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差分约束系统包含 m m m个涉及 n n n个变量的差额限制条件#xff0c;这些差额限制条件每个都是形式为 x i − x j ≤ b ∈ [ 1 , m ] x_i-x_j\leq b_{\in[1,m]} xi−xj≤b∈[1,m]的简单线性不等式。
通常我们要求解出一组可行解。
最短路差分约束
如果我们…差分约束
差分约束系统包含 m m m个涉及 n n n个变量的差额限制条件这些差额限制条件每个都是形式为 x i − x j ≤ b ∈ [ 1 , m ] x_i-x_j\leq b_{\in[1,m]} xi−xj≤b∈[1,m]的简单线性不等式。
通常我们要求解出一组可行解。
最短路差分约束
如果我们把变量看做节点如果这里用 d u d_u du表示 d i s S , u dis_{S,u} disS,u那么从 u u u到 v v v的一条有向边必然满足 d u w ≥ d v d_uw\geq d_v duw≥dv即 d v − d u ≤ w d_v-d_u\leq w dv−du≤w
对比 x v − x u ≤ b i x_v-x_u\leq b_i xv−xu≤bi
因此对于每个限制条件 x v − x u ≤ b i x_v-x_u\leq b_i xv−xu≤bi我们可以在图上给 u u u到 v v v连接一条边权为 b i b_i bi的有向边。 同时建立一个虚拟源点 S S S向着每个点连接一个长度为 0 0 0的边。
如果图中不存在负环那么可以使用单源最短路径算法求出所有的 d u d_u du则 x i d i x_id_i xidi就是原问题的一组可行解。如果有负环说明无解。
定理图中没有负环是差分约束系统有解的充要条件。
充分性显然因为我们可以构造出一组解。
必要性 如果图中存在负环那么说明此差分约束系统无解 设图中有一个负环 w 1 w 2 w 3 0 w_1w_2w_30 w1w2w30 x 1 w 1 ≥ x 2 x_1w_1\geq x_2 x1w1≥x2 x 1 w 1 w 2 ≥ x 2 w 2 ≥ x 3 x_1w_1w_2\geq x_2w_2\geq x_3 x1w1w2≥x2w2≥x3 x 1 w 1 w 2 w 3 ≥ x 3 w 3 ≥ x 1 x_1w_1w_2w_3 \geq x_3w_3\geq x_1 x1w1w2w3≥x3w3≥x1 x 1 w 1 w 2 w 3 ≥ x 1 x_1w_1w_2w_3 \geq x_1 x1w1w2w3≥x1 这说明 x 1 一个负数 ≥ x 1 x_1一个负数\geq x_1 x1一个负数≥x1这是不可能的因此这个差分约束系统是矛盾的无解。
QED.
性质
这样建图跑最短路求出的解是具有一定性质的具体来说是 x i ∈ [ 1 , n ] ≤ 0 x_{i\in[1,n]}\leq 0 xi∈[1,n]≤0对于任意差分约束系统的一组解 { x n ′ } \left\{x_{n}\right\} {xn′}满足 x i ∈ [ 1 , n ] ′ ≤ 0 x_{i\in[1,n]}\leq 0 xi∈[1,n]′≤0都有 x i ≥ x i ′ ( i ∈ [ 1 , n ] ) x_i\geq x_i(i\in[1,n]) xi≥xi′(i∈[1,n])也就称为最大解对于所有解 x i ∈ [ 1 , n ] ′ ≤ 0 x_{i\in[1,n]}\leq 0 xi∈[1,n]′≤0都有 ∑ n i 1 x i ≥ ∑ n i 1 x i ′ \underset{i1}{\overset n\sum}x_i\geq\underset{i1}{\overset n\sum}x_i i1∑nxi≥i1∑nxi′
证明
只需证明性质2性质1、3显然 首先考虑虚拟源点 S S S的意义即我们令 x S x_S xS表示一个新量我们连零边表示 x i ∈ [ 1 , n ] − x S ≤ 0 x_{i\in[1,n]}-x_S\leq 0 xi∈[1,n]−xS≤0。 然后我们在跑最短路时强制 x S d S 0 x_Sd_S0 xSdS0因此我们连零边实际上限制了 x i ∈ [ 1 , n ] ≤ 0 x_{i\in[1,n]}\leq 0 xi∈[1,n]≤0
接下来考虑 对于 x i d i x_id_i xidi假设其对应的某条从 S S S到 i i i的最短路径依次经过了点 u 0 S , u 1 , u 2 , . . . , u k i u_0S,u_1,u_2,...,u_ki u0S,u1,u2,...,uki则经过的边对应的不等式为 x u j − x u j − 1 ≤ w j x_{u_j}-x_{u_{j-1}}\leq w_j xuj−xuj−1≤wj 求和得到 ∑ k j 1 x u j − x u j − 1 ≤ ∑ k j 1 w j \underset{j1}{\overset k\sum}x_{u_j}-x_{u_{j-1}}\leq \underset{j1}{\overset k\sum} w_j j1∑kxuj−xuj−1≤j1∑kwj
