长春网站如何制作,做html网站模板,番禺网站制作设计,微商怎么引流被加精准粉本文仅供学习使用 本文参考#xff1a; B站#xff1a;DR_CAN Dr. CAN学习笔记-Ch03 傅里叶级数与变换 1. 三角函数的正交性2. 周期为 2 π 2\pi 2π的函数展开为傅里叶级数3. 周期为 2 L 2L 2L的函数展开4. 傅里叶级数的复数形式5. 从傅里叶级数推导傅里叶变换FT6. 总结 1. … 本文仅供学习使用 本文参考 B站DR_CAN Dr. CAN学习笔记-Ch03 傅里叶级数与变换 1. 三角函数的正交性2. 周期为 2 π 2\pi 2π的函数展开为傅里叶级数3. 周期为 2 L 2L 2L的函数展开4. 傅里叶级数的复数形式5. 从傅里叶级数推导傅里叶变换FT6. 总结 1. 三角函数的正交性
三角函数系 集合 { sin n x , cos n x } n 0 , 1 , 2 , ⋯ \left\{ \sin nx,\cos nx \right\} n0,1,2,\cdots {sinnx,cosnx}n0,1,2,⋯ 正交 ∫ − π π sin n x sin m x d x 0 , n ≠ m ∫ − π π sin n x cos m x d x 0 , n ≠ m ∫ − π π cos n x sin m x d x 0 , n ≠ m \int_{-\pi}^{\pi}{\sin nx\sin mx}\mathrm{d}x0,n\ne m \\ \int_{-\pi}^{\pi}{\sin nx\cos mx}\mathrm{d}x0,n\ne m \\ \int_{-\pi}^{\pi}{\cos nx\sin mx}\mathrm{d}x0,n\ne m ∫−ππsinnxsinmxdx0,nm∫−ππsinnxcosmxdx0,nm∫−ππcosnxsinmxdx0,nm
积化和差 ⇒ ∫ − π π 1 2 [ cos ( n − m ) x cos ( n m ) x ] d x 1 2 1 ( n − m ) sin ( n − m ) x ∣ − π π 1 2 1 ( n m ) sin ( n m ) x ∣ − π π \Rightarrow \int_{-\pi}^{\pi}{\frac{1}{2}\left[ \cos \left( n-m \right) x\cos \left( nm \right) x \right]}\mathrm{d}x\frac{1}{2}\frac{1}{\left( n-m \right)}\sin \left( n-m \right) x\mid_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\frac{1}{\left( nm \right)}\sin \left( nm \right) x\mid_{-\pi}^{\pi} ⇒∫−ππ21[cos(n−m)xcos(nm)x]dx21(n−m)1sin(n−m)x∣−ππ21(nm)1sin(nm)x∣−ππ ∫ − π π cos m x cos m x d x π \int_{-\pi}^{\pi}{\cos mx\cos mx}\mathrm{d}x\pi ∫−ππcosmxcosmxdxπ
2. 周期为 2 π 2\pi 2π的函数展开为傅里叶级数 T 2 π : f ( x ) f ( x 2 π ) T2\pi :f\left( x \right) f\left( x2\pi \right) T2π:f(x)f(x2π) f ( x ) ∑ n 0 ∞ a n cos n x ∑ n 0 ∞ b n sin n x a 0 cos o x ∑ n 1 ∞ a n cos n x b 0 sin 0 x ∑ n 1 ∞ b n sin n x a 0 ∑ n 1 ∞ a n cos n x ∑ n 1 ∞ b n sin n x f\left( x \right) \sum_{n0}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}\sum_{n0}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx}a_0\cos ox\sum_{n1}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}b_0\sin 0x\sum_{n1}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx}a_0\sum_{n1}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}\sum_{n1}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx} f(x)n0∑∞ancosnxn0∑∞bnsinnxa0cosoxn1∑∞ancosnxb0sin0xn1∑∞bnsinnxa0n1∑∞ancosnxn1∑∞bnsinnx
找 a 0 a_0 a0: ∫ − π π f ( x ) d x ∫ − π π a 0 d x ∫ − π π 1 ⋅ ∑ n 1 ∞ a n cos n x d x ∫ − π π 1 ⋅ ∑ n 1 ∞ b n sin n x d x a 0 ∫ − π π d x 0 0 a 0 ⋅ 2 π \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{a_0}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{1\cdot \sum_{n1}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{1\cdot \sum_{n1}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx}}\mathrm{d}x \\ a_0\int_{-\pi}^{\pi}{}\mathrm{d}x00a_0\cdot 2\pi ∫−ππf(x)dx∫−ππa0dx∫−ππ1⋅n1∑∞ancosnxdx∫−ππ1⋅n1∑∞bnsinnxdxa0∫−ππdx00a0⋅2π ⇒ a 0 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x \Rightarrow a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x ⇒a02π1∫−ππf(x)dx找 a n a_n an: ∫ − π π f ( x ) cos m x d x ∫ − π π a 0 cos m x ⋅ 1 d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ a n cos n x cos m x d x ∫ − π π ∑ n 1 ∞ b n sin n x cos m x d x ∫ − π π a n cos n x cos n x d x a n π \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos mx}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{a_0}\cos mx\cdot 1\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n1}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx\cos