示的位置的一阶导数。速度矢量与粒子的轨迹相切。 v ⃗ ( t ) d x ( t ) d t ı ^ d y ( t ) d t ȷ ^ d z ( t ) d t k ^ ( 2 ) \vec{v}(t)\frac{d x(t)}{d t} \hat{\imath}\frac{d y(t)}{d t} \hat{\jmath}\frac{d z(t)}{d t} \hat{k}\qquad(2) v (t)dtdx(t)^dtdy(t)^dtdz(t)k^(2) 该方向上的单位矢量是单位切矢量由公式 3 给出。它等于速度矢量除以幅值。 u ^ t v ⇀ v ( 3 ) \hat{u}_t\frac{\stackrel{\rightharpoonup}{v}}{v}\qquad(3) u^tvv⇀(3) 向量有方向和大小。公式 4 显示了如何计算 3 维位置矢量的大小。它可以应用于任何向量并扩展到任意数量的维度。 ∥ r ⃗ ∥ r x 2 y 2 z 2 ( 4 ) \|\vec{r}\|r\sqrt{x^2y^2z^2}\qquad(4) ∥r ∥rx2y2z2 (4) 加速度是位置的二阶导数或速度的一阶导数。法向分量和切向分量包括加速度。
切向加速度与速度方向相同。法向加速度是朝着粒子路径的曲率中心的方向。
方程 5 显示了加速度的两个分量。单位切向加速度矢量和法向加速度矢量是正交单位矢量。因此它们形成一个称为密切平面的平面。 a ⃗ ( t ) a t u ^ t ⏟ 切向 a n u ^ n ⏟ 法向 ( 5 ) \vec{a}(t)\underbrace{a_t \hat{u}_t}_{\text {切向 }}\underbrace{a_n \hat{u}_n}_{\text {法向 }}\qquad(5) a (t)切向 atu^t法向 anu^n(5) 单位副法向量垂直于密切平面构成右手正交系。因此方程 6 给出了单位副法线。 u ^ b u ^ t × u ^ n v ⃗ × a ⃗ ∥ v ⃗ × a ⃗ ∥ ( 6 ) \hat{u}_b\hat{u}_t \times \hat{u}_n\frac{\vec{v} \times \vec{a}}{\|\vec{v} \times \vec{a}\|}\qquad(6) u^bu^t×u^n∥v ×a ∥v ×a (6) 单位法线指向曲率中心这意味着曲率中心 C 位于密切平面内。因此相对于粒子 P曲率中心 C 由方程 7 给出。 r ⃗ c / p ρ u ^ n ( 7 ) \vec{r}_{c / p}\rho \hat{u}_n\qquad(7) r c/pρu^n(7) 向量相加给出了 C 的位置向量如公式 8 所示。 r ⃗ c r ⃗ r ⃗ c / p ( 8 ) \vec{r}_c\vec{r}\vec{r}_{c / p}\qquad(8) r cr r c/p(8)
Python模拟三维运动学
模拟从 0 秒开始360 秒后结束。以下代码显示了时间线束参数。
t0 0
tf 720
dt 1
time np.arange(t0, tf, dt, dtypefloat)方程 9 定义了粒子的位置如何随时间变化从而定义了轨迹。 r ⃗ ( t ) sin ( 3 t ) ı ^ cos ( t ) ȷ ^ cos ( 2 t ) k ^ ( 9 ) \vec{r}(t)\sin (3 t) \hat{\imath}\cos (t) \hat{\jmath}\cos (2 t) \hat{k}\qquad(9) r (t)sin(3t)^cos(t)^cos(2t)k^(9) 以下显示了该符号运动方程以及速度和加速度导数的声明。还提出了切向加速度方程它是速度大小的导数。
t sp.symbols(t)
R [sp.cos(t), sp.sin(t), t / 5]
V vector_derivative(R, t)
A vector_derivative(V, t)
At vector_magnitude(V).diff(t)矢量方程
def vector_derivative(vector, wrt):return [component.diff(wrt) for component in vector]def vector_magnitude(vector):magnitude 0for component in vector:magnitude component ** 2return magnitude ** (1 / 2)def unit_vector(from_vector_and_magnitudeNone, from_othogonal_vectorsNone, from_orthogonal_unit_vectorsNone):if from_vector_and_magnitude is not None:vector_a, magnitude from_vector_and_magnitude[0], from_vector_and_magnitude[1]return [component / magnitude for component in vector_a]if from_othogonal_vectors is not None:vector_a, vector_b from_othogonal_vectors[0], from_othogonal_vectors[1]vector_normal np.cross(vector_a, vector_b)return unit_vector(from_vector_and_magnitude(vector_normal, vector_magnitude(vector_normal)))if from_orthogonal_unit_vectors is not None:u1, u2 from_orthogonal_unit_vectors[0], from_orthogonal_unit_vectors[1]return np.cross(u1, u2)def evaluate_vector(vector, time_step):numerical_vector [float(component.subs(t, time_step).evalf()) for component in vector]magnitude vector_magnitude(numerical_vector)return numerical_vector, magnitude定义了相关的矢量函数后就可以开始随时间传播。以下显示了用于运行模拟的代码。
propagation_time_history []for ti in time:ti_r d2r(ti)r, r_mag evaluate_vector(R, ti_r)v, v_mag evaluate_vector(V, ti_r)v_theta [r2d(angle) for angle in direction_angles(v, v_mag)]a_theta [r2d(angle) for angle in direction_angles(a, a_mag)]ut unit_vector(from_vector_and_magnitude(v, v_mag))ub unit_vector(from_othogonal_vectors(v, a))un unit_vector(from_orthogonal_unit_vectors(ub, ut))at float(At.subs(t, ti_r).evalf())rc r (rho * un)rc_mag vector_magnitude(rc)iteration_results {t: ti, rx: r[0], ry: r[1], rz: r[2], r_mag: r_mag,vx: v[0], vy: v[1], vz: v[2], v_mag: v_mag,rcx: rc[0], rcy: rc[1], rcz: rc[2], rc_mag: rc_mag, rho: rho,ax: a[0], ay: a[1], az: a[2], a_mag: a_mag, an: an, at: at,ubx: ub[0], uby: ub[1], ubz: ub[2],utx: ut[0], uty: ut[1], utz: ut[2],unx: un[0], uny: un[1], unz: un[2]}propagation_time_history.append(iteration_results)df pd.DataFrame(propagation_time_history)
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