由于裂项 x u k − x u 0 ≤ ∑ k j 1 w j x_{u_k}-x_{u_0}\leq \underset{j1}{\overset k\sum}w_j xuk−xu0≤j1∑kwj
由于我们指定了 x S 0 x_S0 xS0也就是说 x i ≤ ∑ k j 1 w j x_i\leq \underset{j1}{\overset k\sum}w_j xi≤j1∑kwj
这给出了此差分约束系统中满足所有变量都 ≤ 0 \leq 0 ≤0的任意一个解中 x i x_i xi的一个上界。
同时我们断言这个上界是可以取到的并且 x i d i ∑ k j 1 w j x_id_{i}\underset{j1}{\overset k\sum}w_j xidij1∑kwj原因如下因为刚才经过的边事实上是由 S S S到 i i i的最短路径根据相关理论我们有 d i s S , u j − d i s S , u j − 1 w j dis_{S,u_j}-dis_{S,u_{j-1}}w_j disS,uj−disS,uj−1wj
求和得到 ∑ k j 1 d i s S , u j − d i s S , u j − 1 ∑ k j 1 w j \underset{j1}{\overset k\sum}dis_{S,u_j}-dis_{S,u_{j-1}} \underset{j1}{\overset k\sum} w_j j1∑kdisS,uj−disS,uj−1j1∑kwj
由于裂项 d i s S , i ∑ k j 1 w j dis_{S,i}\underset{j1}{\overset k\sum}w_j disS,ij1∑kwj
因此我们知道 x i d i d i s S , i ∑ k j 1 w j x_id_idis_{S,i}\underset{j1}{\overset k\sum}w_j xididisS,ij1∑kwj证明上界可以取到。
QED.
最长路差分约束
如果我们用 d u d_u du表示 S S S到 u u u的最长路那么对于有向边 ( u , v ) (u,v) (u,v) d u w ≤ d v d_uw\leq d_v duw≤dv d u − d v ≤ − w d_u-d_v\leq -w du−dv≤−w 即 x u − x v ≤ b i x_u-x_v\leq b_i xu−xv≤bi
那么 b i − w b_i-w bi−w即 w − b i w-b_i w−bi
那么从 u u u向 v v v连接一条长度为 − b i -b_i −bi的有向边。 在从虚拟源点 S S S向着每个点连接一个边权为 0 0 0的有向边。
求出图中的最长路即为差分约束系统的一组解。 同理图中如果存在正环就无解。
性质
这样建图跑最长路求出的解也具有一定性质的具体来说是 x i ∈ [ 1 , n ] ≥ 0 x_{i\in[1,n]}\geq 0 xi∈[1,n]≥0对于任意差分约束系统的一组解 { x n ′ } \left\{x_{n}\right\} {xn′}满足 x i ∈ [ 1 , n ] ′ ≥ 0 x_{i\in[1,n]}\geq 0 xi∈[1,n]′≥0都有 x i ≤ x i ′ ( i ∈ [ 1 , n ] ) x_i\leq x_i(i\in[1,n]) xi≤xi′(i∈[1,n])也就称为最小解对于所有解 x i ∈ [ 1 , n ] ′ ≥ 0 x_{i\in[1,n]}\geq 0 xi∈[1,n]′≥0都有 ∑ n i 1 x i ≤ ∑ n i 1 x i ′ \underset{i1}{\overset n\sum}x_i\leq\underset{i1}{\overset n\sum}x_i i1∑nxi≤i1∑nxi′
证明同理。
其他问题
各类限制转化
通常讨论的差分约束问题往往变量为整数对于一些其他形式的简单线性不等式可以转化为差分约束问题 x − y ≤ b x-y\leq b x−y≤b x − y b ⇒ x − y ≤ b − 1 x-yb\Rightarrow x-y\leq b-1 x−yb⇒x−y≤b−1 x − y ≥ b ⇒ y − x ≤ − b x-y\geq b\Rightarrow y-x\leq -b x−y≥b⇒y−x≤−b x − y b ⇒ y − x − b x-yb\Rightarrow y-x-b x−yb⇒y−x−b x − y b ⇒ x − y ≤ b 且 x − y ≥ b x-yb\Rightarrow x-y\leq b且x-y\geq b x−yb⇒x−y≤b且x−y≥b当然如果全是等式限制直接高斯消元更好
通常差分约束可能涉及对题意进行差分/前缀和转化。
正解/负解
建最短路得出的解一定是非正解并且是最大解。 建最长路得出的解一定是非负解并且是最小解。
同时注意到对一组可行解的每个变量都加 k k k之后这个解仍然是可行解因此我们可以获得全正/全负解。
后记
于是皆大欢喜。