mx}}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{\sum_{n1}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx\cos mx}}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{a_{\mathrm{n}}\cos nx\cos nx}\mathrm{d}xa_{\mathrm{n}}\pi ∫−ππf(x)cosmxdx∫−ππa0cosmx⋅1dx∫−ππn1∑∞ancosnxcosmxdx∫−ππn1∑∞bnsinnxcosmxdx∫−ππancosnxcosnxdxanπ ⇒ a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x \Rightarrow a_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx}\mathrm{d}x ⇒anπ1∫−ππf(x)cosnxdx找 b n b_n bn: ∫ − π π f ( x ) sin . m x d x ⇒ b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x \int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin .mx}\mathrm{d}x\Rightarrow b_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx}\mathrm{d}x ∫−ππf(x)sin.mxdx⇒bnπ1∫−ππf(x)sinnxdx ⇒ f ( x ) f ( x 2 π ) , T 2 π { f ( x ) a 0 2 ∑ n 0 ∞ a n cos n x ∑ n 0 ∞ b n sin n x a 0 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x \Rightarrow f\left( x \right) f\left( x2\pi \right) ,T2\pi \begin{cases} f\left( x \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n0}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}\sum_{n0}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx}\\ a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x\\ a_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx}\mathrm{d}x\\ b_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx}\mathrm{d}x\\ \end{cases} ⇒f(x)f(x2π),T2π⎩ ⎨ ⎧f(x)2a0∑n0∞ancosnx∑n0∞bnsinnxa02π1∫−ππf(x)dxanπ1∫−ππf(x)cosnxdxbnπ1∫−ππf(x)sinnxdx
3. 周期为 2 L 2L 2L的函数展开 f ( t ) f ( t 2 L ) f\left( t \right) f\left( t2L \right) f(t)f(t2L) , 换元 x π L t , t L π x x\frac{\pi}{L}t,t\frac{L}{\pi}x xLπt,tπLx f ( t ) f ( L π x ) g ( x ) , g ( x 2 π ) f ( L π ( x 2 π ) ) f ( L π x 2 L ) f ( L π x ) g ( x ) f\left( t \right) f\left( \frac{L}{\pi}x \right) g\left( x \right) ,g\left( x2\pi \right) f\left( \frac{L}{\pi}\left( x2\pi \right) \right) f\left( \frac{L}{\pi}x2L \right) f\left( \frac{L}{\pi}x \right) g\left( x \right) f(t)f(πLx)g(x),g(x2π)f(πL(x2π))f(πLx2L)f(πLx)g(x) g ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ [ a n cos n x b n sin n x ] a 0 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x , a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x , b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x g\left( x \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}{\left[ a_{\mathrm{n}}\cos nxb_{\mathrm{n}}\sin nx \right]} \\ a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x,a_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx}\mathrm{d}x,b_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx}\mathrm{d}x g(x)2a0n1∑∞[ancosnxbnsinnx]a02π1∫−ππf(x)dx,anπ1∫−ππf(x)cosnxdx,bnπ1∫−ππf(x)sinnxdx → x π L t ⇒ cos n x cos n π L t , sin n x sin n π L t , g ( x ) f ( t ) ∫ − π π d x ∫ − π π d π L t ⇒ 1 π ∫ − π π d x 1 L ∫ − L L d t \rightarrow x\frac{\pi}{L}t\Rightarrow \cos nx\cos \frac{n\pi}{L}t,\sin nx\sin \frac{n\pi}{L}t,g\left( x \right) f\left( t \right) \\ \int_{-\pi}^{\pi}{}\mathrm{d}x\int_{-\pi}^{\pi}{}\mathrm{d}\frac{\pi}{L}t\Rightarrow \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{}\mathrm{d}x\frac{1}{L}\int_{-L}^L{}\mathrm{d}t →xLπt⇒cosnxcosLnπt,sinnxsinLnπt,g(x)f(t)∫−ππdx∫−ππdLπt⇒π1∫−ππdxL1∫−LLdt ⇒ f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ [ a n cos n π L t b n sin n π L t ] , a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d t , a n 1 L ∫ − L L f ( t ) cos n π L t d t , b