电脑端网站和手机网站区别,商标图案大全大图 logo,做教育机器网站,道德建设 网站本文是对数学二线性代数基础进行总结#xff0c;一些及极其简单的被省略了#xff0c;代数的概念稀碎#xff0c;不如高数关联性高#xff0c;所以本文仅供参考#xff0c;做题请从中筛选#xff01;
本文为初稿#xff0c;后面会根据刷题和自己的理解继续更新
第一章…本文是对数学二线性代数基础进行总结一些及极其简单的被省略了代数的概念稀碎不如高数关联性高所以本文仅供参考做题请从中筛选
本文为初稿后面会根据刷题和自己的理解继续更新
第一章行列式
基本概念
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求n阶行列式:余子式的余子式是除去i行、j列的其余项组成的行列式代数余子式按某行展开,元素乘其代数余子式然后相加
记
行列互换值不变若某行元素全为0行列式为0k*行列式对行列式的一行都乘k倍某行元素是两个数之和可以拆成两个行列式之和行列式两行互换行列式变号行列式中某行的k倍加到另一行行列式不变
重要行列式
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主对角线行列式无论上下都是主对角线的乘积这个概念对于分块矩阵也成立称为拉普拉斯展开式副对角线行列式副对角线元素的乘积分块阵,AB为副对角线行列式乘积m、n分别为A、B的阶数范德蒙德行列式形如的行列式其值为
行列式计算
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爪型行列式利用斜爪消去竖爪或者横爪。然后展开递推法找规律适用与宽对角类型的行列式行列式递推法1_哔哩哔哩_bilibili抽象型行列式性质、|AB||A||B|、将行列式拆分成两个行列式的乘积余子式和代数余子式的线性组合行列式按行或按列展开的“逆过程”。如给|A|和代数余子式的线性组合把线性组合的系数换掉其按行展开的行求出行列式就是代数余子式的和求解n元非齐次方程组克拉默法则非齐次线性方程组的行列式行列式不带等号右边的常数项若不等于0则方程组存在唯一解且解为是常数项等号右边的值替换第i列得到的行列式。
第二章矩阵
矩阵基本运算
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不满足交换律加法每项相加数乘每项都乘转置矩阵的性质相当重要
特殊矩阵
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数量矩阵k倍的单位矩阵对称矩阵满足条件的矩阵称为对称矩阵反对称矩阵满足条件对角线为0分块矩阵比较特殊的就是分块矩阵的n次幂、求逆、正交矩阵A的行列向量是规范正交基正交的长度为单位1的向量。
矩阵的逆
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本质定义ABBAE则B为A的逆可逆的充要条件是可以把-1理解成负一次方或者就是把A做的变换反向变回去重要性质、、求逆矩阵定义法ABBAE、用伴随矩阵、初等变换求逆矩阵
伴随矩阵
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本质:定义:由A的代数余子式构成的矩阵、、、、求逆矩阵的公式求伴随矩阵定义法、用逆矩阵求伴随
初等矩阵
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本质对另一个矩阵进行初等变换初等变换包括数乘、互换、倍加初等矩阵都可逆逆矩阵也为初等矩阵后面可以看一下初等变换逆前后对另一个矩阵的影响的变化可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积。对A作初等行变换相当于左乘初等矩阵列则是右。初等变换求逆矩阵
矩阵方程
,类似可自行推理
等价矩阵和等价标准型
P、Q为初等矩阵也就是说A通过初等变换可以变成B则A和B等价。将其化为,r为矩阵的秩。这个矩阵为等价标准型。求可逆矩阵P1、单个把A化到B的过程每次行变换的矩阵相乘即可。2、求所有的可逆矩阵P第四讲方程组求解再来看
矩阵的秩
