哪里有网站制作,京东网站建设步骤,怎么查网站有没有做推广,wordpress自带主题优化文章目录 1 分块矩阵的定义2 分块矩阵的运算#xff08;性质#xff09;3 按列分块与按行分块 结语 1 分块矩阵的定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵#xff0c;每一个小矩阵称为A的子快#xff0c;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2 分块矩阵的运算… 文章目录 1 分块矩阵的定义2 分块矩阵的运算性质3 按列分块与按行分块 结语 1 分块矩阵的定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵每一个小矩阵称为A的子快以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2 分块矩阵的运算性质 设矩阵A与B的行数相同列数相同采用相同的分块法有 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , B ( B 11 ⋯ B 1 r ⋮ ⋮ B s 1 ⋯ B s r ) A\begin{pmatrix} A_{11}\cdotsA_{1r}\\ \vdots\vdots\\ A_{s1}\cdotsA_{sr} \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} B_{11}\cdotsB_{1r}\\ \vdots\vdots\\ B_{s1}\cdotsB_{sr} \end{pmatrix}\\ A A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr ,B B11⋮Bs1⋯⋯B1r⋮Bsr 其中 A i j 与 B i j A_{ij}与B_{ij} Aij与Bij行数相同列数相同那么 A B ( A 11 B 11 ⋯ A 1 r B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 B s 1 ⋯ A s r B s r ) AB\begin{pmatrix} A_{11}B_{11}\cdotsA_{1r}B_{1r}\\ \vdots\vdots\\ A_{s1}B_{s1}\cdotsA_{sr}B_{sr} \end{pmatrix} AB A11B11⋮As1Bs1⋯⋯A1rB1r⋮AsrBsr 设 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , λ 为数那么 A\begin{pmatrix} A_{11}\cdotsA_{1r}\\ \vdots\vdots\\ A_{s1}\cdotsA_{sr} \end{pmatrix} ,\lambda为数那么 A A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr ,λ为数那么 λ A ( λ A 11 ⋯ λ A 1 r ⋮ ⋮ λ A s 1 ⋯ λ A s r ) \lambda A\begin{pmatrix} \lambda A_{11}\cdots\lambda A_{1r}\\ \vdots\vdots\\ \lambda A_{s1}\cdots\lambda A_{sr} \end{pmatrix} λA λA11⋮λAs1⋯⋯λA1r⋮λAsr 设A位 m × l m\times l m×l矩阵B位 l × n l\times n l×n矩阵分块成 A ( A 11 ⋯ A 1 t ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s t ) , B ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A t 1 ⋯ A t r ) A\begin{pmatrix} A_{11}\cdotsA_{1t}\\ \vdots\vdots\\ A_{s1}\cdotsA_{st} \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} A_{11}\cdotsA_{1r}\\ \vdots\vdots\\ A_{t1}\cdotsA_{tr} \end{pmatrix} A A11⋮As1⋯⋯A1t⋮Ast ,B A11⋮At1⋯⋯A1r⋮Atr 其中 A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i t A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{it} Ai1,Ai2,⋯,Ait的列数分别等于 B 1 j , B 2 j , ⋯ , B t j B_{1j},B_{2j},\cdots,B_{tj} B1j,B2j,⋯,Btj的行数那么 A B ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) AB\begin{pmatrix} C_{11}\cdotsC_{1r}\\ \vdots\vdots\\ C_{s1}\cdotsC_{sr} \end{pmatrix} AB C11⋮Cs1⋯⋯C1r⋮Csr 其中 C i j ∑ k 1 t A i k B k j ( i 1 , ⋯ , s ; j 1 , ⋯ , r ) C_{ij}\sum_{k1}^tA_{ik}B_{kj}(i1,\cdots,s;j1,\cdots,r) Cijk1∑tAikBkj(i1,⋯,s;j1,⋯,r) 设 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) 则 A T ( A 11 T ⋯ A s 1 T ⋮ ⋮ A 1 r T ⋯ A s r T ) A\begin{pmatrix} A_{11}\cdotsA_{1r}\\ \vdots\vdots\\ A_{s1}\cdotsA_{sr} \end{pmatrix} 则A^T\begin{pmatrix} A_{11}^T\cdotsA_{s1}^T\\ \vdots\vdots\\ A_{1r}^T\cdotsA_{sr}^T \end{pmatrix} A A11⋮As1⋯⋯A1r⋮Asr 则AT A11T⋮A1rT⋯⋯As1T⋮AsrT 设A为n阶方阵若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块其余子块都为零矩阵且在对角线上的子块都是方阵即 A ( A 1 O A 2 ⋱ O A s ) A\begin{pmatrix} A_{1}O\\ A_2\\ \ddots\\ OA_s \end{pmatrix} A A1OA2⋱OAs 其中 A i ( i 1 , 2 , ⋯ , s ) A_i(i1,2,\cdots,s) Ai(i1,2,⋯,s)都方阵那么称A为分块对角矩阵。 