n 1 L ∫ − L L f ( t ) sin n π L t d t \Rightarrow f\left( t \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}{\left[ a_{\mathrm{n}}\cos \frac{n\pi}{L}tb_{\mathrm{n}}\sin \frac{n\pi}{L}t \right]},a_0\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\mathrm{d}t,a_{\mathrm{n}}\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\cos \frac{n\pi}{L}t\mathrm{d}t,b_{\mathrm{n}}\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\sin \frac{n\pi}{L}t\mathrm{d}t ⇒f(t)2a0n1∑∞[ancosLnπtbnsinLnπt],a0L1∫−LLf(t)dt,anL1∫−LLf(t)cosLnπtdt,bnL1∫−LLf(t)sinLnπtdt
4. 傅里叶级数的复数形式 f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ [ a n 1 2 ( e i n w t e − i n w t ) − b n 1 2 ( e i n w t − e − i n w t ) ] a 0 2 ∑ n 1 ∞ [ a n − i b n 2 e i n w t a n i b n 2 e − i n w t ] ∑ n 0 0 a 0 2 e i n w t ∑ n 1 ∞ a n − i b n 2 e i n w t ∑ n − ∞ − 1 a n i b n 2 e i n w t ∑ n − ∞ ∞ C n e i n w t , C n { a 0 2 n 0 a n − i b n 2 n 1 , 2 , 3 , ⋯ a n i b n 2 n − 1 , − 2 , − 3 , ⋯ → 1 T ∫ 0 T f ( t ) d t → 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos n w t − i sin n w t ) d t 1 T ∫ 0 T f ( t ) ( cos ( − n w t ) i sin ( − n w t ) ) d t 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t → 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t ⇒ f ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n w t , C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w t d t f\left( t \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}{\left[ a_{\mathrm{n}}\frac{1}{2}\left( e^{inwt}e^{-inwt} \right) -b_{\mathrm{n}}\frac{1}{2}\left( e^{inwt}-e^{-inwt} \right) \right]}\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}{\left[ \frac{a_{\mathrm{n}}-ib_{\mathrm{n}}}{2}e^{inwt}\frac{a_{\mathrm{n}}ib_{\mathrm{n}}}{2}e^{-inwt} \right]} \\ \sum_{n0}^0{\frac{a_0}{2}e^{inwt}}\sum_{n1}^{\infty}{\frac{a_{\mathrm{n}}-ib_{\mathrm{n}}}{2}e^{inwt}}\sum_{n-\infty}^{-1}{\frac{a_{\mathrm{n}}ib_{\mathrm{n}}}{2}e^{inwt}} \\ \sum_{n-\infty}^{\infty}{C_{\mathrm{n}}e^{inwt}},C_{\mathrm{n}}\begin{cases} \frac{a_0}{2}\,\,n0\\ \frac{a_{\mathrm{n}}-ib_{\mathrm{n}}}{2}\,\,n1,2,3,\cdots\\ \frac{a_{\mathrm{n}}ib_{\mathrm{n}}}{2}\,\,n-1,-2,-3,\cdots\\ \end{cases}\begin{array}{c} \rightarrow \frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right)}\mathrm{d}t\\ \rightarrow \frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right)}\left( \cos nwt-i\sin nwt \right) \mathrm{d}t\frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right)}\left( \cos \left( -nwt \right) i\sin \left( -nwt \right) \right) \mathrm{d}t\frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right)}e^{-inwt}\mathrm{d}t\\ \rightarrow \frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right) e^{-inwt}}\mathrm{d}t\\ \end{array} \\ \Rightarrow f\left( t \right) \sum_{-\infty}^{\infty}{C_{\mathrm{n}}e^{inwt}},C_{\mathrm{n}}\frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right) e^{-inwt}}\mathrm{d}t f(t)2a0n1∑∞[an21(einwte−inwt)−bn21(einwt−e−inwt)]2a0n1∑∞[2an−ibneinwt2anibne−inwt]n0∑02a0einwtn1∑∞2an−ibneinwtn−∞∑−12anibneinwtn−∞∑∞Cneinwt,Cn⎩ ⎨ ⎧2a0n02an−ibnn1,2,3,⋯2anibnn−1,−2,−3,⋯→T1∫0Tf(t)dt→T1∫0Tf(t)(cosnwt−isinnwt)dtT1∫0Tf(t)(cos(−nwt)isin(−nwt))dtT1∫0Tf(t)e−inwtdt→T1∫0Tf(t)e−inwtdt⇒f(t)−∞∑∞Cneinwt,CnT1∫0Tf(t)e−inwtdt
Euler’s Formula