本质定义存在k阶子式子不为0任意k1阶子式全为0矩阵的秩r(A)k。k是A的线性无关向量的个数k个线性无关的向量任意k1个向量线性相关。如何理解线性相关和线性无关线性无关的向量撑起“整个空间”线性相关的则是由这些线性无关向量表示“躺平”在这个空间里。重要式子、、、、、、、
第三章向量组
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正交向量,本质是垂直向量向量的模,二维向量为例好记标准正交基本质就是相互垂直的单位向量组线性无关向量组中的每个向量都是“基础”的它们独立存在没有多余的部分线性相关向量组中有一些向量是“多余的”可以由其他向量通过线性组合得到存在不全为0的数使成立其中k为0的就是多余的向量
线性相关、线性无关
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判定线性相关的定理
线性相关向量组中至少有一个向量可由其余的向量线性表示。本质是存在非0的k逆否命题线性无关向量中任何向量都不能由其余向量表示本质不存在非0的k向量组a线性无关a加一个向量后线性相关则可由向量组a线性表示且唯一。本质是引入了冗余向量大向量组b可由小a线性表示大小体现在列则向量组b线性相关。本质b 中所有向量实际上都“依赖”于 amm列个n行维向量组线性相关其所构成的齐次线性方程组0有非零解构成的矩阵的秩m列数本质把方程列出来化简之后就是线性相关的定义若有非零解就是k不全为0m-秩自由度存在自由度使方程0等价就是线性无关充要条件是齐次方程组只有零解可由向量组a表示非齐次线性方程组有解r([a,])r([a]) 本质在a的空间内可由a表示如果向量组a一部分线性相关则整个向量组线性相关小部分就能概括整个空间则其余的都是多余向量逆否命题如果a向量无关则任何一部分向量组都线性无关。如果n维向量组a线性无关则向量组添加m个分量得到的向量组(mn)维也是线性无关。添加的分量是独立的信息没有引入与原来a线性相关的冗余逆否命题a线性相关去掉若干分类后也是线性相关。总结判断能不能线性表示就看添加后是否多一维秩如果向量为撑起空间的向量则不能被线性表示如果向量不是撑起空间的向量则可以被线性表示
记
自由度就是对秩展成的空间的约束
极大线性无关组
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本质向量组中撑起空间的那几个向量的集合求极大线性无关组用进行初等行变换找出和矩阵秩相同的子矩阵就是不唯一也就是说求极大线性无关组可以作为空间的基向量表示其他向量。那怎么表示其他向量呢用矩阵乘法基向量*倍数矩阵。
等价向量组
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本质两个向量组可以相互线性表示同一个空间中的同一个子空间只是使用的基向量不同记为等价向量组有传递性、对称性若r(a)r(B)r(A,B)三秩相同
向量组的秩
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三秩相等r(A)A的行秩A的列秩等价向量组秩相等对A进行初等行变换后变为BA、B的行向量是等价向量组向量组A、B若A中向的向量均可由B线性表示则r(A)r(B)A 的向量组实际上“依赖于” B 的向量组说明 A 张成的子空间是 B 张成空间的子空间r(AB)r(A,B)r(A)r(B)
第四章线性方程组
齐次线性方程组
r(A)nn为未知数的数量此时有唯一0解此时向量组为线性无关只有x全为0的时候成立r(A)rn有非零解无穷多个且有n-r个线性无关解自由度基础空间r约束(自由度)总维度n。求解方法1、行变换化为行阶梯型矩阵方便看秩。2、找出一个秩为r的子矩阵其余位置为自由变量明确自由变量。3、设基础解系个数为n-r。4、设解中自由变量的位置为任意值方便解题就行一般是0或1然后用A的每非0行和基础解系相乘求出基础解系所有项。5、k*基础解系然后相加即可。基础解系的理解秩组成了基本的空间如三维自由项就是在三维上开辟一个二维的子空间通过原点的线性子空间这个子空间由基础解系描述
非齐次线性方程组