分块对角矩阵的行列式有以下性质 ∣ A ∣ ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A s ∣ |A||A_1||A_2|\cdots |A_s| ∣A∣∣A1∣∣A2∣⋯∣As∣ 由此性质可知若 ∣ A i ∣ ̸ 0 i i , 2 , ⋯ , s ) |A_i|\not0ii,2,\cdots,s) ∣Ai∣0ii,2,⋯,s)则 ∣ A ∣ ̸ 0 |A|\not0 ∣A∣0并有 A − 1 ( A 1 − 1 O A 2 − 1 ⋱ O A s − 1 ) A^{-1}\begin{pmatrix} A_{1}^{-1}O\\ A_2^{-1}\\ \ddots\\ OA_s^{-1} \end{pmatrix} A−1 A1−1OA2−1⋱OAs−1 例18 设 A ( 5 0 0 0 3 1 0 2 1 ) 求 A − 1 A\begin{pmatrix} 500\\ 031\\ 021 \end{pmatrix} 求A^{-1} A 500032011 求A−1 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vline at position 24: …gin{pmatrix} 5\̲v̲l̲i̲n̲e̲00\\ \hdashlin…
3 按列分块与按行分块 m × n m\times n m×n矩阵A有n列称为矩阵A的n个列向量若第j列记作 a j ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) a_j\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix} aj a1ja2j⋮amj 则A可按列分块位 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A(a_1,a_2,\cdots,a_n) A(a1,a2,⋯,an) m × n m\times n m×n矩阵A有m行称为矩阵A的m个行向量若第 i i i行记作 α i T ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i n ) \alpha_i^T(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}) αiT(ai1,ai2,⋯,ain) 则A可按行分开为 A ( α 1 T α 2 T ⋮ α m T ) A\begin{pmatrix} \alpha_1^T\\ \alpha_2^T\\ \vdots\\ \alpha_m^T \end{pmatrix} A α1Tα2T⋮αmT 对于矩阵 A ( a i j ) m × s A(a_{ij})_{m\times s} A(aij)m×s与矩阵 B ( b i j ) s × n B(b_{ij})_{s\times n} B(bij)s×n的乘积矩阵 A B C ( c i j ) m × n ABC(c_{ij})_{m\times n} ABC(cij)m×n若把A按行分成m快把B案列分成n快便有 A B ( α 1 T α 2 T ⋮ α m T ) ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ( α 1 T b 1 α 1 T b 2 ⋯ α 1 T b n α 2 T b 1 α 2 T b 2 ⋯ α 2 T b n ⋮ ⋮ ⋮ α m T b 1 α m T b 2 ⋯ α m T b n ) AB\begin{pmatrix} \alpha_1^T\\ \alpha_2^T\\ \vdots\\ \alpha_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1,b_2,\cdots,b_n\\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} \alpha_1^Tb_1\alpha_1^Tb_2\cdots\alpha_1^Tb_n\\ \alpha_2^Tb_1\alpha_2^Tb_2\cdots\alpha_2^Tb_n\\ \vdots\vdots\vdots\\ \alpha_m^Tb_1\alpha_m^Tb_2\cdots\alpha_m^Tb_n\\ \end{pmatrix} AB α1Tα2T⋮αmT (b1,b2,⋯,bn) α1Tb1α2Tb1⋮αmTb1α1Tb2α2Tb2⋮αmTb2⋯⋯⋯α1Tbnα2Tbn⋮αmTbn 其中 c i j α i T b j ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i s ) ( b 1 j b 2 j ⋮ b s j ) ∑ k 1 s a i k b k j c_{ij}\alpha_i^Tb_j(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is}) \begin{pmatrix} b_{1j}\\ b_{2j}\\ \vdots\\ b_{sj} \end{pmatrix} \sum_{k1}^sa_{ik}b_{kj} cijαiTbj(ai1,ai2,⋯,ais) b1jb2j⋮bsj k1∑saikbkj
