网站域名如何实名认证,鞭打wordpress,模仿网站,网站虚拟主机过期[精确算法] 高斯消元法求线性方程组 线性方程组
考虑线性方程组#xff0c; 已知 A ∈ R n , n , b ∈ R n A\in \mathbb{R}^{n,n},b\in \mathbb{R}^n A∈Rn,n,b∈Rn#xff0c; 求未知 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^n x∈Rn A 1 , 1 x 1 A 1 , 2 x 2 ⋯ A 1 , n x n b 1… [精确算法] 高斯消元法求线性方程组 线性方程组
考虑线性方程组 已知 A ∈ R n , n , b ∈ R n A\in \mathbb{R}^{n,n},b\in \mathbb{R}^n A∈Rn,n,b∈Rn 求未知 x ∈ R n x\in \mathbb{R}^n x∈Rn A 1 , 1 x 1 A 1 , 2 x 2 ⋯ A 1 , n x n b 1 , A_{1,1} x_1 A_{1,2}x_2\cdots A_{1,n} x_n b_1, A1,1x1A1,2x2⋯A1,nxnb1, A 2 , 1 x 1 A 2 , 2 x 2 ⋯ A 2 , n x n b 2 , A_{2,1} x_1 A_{2,2}x_2 \cdots A_{2,n} x_n b_2, A2,1x1A2,2x2⋯A2,nxnb2, ⋯ \cdots ⋯ A n , 1 x 1 A n , 2 x 2 ⋯ A n , n x n b n , A_{n,1} x_1 A_{n,2}x_2 \cdots A_{n,n} x_n b_n, An,1x1An,2x2⋯An,nxnbn,
也可以写为矩阵乘法的形式 A x b Axb Axb
化为上三角 第 1 轮: A i , 1 : n A i , 1 : n − A i , 1 A 1 , 1 A 1 , 1 : n , i 2 , ⋯ , n A_{i,1:n} A_{i,1:n}- \frac{A_{i,1}}{A_{1,1}} A_{1,1:n}, i2,\cdots,n Ai,1:nAi,1:n−A1,1Ai,1A1,1:n,i2,⋯,n 第 2 轮: A i , 2 : n A i , 2 : n − A i , 2 A 2 , 2 A 2 , 2 : n , i 3 , ⋯ , n A_{i,2:n} A_{i,2:n}- \frac{A_{i,2}}{A_{2,2}} A_{2,2:n}, i3,\cdots,n Ai,2:nAi,2:n−A2,2Ai,2A2,2:n,i3,⋯,n ⋯ \cdots ⋯ 第 k 轮: A i , k : n A i , k : n − A i , k A k , k A k , k : n , i k 1 , ⋯ , n A_{i,k:n} A_{i,k:n}- \frac{A_{i,k}}{A_{k,k}} A_{k,k:n}, ik1,\cdots,n Ai,k:nAi,k:n−Ak,kAi,kAk,k:n,ik1,⋯,n 第n-1 轮 A i , n − 1 : n A i , n − 1 : n − A i , n − 1 A n − 1 , n − 1 A n , n − 1 : n , i n A_{i,n-1:n} A_{i,n-1:n} - \frac{A_{i, n-1}}{A_{n-1,n-1}} A_{n,n-1:n}, in Ai,n−1:nAi,n−1:n−An−1,n−1Ai,n−1An,n−1:n,in
化为对角 第 1 轮: A i , 2 : n A i , 2 : n − A i , n A n , n A n , 2 : n , i 1 , ⋯ , n − 1 A_{i,2:n} A_{i,2:n}- \frac{A_{i,n}}{A_{n,n}} A_{n,2:n}, i1,\cdots,n-1 Ai,2:nAi,2:n−An,nAi,nAn,2:n,i1,⋯,n−1 第 2 轮: A i , 2 : n − 1 A i , 2 : n − 1 − A i , n − 1 A n − 1 , n − 1 A n − 1 , 2 : n − 1 , i 1 , ⋯ , n − 2 A_{i,2:n-1} A_{i,2:n-1}- \frac{A_{i,n-1}}{A_{n-1,n-1}} A_{n-1,2:n-1}, i1,\cdots,n-2 Ai,2:n−1Ai,2:n−1−An−1,n−1Ai,n−1An−1,2:n−1,i1,⋯,n−2 ⋯ \cdots ⋯ 第 k 轮: A i , 2 : n − k 1 A i , 2 : n − k 1 − A i , n − k 1 A n − k 1 , n − k 1 A n − k 1 , 2 : n − k 1 , i 1 , ⋯ , n − k 1 A_{i,2:n-k1} A_{i,2:n-k1}- \frac{A_{i,n-k1}}{A_{n-k1,n-k1}} A_{n-k1,2:n-k1}, i1,\cdots,n-k1 Ai,2:n−k1Ai,2:n−k1−An−k1,n−k1Ai,n−k1An−k1,2:n−k1,i1,⋯,n−k1 第n-1 轮 A i , 2 A i , 2 − A i , 2 A 2 , 2 A 2 , 2 , i 1 A_{i,2} A_{i,2} - \frac{A_{i, 2}}{A_{2,2}} A_{2,2}, i1 Ai,2Ai,2−A2,2Ai,2A2,2,i1
美化数据格式
using DataFrames
function pm(A,b)m,nsize(A); z[]for i1:nz[z; a$i]endz[z; b]println(DataFrame([A b],z))
end 高斯消元法程序
function LEsol(A,b,SHOWfalse)SHOW 默认为 false 不输出解题步骤, 可以选填 true 输出解题步骤nlength(b); Acopy(A); bcopy(b)if SHOW pm(A,b) endif SHOW println(化为上三角) endfor i1:n-1for ji1:ncA[j,i]/A[i,i]b[j]b[j]-b[i]*cA[j,i:n]A[j,i:n]-A[i,i:n]*c endif SHOW pm(A,b) endendif SHOW println(化为对角) endfor in:-1:2for j1:i-1cA[j,i]/A[i,i]b[j]b[j]-b[i]*cA[j,i:n]A[j,i:n]-A[i,i:n]*cendif SHOW pm(A,b) endendxcopy(b)for j1:nx[j]b[j]/A[j,j];endreturn(x)
end举例
n3;
Aones(Rational,n,n)
bones(Rational,n)
for i1:n-1A[i,i]2.0;A[i,i1]1.0;A[i1,i]1.0; b[i]i0.0
end
A[n,n]2.0;
b[n]n;
xLEsol(A,b,true)求解结果