5. 从傅里叶级数推导傅里叶变换FT f T ( t ) f ( t T ) f_{\mathrm{T}}\left( t \right) f\left( tT \right) fT(t)f(tT) f T ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n w 0 t f_{\mathrm{T}}\left( t \right) \sum_{-\infty}^{\infty}{C_{\mathrm{n}}e^{inw_0t}} fT(t)∑−∞∞Cneinw0t, 基频率 w 0 2 π T w_0\frac{2\pi}{T} w0T2π, 定义函数: C n 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n w t d t C_{\mathrm{n}}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f_{\mathrm{T}}\left( t \right) e^{-inwt}}\mathrm{d}t CnT1∫−2T2TfT(t)e−inwtdt
非周期一般形式 T → ∞ T\rightarrow \infty T→∞ lim T → ∞ f T ( t ) f ( t ) , Δ w ( n 1 ) w 0 − n w 0 w 0 2 π T T ↗ Δ w ↘ \underset{T\rightarrow \infty}{\lim}f_{\mathrm{T}}\left( t \right) f\left( t \right) ,\varDelta w\left( n1 \right) w_0-nw_0w_0\frac{2\pi}{T}\,\,T\nearrow \varDelta w\searrow T→∞limfT(t)f(t),Δw(n1)w0−nw0w0T2πT↗Δw↘ f T ( t ) ∑ − ∞ ∞ ( 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n w 0 t d t ) e i n w 0 t , 1 T Δ w 2 π ⇒ f T ( t ) ∑ − ∞ ∞ ( Δ w 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n w 0 t d t ) e i n w 0 t , T → ∞ : { ∫ − T 2 T 2 d t → ∫ − ∞ ∞ d t n w 0 → w ∑ − ∞ ∞ Δ w → ∫ − ∞ ∞ d w ⇒ f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t ) e i w t d w , ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t F ( w ) ⇒ f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e i w t d w f_{\mathrm{T}}\left( t \right) \sum_{-\infty}^{\infty}{\left( \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f_{\mathrm{T}}\left( t \right) e^{-inw_0t}}\mathrm{d}t \right) e^{inw_0t}},\frac{1}{T}\frac{\varDelta w}{2\pi} \\ \Rightarrow f_{\mathrm{T}}\left( t \right) \sum_{-\infty}^{\infty}{\left( \frac{\varDelta w}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f_{\mathrm{T}}\left( t \right) e^{-inw_0t}}\mathrm{d}t \right) e^{inw_0t}},T\rightarrow \infty :\begin{cases} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{}\mathrm{d}t\rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}{}\mathrm{d}t\\ nw_0\rightarrow w\\ \sum_{-\infty}^{\infty}{\varDelta w}\rightarrow \int_{-\infty}^{\infty}{}\mathrm{d}w\\ \end{cases} \\ \Rightarrow f\left( t \right) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left( \int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-iwt}}\mathrm{d}t \right)}e^{iwt}\mathrm{d}w,\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-iwt}}\mathrm{d}tF\left( w \right) \\ \Rightarrow f\left( t \right) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F\left( w \right)}e^{iwt}\mathrm{d}w fT(t)−∞∑∞(T1∫−2T2TfT(t)e−inw0tdt)einw0t,T12πΔw⇒fT(t)−∞∑∞(2πΔw∫−2T2TfT(t)e−inw0tdt)einw0t,T→∞:⎩ ⎨ ⎧∫−2T2Tdt→∫−∞∞dtnw0→w∑−∞∞Δw→∫−∞∞dw⇒f(t)2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iwtdt)eiwtdw,∫−∞∞f(t)e−iwtdtF(w)⇒f(t)2π1∫−∞∞F(w)eiwtdw F ( w ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t F\left( w \right) \int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-iwt}}\mathrm{d}t F(w)∫−∞∞f(t)e−iwtdt : FT 傅里叶变换 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e i w t d w f\left( t \right) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F\left( w \right)}e^{iwt}\mathrm{d}w f(t)2π1∫−∞∞F(w)eiwtdw : 逆变换 6. 总结
三角函数的正交性 [ 0 , 1 , sin x , cos x , sin 2 x , cos 2 x , ⋯ , sin n x , cos n x ] , n 0 , 1 , 2 , ⋯ \left[ 0,1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\cdots ,\sin nx,\cos nx \right] ,n0,1,2,\cdots [0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,⋯,sinnx,cosnx],n0,1,2,⋯ ∫ − π π sin n x sin m x d x 0 , n ≠ m ∫ − π π sin n x sin m x d x 0 , n ≠ m ∫ − π π sin n x cos m x d x 0 , n ≠ m \int_{-\pi}^{\pi}{\sin nx\sin mx}\mathrm{d}x0,n\ne m \\ \int_{-\pi}^{\pi}{\sin nx\sin mx}\mathrm{d}x0,n\ne m \\ \int_{-\pi}^{\pi}{\sin nx\cos mx}\mathrm{d}x0,n\ne m ∫−ππsinnxsinmxdx0,nm∫−ππsinnxsinmxdx0,nm∫−ππsinnxcosmxdx0,nm
