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PINN(Physics-informed Neural Networks)的原理部分可参见https://maziarraissi.github.io/PINNs/
考虑Burgers方程#xff0c;如下图所示#xff0c;初始时刻u符合sin分布#xff0c;随着时间推移在x0处发生间断. 这是一个经典问题#xff0c;可使用pytorch通过…参考文献
PINN(Physics-informed Neural Networks)的原理部分可参见https://maziarraissi.github.io/PINNs/
考虑Burgers方程如下图所示初始时刻u符合sin分布随着时间推移在x0处发生间断. 这是一个经典问题可使用pytorch通过PINN实现对Burgers方程的求解。
源代码与注释
源代码共含有三个文件来源于Github https://github.com/jayroxis/PINNs network.py文件用于定义神经网络的结构 train.py文件用于训练神经网络 evaluate.py文件用于测试训练好的模型绘制结果图
建议使用Anaconda构建运行环境需要安装pytorch和一些辅助包。
1、network.py 文件
import torch
import torch.nn as nn
from collections import OrderedDict# 定义神经网络的架构
class Network(nn.Module):# 构造函数def __init__(self,input_size, # 输入层神经元数hidden_size, # 隐藏层神经元数output_size, # 输出层神经元数depth, # 隐藏层数acttorch.nn.Tanh, # 输入层和隐藏层的激活函数):super(Network, self).__init__()#调用父类的构造函数# 输入层layers [(input, torch.nn.Linear(input_size, hidden_size))]layers.append((input_activation, act()))# 隐藏层for i in range(depth):layers.append((hidden_%d % i, torch.nn.Linear(hidden_size, hidden_size)))layers.append((activation_%d % i, act()))# 输出层layers.append((output, torch.nn.Linear(hidden_size, output_size)))#将这些层组装为神经网络self.layers torch.nn.Sequential(OrderedDict(layers))# 前向计算方法def forward(self, x):return self.layers(x)
2、train.py 文件
import math
import torch
import numpy as np
from network import Network# 定义一个类用于实现PINN(Physics-informed Neural Networks)
class PINN:# 构造函数def __init__(self):# 选择使用GPU还是CPUdevice torch.device(cuda) if torch.cuda.is_available() else torch.device(cpu)# 定义神经网络self.model Network(input_size2, # 输入层神经元数hidden_size16, # 隐藏层神经元数output_size1, # 输出层神经元数depth8, # 隐藏层数acttorch.nn.Tanh # 输入层和隐藏层的激活函数).to(device) # 将这个神经网络存储在GPU上若GPU可用self.h 0.1 # 设置空间步长self.k 0.1 # 设置时间步长x torch.arange(-1, 1 self.h, self.h) # 在[-1,1]区间上均匀取值记为xt torch.arange(0, 1 self.k, self.k) # 在[0,1]区间上均匀取值记为t# 将x和t组合形成时间空间网格记录在张量X_inside中self.X_inside torch.stack(torch.meshgrid(x, t)).reshape(2, -1).T# 边界处的时空坐标bc1 torch.stack(torch.meshgrid(x[0], t)).reshape(2, -1).T # x-1边界bc2 torch.stack(torch.meshgrid(x[-1], t)).reshape(2, -1).T # x1边界ic torch.stack(torch.meshgrid(x, t[0])).reshape(2, -1).T # t0边界self.X_boundary torch.cat([bc1, bc2, ic]) # 将所有边界处的时空坐标点整合为一个张量# 边界处的u值u_bc1 torch.zeros(len(bc1)) # x-1边界处采用第一类边界条件u0u_bc2 torch.zeros(len(bc2)) # x1边界处采用第一类边界条件u0u_ic -torch.sin(math.pi * ic[:, 0]) # t0边界处采用第一类边界条件u-sin(pi*x)self.U_boundary torch.cat([u_bc1, u_bc2, u_ic]) # 将所有边界处的u值整合为一个张量self.U_boundary self.U_boundary.unsqueeze(1)# 将数据拷贝到GPUself.X_inside self.X_inside.to(device)self.X_boundary