设计网站首页多少钱,郑州市网站,个人做论坛网站需要哪些备案,上海网站备案在哪里查询假设我们研究学生的数学成绩、英语成绩和学习时间之间的关系。收集了100名学生这三项数据作为样本。
样本协方差矩阵
计算得到的样本协方差矩阵如下#xff08;假设数据简化#xff09;#xff1a; [ V a r ( 数学 ) C o v ( 数学 , 英语 ) C o v ( 数学 , 学习时间 ) C …假设我们研究学生的数学成绩、英语成绩和学习时间之间的关系。收集了100名学生这三项数据作为样本。
样本协方差矩阵
计算得到的样本协方差矩阵如下假设数据简化 [ V a r ( 数学 ) C o v ( 数学 , 英语 ) C o v ( 数学 , 学习时间 ) C o v ( 英语 , 数学 ) V a r ( 英语 ) C o v ( 英语 , 学习时间 ) C o v ( 学习时间 , 数学 ) C o v ( 学习时间 , 英语 ) V a r ( 学习时间 ) ] [ 25 10 8 10 16 6 8 6 9 ] \begin{bmatrix} Var(数学) Cov(数学,英语) Cov(数学,学习时间) \\ Cov(英语,数学) Var(英语) Cov(英语,学习时间) \\ Cov(学习时间,数学) Cov(学习时间,英语) Var(学习时间) \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 25 10 8 \\ 10 16 6 \\ 8 6 9 \end{bmatrix} Var(数学)Cov(英语,数学)Cov(学习时间,数学)Cov(数学,英语)Var(英语)Cov(学习时间,英语)Cov(数学,学习时间)Cov(英语,学习时间)Var(学习时间) 2510810166869 这里 V a r ( 数学 ) Var(数学) Var(数学)表示数学成绩的方差 C o v ( 数学 , 英语 ) Cov(数学,英语) Cov(数学,英语)表示数学成绩和英语成绩的协方差以此类推体现了实际样本中这三个变量之间的离散和相关关系。
隐含协方差矩阵
我们构建一个结构方程模型假设学习时间会影响数学和英语成绩通过模型计算得到隐含协方差矩阵 [ 23 9 7 9 15 5 7 5 8 ] \begin{bmatrix} 23 9 7 \\ 9 15 5 \\ 7 5 8 \end{bmatrix} 23979155758 这是基于我们设定的模型推导出来的变量之间的协方差关系。
比较拟合程度
用样本协方差矩阵减去隐含协方差矩阵得到残差矩阵 [ 25 − 23 10 − 9 8 − 7 10 − 9 16 − 15 6 − 5 8 − 7 6 − 5 9 − 8 ] [ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 25 - 23 10 - 9 8 - 7 \\ 10 - 9 16 - 15 6 - 5 \\ 8 - 7 6 - 5 9 - 8 \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 2 1 1 \\ 1 1 1 \\ 1 1 1 \end{bmatrix} 25−2310−98−710−916−156−58−76−59−8 211111111 如果残差矩阵里的元素都比较小就说明我们构建的这个模型推导出来的变量关系和实际样本数据中的变量关系差异不大模型拟合较好。但如果残差矩阵元素值较大那就说明模型和实际数据不太相符拟合程度差。
为了让你更好地理解下面再以一个更简单的例子详细说明隐含协方差矩阵的计算过程
假设我们有一个非常简单的结构方程模型只包含两个观测变量 X X X和 Y Y Y它们都受到一个共同的潜变量 Z Z Z的影响且模型中路径系数分别为 a a a Z Z Z对 X X X的影响和 b b b Z Z Z对 Y Y Y的影响潜变量 Z Z Z的方差为 V a r ( Z ) σ 2 Var(Z)\ \sigma^2 Var(Z) σ2。
首先根据结构方程模型的理论观测变量 X X X和 Y Y Y的方差可以表示为 V a r ( X ) a 2 × V a r ( Z ) a 2 σ 2 Var(X)\ a^2\times Var(Z)\ a^2\sigma^2 Var(X) a2×Var(Z) a2σ2 V a r ( Y ) b 2 × V a r ( Z ) b 2 σ 2 Var(Y)\ b^2\times Var(Z)\ b^2\sigma^2 Var(Y) b2×Var(Z) b2σ2
观测变量 X X X和 Y Y Y之间的协方差可以表示为 C o v ( X , Y ) a × b × V a r ( Z ) a b σ 2 Cov(X,Y)\ a\times b\times Var(Z)\ ab\sigma^2 Cov(X,Y) a×b×Var(Z) abσ2
那么这个模型的隐含协方差矩阵就是 [ V a r ( X ) C o v ( X , Y ) C o v ( Y , X ) V a r ( Y ) ] [ a 2 σ 2 a b σ 2 a b σ 2 b 2 σ 2 ] \begin{bmatrix} Var(X)Cov(X,Y)\\ Cov(Y,X)Var(Y) \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} a^2\sigma^2ab\sigma^2\\ ab\sigma^2b^2\sigma^2 \end{bmatrix} [Var(X)Cov(Y,X)Cov(X,Y)Var(Y)] [a2σ2abσ2abσ2b2σ2]
例如假设 a 0.6 a \ 0.6 a 0.6 b 0.5 b \ 0.5 b 0.5 σ 2 4 \sigma^2 \ 4 σ2 4则 V a r ( X ) a 2 σ 2 0. 6 2 × 4 1.44 Var(X)\ a^2\sigma^2\ 0.6^2\times4 \ 1.44 Var(X) a2σ2 0.62×4 1.44 V a r ( Y ) b 2 σ 2 0. 5 2 × 4 1 Var(Y)\ b^2\sigma^2\ 0.5^2\times4 \ 1 Var(Y) b2σ2 0.52×4 1 C o v ( X , Y ) a b σ 2 0.6 × 0.5 × 4 1.2 Cov(X,Y)\ ab\sigma^2\ 0.6\times0.5\times4 \ 1.2 Cov(X,Y) abσ2 0.6×0.5×4 1.2
所以隐含协方差矩阵为 [ 1.44 1.2 1.2 1 ] \begin{bmatrix} 1.441.2\\ 1.21 \end{bmatrix} [1.441.21.21]
这就是在这个简单的结构方程模型下通过模型设定的参数计算得到隐含协方差矩阵的过程。在实际的结构方程模型中可能会有更多的观测变量、潜变量以及更复杂的关系但基本的计算原理是类似的。