为A的增广矩阵。,方程无解说明增广矩阵引入了新的独立方向B不在A的空间内方程有唯一解B在A内没有自由项所以解空间被完全限制只要一个,方程有无穷多解基础解系的理解与非齐次的相同但其描述的是偏移的线性子空间与一阶的通过原点的不同。求解方法1、求出齐次方程通解2、求出特解设一个特解选出秩相同的子矩阵令自由变量全为0带入行求出其他值3、解通解特解
公共解
A与B的公共解其实就是求通解的公共部分
同解方程组
A与B有完全相同的解三秩相同
第五章特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量
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本质矩阵A对这个特殊的向量的变换就是λ而这个特殊的向量就是特征向量为特征值方程有非零解所以这个叫做特征方程可求出的n个解。求这个需要做多项式除法若为A的n个 特征值是A的属于的特征向量是的解k重特征值至多只有k个线性无关的特征向量k重特征值是A对多个不同的k个特征向量有相同的作用效果特征值的“重数”表示矩阵 A 对某些方向特征向量的作用是重复的但这些方向独立的最大数量几何自由度由重数 k 限制其实跟没说一样就是说当k个重复特征值的时候仍可以有k个线性无关向量只是提供一个上限提示一下比k少的可以有。若n个特征向量是A的属于不同特征值的特征向量则这n个特征向量线性无关线性相关的特征向量A的特征值一定相同而线性无关的可以相同也可以不同若为A的属于同一不同特征值的特征向量则仍是不是A的属于特征值的特征向量线性子空间的任意线性组合仍然属于这个子空间常规矩阵的特征值和特征向量
相似矩阵
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,则AB相似记为A~B这个相似有传递性相似矩阵的必要性|A||B|、r(A)r(B)、tr(A)tr(B)、、、AB的各阶主子式之和分别相等A~B则、、。以上结论A到B的手段与其变化后A到B的手段相同。若A~CB~D则如何求相似定义、传递性、必要性反正不相似
相似对角化
本质,为对角矩阵则A可相似对角化是A的相似标准型可相似对角化的充要条件n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。A对应每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量可相似对角化的充分条件n阶矩阵有n个不同的特征值n阶矩阵为实对称矩阵满秩计算求可逆阵P1、求特征值2、求特征向量3、把向量按列排就是P由特征值、特征向量反推A
实对称矩阵的相似对角化
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对称阵A的不同特征值的特征向量相互正交利用的性质推出求实对称矩阵的相似对角化的基本步骤是1、求特征值2、求特征向量3、将特征向量正交化why:因为要求正交矩阵Q4、按列排就是Q施密特正交化公式将非正交积化为正交积
第六章二次型
二次型的定义
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本质就是个二元齐次多项式f(x)写成的形式用矩阵A表示。A为f(x)的二次型矩阵。
合同变换
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本质把x换成y把一个二次型通过线性变换化为另一个二次型()A和B的关系 .若存在可逆矩阵C使。则。从表达式A表示到表达式B表示换系合同必等价、对称矩阵合同也是对称矩阵合同标准型没有交叉项只有平方项规范型把标准型的系数都化为1,0,-1定理1、任何实对称矩阵A(任何二次型)必存在可逆矩阵C使得对角阵且为规范型2、扩展到正交变换Q。惯性定理正系数正惯性指数和负系数负惯性指数的个数是不变的。合同变换下的不变量就是惯性指数秩r正惯性指数负惯性指数合同的充要条件有相同的正负惯性指数在对称条件下相似一定合同合同和相似的区别 配方法化二次型1、把二次型化成的形式2、令y1,y2,y3等于平方项内的x的和3、解出xy1...也就是xCy4、然后换元带入把二次型变为y的标准型5、求出|C|不为0则可以做可逆线性变换。
正定二次型
正定二次型正惯性指数pn存在可逆矩阵DAEA的特征值全部0A的全部顺序主子式均大于0顺序主子式看图二次型正定的必要条件系数都大于0|A|0