self.X_boundary.to(device)self.U_boundary self.U_boundary.to(device)self.X_inside.requires_grad True # 设置需要计算对X的梯度# 设置准则函数为MSE方便后续计算MSEself.criterion torch.nn.MSELoss()# 定义迭代序号记录调用了多少次lossself.iter 1# 设置lbfgs优化器self.lbfgs torch.optim.LBFGS(self.model.parameters(),lr1.0,max_iter50000,max_eval50000,history_size50,tolerance_grad1e-7,tolerance_change1.0 * np.finfo(float).eps,line_search_fnstrong_wolfe,)# 设置adam优化器self.adam torch.optim.Adam(self.model.parameters())# 损失函数def loss_func(self):# 将导数清零self.adam.zero_grad()self.lbfgs.zero_grad()# 第一部分loss: 边界条件不吻合产生的lossU_pred_boundary self.model(self.X_boundary) # 使用当前模型计算u在边界处的预测值loss_boundary self.criterion(U_pred_boundary, self.U_boundary) # 计算边界处的MSE# 第二部分loss:内点非物理产生的lossU_inside self.model(self.X_inside) # 使用当前模型计算内点处的预测值# 使用自动求导方法得到U对X的导数du_dX torch.autograd.grad(inputsself.X_inside,outputsU_inside,grad_outputstorch.ones_like(U_inside),retain_graphTrue,create_graphTrue)[0]du_dx du_dX[:, 0] # 提取对第x的导数du_dt du_dX[:, 1] # 提取对第t的导数# 使用自动求导方法得到U对X的二阶导数du_dxx torch.autograd.grad(inputsself.X_inside,outputsdu_dX,grad_outputstorch.ones_like(du_dX),retain_graphTrue,create_graphTrue)[0][:, 0]loss_equation self.criterion(du_dt U_inside.squeeze() * du_dx, 0.01 / math.pi * du_dxx) # 计算物理方程的MSE# 最终的loss由两项组成loss loss_equation loss_boundary# loss反向传播用于给优化器提供梯度信息loss.backward()# 每计算100次loss在控制台上输出消息if self.iter % 100 0:print(self.iter, loss.item())self.iter self.iter 1return loss# 训练def train(self):self.model.train() # 设置模型为训练模式# 首先运行5000步Adam优化器print(采用Adam优化器)for i in range(5000):self.adam.step(self.loss_func)# 然后运行lbfgs优化器print(采用L-BFGS优化器)self.lbfgs.step(self.loss_func)# 实例化PINN
pinn PINN()# 开始训练
pinn.train()# 将模型保存到文件
torch.save(pinn.model, model.pth)运行该文件后模型结果保存在model.pth文件中
3、evaluate.py 文件
import torch
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt# 选择GPU或CPU
device torch.device(cuda) if torch.cuda.is_available() else torch.device(cpu)# 从文件加载已经训练完成的模型
model_loaded torch.load(model.pth, map_locationdevice)
model_loaded.eval() # 设置模型为evaluation状态# 生成时空网格
h 0.01
k 0.01
x torch.arange(-1, 1, h)
t torch.arange(0, 1, k)
X torch.stack(torch.meshgrid(x, t)).reshape(2, -1).T
X X.to(device)# 计算该时空网格对应的预测值
with torch.no_grad():U_pred model_loaded(X).reshape(len(x), len(t)).cpu().numpy()# 绘制计算结果
plt.figure(figsize(5, 3), dpi300)
xnumpy x.numpy()
plt.plot(xnumpy, U_pred[:, 0], o, markersize1)
plt.plot(xnumpy, U_pred[:, 20], o, markersize1)
plt.plot(xnumpy, U_pred[:, 40], o, markersize1)
plt.figure(figsize(5, 3), dpi300)
sns.heatmap(U_pred, cmapjet)
plt.show()运行该文件后可绘制u场的结果
