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一#xff0c;z逆变换相关概念
二#xff0c;留数定理相关概念
三#xff0c;习题 一#xff0c;z逆变换相关概念
接下来开始学习z变换的反变换-z逆变换#xff08;z反变化#xff09;。
由象函数 求它的原序列 的过程就称为 逆变换。即 。
求z逆变换…目录
一z逆变换相关概念
二留数定理相关概念
三习题 一z逆变换相关概念
接下来开始学习z变换的反变换-z逆变换z反变化。
由象函数 求它的原序列 的过程就称为 逆变换。即 。
求z逆变换的方法通常有三种围线积分法部分分式展开法和长除法。
由于原序列 就是罗朗级数因此用围线积分法求z逆变换的积分公式如下 可以看到上式比较复杂如果直接计算围线积分会比较麻烦因此可以借助复变函数的留数定理来计算出围线积分的结果。
二留数定理相关概念
在使用留数定理之前需要知道的基础知识点如下也可以去看《复变函数》这本书
复值函数是指其值域为复数的函数输入输出都是复数。例如求z逆变换的积分公式中的 就是复值函数输入自变量z 是复数输出因变量 也是复数。为了简化运算过程一般令 解析函数也叫全纯函数在某个区域内可以用幂级数展开的复值函数如果复值函数在某一点可微在该点的领域内也可微则称之为解析函数。 解析函数有一个很重要的性质导数存在。 导数存在可以推出该函数具有可微性在复分析中如果一个解析函数的导数存在那么该函数在其定义域内是可微的。也可以知道该函数具有连续性。留数用 Res(复值函数孤立奇点) 表示。由于积分公式中有复值函数 因此可以假设复值函数为同时假设存在孤立奇点 则留数可表示为 。孤立奇(qi)点是指一个复函数在某一点的邻域内不定义或不解析但在该点的某个邻域外是解析的。奇点又称为奇异点。 假设复函数 在 处是奇点 那么孤立奇点可以分为以下三类 1本性奇点 极限不存在。 2可去奇点 极限存在且有限。 3极点 极限存在且为无穷。 在使用围线积分法求 逆变换的计算中孤立奇点都找极点位置。即 留数定理通过计算留数的结果得到原序列
三习题
例如给出一道题要求使用留数法求逆变换求象函数的原序列如下
题目1已知分别求
1收敛域对应的原序列
2收敛域对应的原序列
解
1
// 先将 的分母因式分解
∵ // 分子分母同时乘 分式的大小值不变 // 分母使用十字相乘法化简
又∵ 积分公式 且
∴
∵
// 符合双边序列的变换收敛域离散时间变量 // 如果z变换不清楚的可以查看下面的文章 // 《数字信号处理》学习07-z变换_左边序列,右边序列、双边序列。-CSDN博客 所以的极点可以分为如下两种情况 ① 当 时分子上存在一个极点即令得
分母存在两个极点即 当时得
当时得
对应的z平面收敛域及围线C所包围的区域如下 // 观察上图可以发现围线C所包围的圆里面有两个极点 和
// 由于 是n阶的极点因此围线C所包含的极点需要反着取即使用围线C外极点
如下图
//从上图可以看到围线C外的极点只有一个
∵
// 使用留数定理时由于是围线C外积分因此留数的值需要取负数
∴ ② 当 时
分母存在两个极点即 当时得
当时得
但围线C只能包含一个极点如下图 // 使用留数定理取的是围线C内的极点因此留数为正。 综上原序列 2求 收敛域对应的原序列 。
根据题目可得
象函数的收敛域符合右边序列的收敛域形式由于收敛域的外部区域通常与因果序列相关该右边序列是因果序列。因此这里只讨论当 时的情况
分母上的两个极点分别为
对应的围线C所包含的极点如下图所示 // 使用留数定理因为极点都在围线C内所以留数前面为正不加负号。 所以当收敛域时对应的原序列为 。 题目2用留数法求下面象函数 的原序列 解
// 先将式子中z变量的指数变成正数分子分母同时乘式子大小不变题目式子变为如下
∵ 积分公式
又∵ // 因式分解 ∴
∵ 符合右边序列的z变换收敛域且该右边序列为因果序列此时
∴ 在z复平面上的收敛域及围线C的位置如下图所示
// 观察上图可以看到极点位于围线C内因此留数定理使用的是C内积分。 // 因为是因果序列序列的离散时间变量n只分布在坐标轴的右边所以需要加上n的取值范围
// 一般将序列乘上单位阶跃信号就可以表示该序列只在正半轴有取值。
所以当收敛域 时对应的原序列为 。 题目3用留数法求下面象函数 的原序列 解 1
∵ 积分公式
∴ // 分子分母同时乘 大小不变
∵ 符合右边序列z变换的收敛域且该右边序列为因果序列此时
∴在分母上存在两个极点
在z复平面上的收敛域如下图所示
∵极点都位于围线C内c内极点留数前面不用加负号。
// 根据留数定理可求出原序列 // 因为是因果序列序列的离散时间变量n只分布在坐标轴的右边所以需要加上n的取值范围
// 一般将序列乘上单位阶跃信号就可以表示该序列只在正半轴有取值。
所以当收敛域 时对应的原序列为 。 2
由题1得
∵ 符合双边序列z变换的收敛域此时
∴需要进行分类讨论
当 时分子上存在极点
∴在分母上存在两个极点
// 因为是n阶极点所以留数定理使用的是围线C外的极点
在z复平面上的收敛域如下图所示 // 观察上图可以看到围线C外的极点只有一个此时的留数公式前需要加上负号 // 因为上面是在n0时求出的结果即单位阶跃信号翻褶之后再向左平移一个单位u(-n-1)所以需要加上定义域上式结果乘上u(-n-1)
当 时
// 接下来讨论n0的情况
当 时不存在n阶极点z0收敛域依旧不变此时围线C所包含的极点有一个如下 // 观察上图可以看到围线C内的极点有一个此时的留数公式前不需要加上负号 // 因为上面是在n0时求出的结果所以需要加上定义域上式结果乘上u(n)
当 时
// 最后将 n0 和 n0的结果合并在一起
综上收敛域为 的原序列为 3
由题1得
∵ 符合左边序列z变换的收敛域收敛域及围线C围在小于1/4的位置如下 // 观察上图可以看到围线C内无极点而在围线C外存在两个极点此时留数前需要加负号 // 因为上面是在n0时求出的结果即单位阶跃信号翻褶之后再向左平移一个单位u(-n-1)所以需要加上定义域上式结果乘上u(-n-1)
当 时原序列为 以上就是用留数法求z逆变换的相关内容上述的计算也可以使用分部积分法和长除法后面我会接着学习有兴趣的关注专栏有问题的请在评论区留言或者是私信我回复时间不超过一天。