周期 2 π 2\pi 2π : f ( x ) f ( x 2 π ) f\left( x \right) f\left( x2\pi \right) f(x)f(x2π) f ( x ) ∑ n 0 ∞ a n cos n x ∑ n 0 ∞ b n sin n x ← f ( x ) a 0 2 ∑ n 0 ∞ a n cos n x ∑ n 0 ∞ b n sin n x f\left( x \right) \sum_{n0}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}\sum_{n0}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx}\gets f\left( x \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n0}^{\infty}{a_{\mathrm{n}}\cos nx}\sum_{n0}^{\infty}{b_{\mathrm{n}}\sin nx} f(x)n0∑∞ancosnxn0∑∞bnsinnx←f(x)2a0n0∑∞ancosnxn0∑∞bnsinnx a 0 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x , a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x , b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x a_0\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right)}\mathrm{d}x,a_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx}\mathrm{d}x,b_{\mathrm{n}}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx}\mathrm{d}x a02π1∫−ππf(x)dx,anπ1∫−ππf(x)cosnxdx,bnπ1∫−ππf(x)sinnxdx
周期 2 L 2L 2L : T 2 L , f ( t ) f ( t 2 L ) , x π L t T2L,f\left( t \right) f\left( t2L \right) ,x\frac{\pi}{L}t T2L,f(t)f(t2L),xLπt f ( t ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ [ a n cos n π L t b n sin n π L t ] f\left( t \right) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infty}{\left[ a_{\mathrm{n}}\cos \frac{n\pi}{L}tb_{\mathrm{n}}\sin \frac{n\pi}{L}t \right]} f(t)2a0n1∑∞[ancosLnπtbnsinLnπt] a 0 1 L ∫ − L L f ( t ) d t , a n 1 L ∫ − L L f ( t ) cos n π L t d t , b n 1 L ∫ − L L f ( t ) sin n π L t d t a_0\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\mathrm{d}t,a_{\mathrm{n}}\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\cos \frac{n\pi}{L}t\mathrm{d}t,b_{\mathrm{n}}\frac{1}{L}\int_{-L}^L{f\left( t \right)}\sin \frac{n\pi}{L}t\mathrm{d}t a0L1∫−LLf(t)dt,anL1∫−LLf(t)cosLnπtdt,bnL1∫−LLf(t)sinLnπtdt
复指数 f ( t ) ∑ − ∞ ∞ C n e i n w 0 t , w 0 2 π T , C n 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n w 0 t d t f\left( t \right) \sum_{-\infty}^{\infty}{C_{\mathrm{n}}e^{inw_0t}},w_0\frac{2\pi}{T},C_{\mathrm{n}}\frac{1}{T}\int_0^T{f\left( t \right) e^{-inw_0t}}\mathrm{d}t f(t)−∞∑∞Cneinw0t,w0T2π,CnT1∫0Tf(t)e−inw0tdt
FT f ( t ) f ( t T ) , T → ∞ f\left( t \right) f\left( tT \right) ,T\rightarrow \infty f(t)f(tT),T→∞ , f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t ) e i w t d w f\left( t \right) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\left( \int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-iwt}}\mathrm{d}t \right)}e^{iwt}\mathrm{d}w f(t)2π1∫−∞∞(∫−∞∞f(t)e−iwtdt)eiwtdw F T → F ( w ) ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i w t d t I F T → ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( w ) e i w t d w \begin{array}{c} FT\rightarrow F\left( w \right) \int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-iwt}}\mathrm{d}t\\ IFT\rightarrow \left( t \right) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F\left( w \right)}e^{iwt}\mathrm{d}w\\ \end{array} FT→F(w)∫−∞∞f(t)e−iwtdtIFT→(t)2π1∫−∞∞F(w)eiwtdw Laplace : F ( s ) : ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t F\left( s \right) :\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-st}}\mathrm{d}t F(s):∫−∞∞f(t)e−stdt