例19 证明矩阵 A O AO AO的充分必要条件是方阵 A T A O A^TAO ATAO 证明条件的必要性是显然的 充分性 设 A ( a i j ) m × n 把 A 按列分块位 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) 则 A T A ( a 1 T a 2 T ⋮ a n T ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( a 1 T a 1 a 1 T a 2 ⋯ a 1 T a n a 2 T a 1 a 2 T a 2 ⋯ a 2 T a n ⋮ ⋮ ⋮ a n T a 1 a n T a 2 ⋯ a n T a n ) 即 A T A 的 ( i , j ) 元为 a i T a j 因 A T A O 故 a i T a j 0 ( i , j 1 , 2 , ⋯ , n ) 特殊的有 a j T a j 0 ( j 1 , 2 , ⋯ , n ) 而 a j T a j ( a 1 j , a 2 j , ⋯ , a m j ) ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) a 1 j 2 a 2 j 2 ⋯ a m j 2 0 , 得 a 1 j a 2 j ⋯ a m j 0 即 A O 证明条件的必要性是显然的\\ 充分性\\ 设A(a_{ij})_{m\times n}把A按列分块位A(a_1,a_2,\cdots,a_n)则\\ A^TA\begin{pmatrix} a_1^T\\ a_2^T\\ \vdots\\ a_n^T \end{pmatrix} (a_1,a_2,\cdots,a_n)\\ \begin{pmatrix} a_1^Ta_1a_1^Ta_2\cdotsa_1^Ta_n\\ a_2^Ta_1a_2^Ta_2\cdotsa_2^Ta_n\\ \vdots\vdots\vdots\\ a_n^Ta_1a_n^Ta_2\cdotsa_n^Ta_n\\ \end{pmatrix}\\ 即A^TA的(i,j)元为a_i^Ta_j 因A^TAO故\\ a_i^Ta_j0(i,j1,2,\cdots,n) 特殊的有\\ a_j^Ta_j0(j1,2,\cdots,n)\\ 而 a_j^Ta_j(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}) \begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\ a_{mj} \end{pmatrix} a_{1j}^2a_{2j}^2\cdotsa_{mj}^20,得\\ a_{1j}a_{2j}\cdotsa_{mj}0\\ 即 AO 证明条件的必要性是显然的充分性设A(aij)m×n把A按列分块位A(a1,a2,⋯,an)则ATA a1Ta2T⋮anT (a1,a2,⋯,an) a1Ta1a2Ta1⋮anTa1a1Ta2a2Ta2⋮anTa2⋯⋯⋯a1Tana2Tan⋮anTan 即ATA的(i,j)元为aiTaj因ATAO故aiTaj0(i,j1,2,⋯,n)特殊的有ajTaj0(j1,2,⋯,n)而ajTaj(a1j,a2j,⋯,amj) a1ja2j⋮amj a1j2a2j2⋯amj20,得a1ja2j⋯amj0即AO 线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a 1 n x n b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 ⋯ a 2 n x n b 2 , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x 1 a m 2 x 2 ⋯ a m n x n b m , \begin{cases} a_{11}x_1a_{12}x_2\cdotsa_{1n}x_nb_1,\\ a_{21}x_1a_{22}x_2\cdotsa_{2n}x_nb_2,\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_1a_{m2}x_2\cdotsa_{mn}x_nb_m,\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1a12x2⋯a1nxnb1,a21x1a22x2⋯a2nxnb2,⋯⋯⋯⋯am1x1am2x2⋯amnxnbm, 它的矩阵乘积形式为 A m × n x n × 1 b m × 1 A_{m\times n}x_{n\times 1}b_{m\times 1} Am×nxn×1bm×1 上式中把A案列分块把x按行分块有分块矩阵的乘法有 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( x 1 , x 2 , ⋮ x n ) b , 即 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n b (a_1,a_2,\cdots,a_n) \begin{pmatrix} x_1,\\ x_2,\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} b,即\\ x_1a_1x_2a_2\cdotsx_na_nb (a1,a2,⋯,an) x1,x2,⋮xn b,即x1a1x2a2⋯xnanb 其实方程组表成 ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) x 1 ( a 12 a 22 ⋮ a m 2 ) x 2 ⋯ ( a 1 n a 2 n ⋮ a m n ) x n ( b 1 b 2 ⋮ b m ) \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}x_1 \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix}x_2 \cdots \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}x_n \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} a11a21⋮am1 x1 a12a22⋮am2 x2⋯ a1na2n⋮amn xn b1b2⋮bm
结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p46-52.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p12.
